文摘
我们将试图提供一个方法,构造变分问题没有所需的单参数变分对称变换群。为此,我们使用的符号μ对称由朱塞佩·加埃塔介绍,2004年Paola Morando。此外,我们给定的方法使我们能够解决这些构造使用变分问题μ对称性。
1。介绍
对称群的应用中出现的问题变分法有其起源后期论文的谎言,它推出“积分不变量”的主题1]。谎言表明变分问题的对称群很容易计算基于一个无穷小的适应方法用于计算对称组微分方程(2,第七章]。
在某些应用程序中,找到方程或变分问题,没有一些所需的经典谎言对称性非凡的重要性。在本文中,我们主要集中在调查方法找到这样的方程或问题。我们将基于给定方法对称性引入的(3找到类型我隐藏的对称性。隐藏的对称性被定义为对称丢失(I型)或获得(II型)的颂歌的顺序是减少或作为PDE的变量的数量减少(4]。隐藏的对称性是很难评估以来没有一般直接确定方法。有几种方法,我们可以使用它来研究隐藏的对称性。
2001年,穆里尔和罗梅罗对称评估类型我隐藏的常微分方程的对称性5]。加埃塔和Morando扩展这种方法标量pd和pd系统以及引入的方法构造方程没有谎言点对称(2004年3,6]。这些方程没有明显的降阶(ODE)和减少变量(在标量pde情况下和pd系统),可以减少使用对称性。几个月后,在随后的论文7),结果表明:对称本质上是等价的(更准确地说应该是:在本地,计)标准的对称(见尤其是[7),定理1和示例1)。结果也已扩展到变分情况(8,9]。
如前所述,在本文中,我们将尝试提出一个方法,构造变分问题没有所需的单参数变分对称变换群。更多细节,本文组织如下。节2、简单的符号介绍了对称线的3,6]。部分3致力于应用对称方法在变分问题和变分学的一些基本概念。构造方程的不对称性,并引入适当的撒谎对称一直在关注部分4。部分5可以被认为是作为论文的主要部分,致力于构建变分问题没有预期的变分对称使用部分的结果4与定理6假设得到了方程在前面部分建立了方程的一些必要条件变分问题(命题9和11)。
2。对称性在标量pd和pd系统
和之前一样,起点将是讨论的一些基本结果对称。读者可以参考(3,6对这些对称性)获得完整的信息。
让是一个水平一阶射流空间形式和兼容联系结构在为。也就是说, 在哪里是一个嘉当理想接触所产生的结构。
让在总空间任意一个向量场。被定义为延长的,在阶射流空间,如果它的系数满足以下延长公式:
备注2。通过设置在(2),我们可以获得普通的延长。因此,普通的延长可以假定延长的延长框架。
在下面的定理,普通的延长和之间的联系延长将被考虑。
定理3(见[3])。让一个向量场在一阶射流空间;让和那样延长和普通延长,分别。然后,我们有,在那里(满足递归关系):;在那里,是一个谎言的特点。
注意,这个定理的计算提供了一种经济的方式延长的,如果我们已经知道它的普通的延长。
3所示。变分问题和谎言标准还原法
在本节中,我们将指出对称性的应用方法的某些方面变分问题。读者可以找到更多的信息在2,10,11]。变分问题是找到极值(最大值或最小值)的功能, 在一些空间的功能,。被积函数飞机上,这是一个光滑的微分函数空间,被称为拉格朗日变分问题(3)。对于这样的问题我们可以定义建立了运营商 对称方法的应用变分问题是出于以下定理微积分的变分问题。
定理4(见[10])。平滑的极值拉格朗日变分问题必须满足相关的欧拉方程组:
下面的定理将我们的方法的基石对称方法在变分问题。
定理5(见[2])。 是变分问题的变分对称(3)当且仅当它是一个谎言的对称性建立了方程(4)。
4所示。建立了方程不需要谎言对称性
