文摘

变分迭代法应用于解决一类非线性奇异边值问题出现在生理学。方法的过程中,生产解决方案的收敛级数,是解释说。构建所需的拉格朗日乘数法矫正功能被发现的指数积分和维特克功能。奇异点的方法轻松地克服障碍。例子将提交给测试方法和比较其他现有方法为了证实收敛速度较快、精度意义重大。

1。介绍

在这篇文章中,他是变分迭代法(VIM) [1,2)应用于获得的近似解在非线性奇异两点边值问题(BVP): 以下两种边界条件: 在哪里 在这里,,和是有限的常数。假设是负的,连续可微的,分析在磁盘吗对于一些。这也是假设和上都是连续的并进一步。

假设分析在对于一些,建立了存在唯一性问题(1下面的限制(见下)3),其中引用):(1)公元前(2)适用于,和这样的,(2)公元前(3)适用于,,这样的。

方程(1)和BC (3)出现在肿瘤生长问题的研究4,5),,,的形式 这个问题也出现在研究稳态氧气扩散的细胞与Michaleis-Menten吸收动力学和(6]。这个问题的另一个应用程序出现在人类头上的热源分布的研究(7),因为,,

问题(1)- (2)和(1)- (3)已经被一些作者使用不同的数值方案,诸如立方b样,有限差分,逐点的解决方案范围(3,8,9]。VIM已经被Wazwaz [10)解决非线性奇异Emden-Fowler边值问题,这是一个特殊情况(1)- (2),。同时,拉维Kanth和阿11使用变分迭代方法解决(1)- (2)和(1)- (3),但这也做的假设。

本文的目的是应用VIM获得的近似解提出了非线性奇异边值问题更放松。VIM被集中用于解决线性和非线性,普通和部分,延迟和分数阶微分方程12- - - - - -18]。在最近的一篇文章中,他(19)显示了VIM可作为一种有效的方法在寻找波解包括孤波和compacton解决方案不需要线性化或弱非线性假设。VIM非线性微分方程,给出了近似解在一系列收敛于精确解的形式,如果是后者的存在。线性微分方程,精确解的VIM很容易得到一个迭代的步骤,因为准确的拉格朗日乘子需要构建矫正功能可以被识别。

2。变分迭代法

考虑的一般非线性微分方程 在哪里和分别是线性和非线性算子,然后呢是一个给定的分析功能。根据变分迭代法,构造校正功能如下: 在哪里是一个通用的拉格朗日乘子,可以优化确定的变分理论,然后呢是一个受限制的变异,因此。一个适当的选择的初始近似获得连续的近似是至关重要的尽快收敛到精确解。

为简单起见,(1)将表示形式 并给出其校正功能

对变化给了

利用分部积分法(11)给 进而导致了静止的关系

根据解决,拉格朗日乘子可以由系统(13)。在下一节中,我们将使用,因此选择会导致以下两个拉格朗日乘数法之一。

如果的解决方案(13)的指数积分给出(20.]。例如,如果,然后 在哪里给出了广义复指数积分

如果的解决方案(13)给出的惠塔克函数(20.]。例如,如果,然后 在哪里 和是由 在这被称为Pochhammer符号(20.)和定义

现在,构造一个适当的第一个猜测将导致递归序列的形成。解决方案(1)- (2)和(1)- (3),获得的关系 只要存在极限。证明了序列是收敛一直建立在文献(见,例如,11,21])。

3所示。数值例子

例1。考虑非线性奇异BVP 在哪里

分析解决方案(21)是对所有。这个问题是一个应用程序对应的氧气扩散(1),(2)和(5),,,,,,。在表中1和3,第二个和第三个迭代解与精确解相比时和,分别。在表中2和4获得的绝对最大错误,提出VIM是与其他方法相比。

例2。考虑非线性奇异BVP 在哪里,,在(22)。

这个问题是一个应用程序的非线性热传导模型相对应的人头(1),(3)和(6),,,。在表中5和7,第二个和第三个迭代解与精确解相比时和分别在表6和8获得的绝对最大错误,提出VIM是与其他方法相比。

4所示。结论

在这篇文章中,他变分迭代方法的简单性和可靠性测试的一般形式非线性两点奇异值出现在生理的问题。所示的方法是非常准确和容易实现即使奇点的存在。的两个例子所示部分3,第二个和第三个迭代解决方案获得的VIM是准确大大超过16和32个时间步得到的近似解三次b样条和有限差分方法。