我们给定的方法主要有组织在两个步骤:首先,我们描述方程(标量pd),而不需要谎言对称性(本节);然后,我们找到适当的变分问题,建立了方程(下一节)。
达到的指出目的本节中,我们考虑作为一个向量场在一阶射流空间然后确定一般标量pde没有谎言对称性,承认它作为一个对称(找到更多的信息3,7])。
考虑扩展向量场。我们有谎言的特点(2,7]。相应的不变的坐标和参数坐标在可以选择,和。相应的逆变化的变量,,。因此,函数是如果且仅当不变。部分派生的表达的偏导数作为 可以倒给上面 类似于上面,我们有下列二阶导数的表达式: 中央的对象在这个计算水平1 -在一个命令飞机空间。在这里,由于独立变量的空间是二维的,我们有。让我们来第二次延长的。对于这个计算,我们可以用(2)或递归关系定理3。因此如果我们展示延长的作为 然后,我们有 现在我们将考虑最简单的非平凡的选择;也就是说,,一个真正的常数。用这个在(10),我们发现 通过作为不变量的零,o (1),我们两个,
定理6。考虑方程与作为一个任意光滑函数的参数。让是一个真正的常数。然后,我们有以下。(我)方程承认的向量场作为一个对称与。(2)为,不是一个普通的对称的。(3)的-symmetry-reduced方程,提供不变的解决方案的话,是
证明。(我)基于谎言点对称方法,PDE承认作为当我们可以重写它的对称性不变量(2]。因此,方程承认作为对称与。
(2)使用(12),我们可以得出结论,在解空间中,参数,和取决于。所以,如果取决于这个论点不是一个普通的对称的。
(3)最后,注意限制解决方案空间不会改变的形式和。从上面的不变量的显式表达式,我们有,,。因此,我们在解空间,(13)代表的简化方程在的空间不变的函数。这证明点(iii),从而完成了证明。
我们要注意,所声称的(13),简化方程对应的是通过标准的对称(在减少方程)解决方案空间,是获得通过设置等和。
最后,让我们讨论一个完全具体的例子;尽管,这里的过程是完全类似于一个遵循标准的对称。考虑方程。这是写成 在原始的坐标;在改编的读取 相应的简化方程 这是和通解,在那里是真正的常数。回到原来的坐标,相应的解决方案。
注7。注意,与谎言的方法不同,我们专注于解决方案,没有承认所需的对称性。例如,在这里,在寻找解决方案(14对一些人来说),我们发现再次,这并不保持缩放变换下的一个解决方案。
5。对称变分问题
在变分法,问题描述系统的微分方程的欧拉方程变分问题被称为反问题[7,8]。有不同的方法来执行反问题[8,9]。在这里,为了保持可控的范围,我们使用直接法。
在本节中,应用前面的结果,我们构造一个变分问题的例子,其欧拉方程没有期望的对称性。为此,首先,我们假设方程是一个没有理想的谎言对称(在这里,扩展对称);然后,我们找到适当的变分方程的问题作为一个建立方程。另外,在命题11中,我们将介绍变分问题的类没有任何重要的变分对称撒谎。
示例8。考虑这个方程 它可以写成:使用给定表达式(12),。基于定理6这个方程有对称扩展:作为对称与,这种转变并不对称。让它成为一个欧拉方程一些二阶变分问题;因此,从(4)我们有 通过求解这个方程,我们有
9号提案。任何与拉格朗日变分问题任意光滑函数不承认缩放变换作为一个变分对称。此外,这种转变是一个建立了方程的对称。
示例10。考虑方程 这个方程出现在定理4.3的5)作为一个方程可以集成使用对称方法和但缺乏重要的对称性。让它成为一个欧拉方程一些二阶变分问题;因此,从(4)我们有 通过求解(21),我们发现下列拉格朗日:
命题11。任何与拉格朗日变分问题任意光滑函数没有重要的变分对称,其建立了方程在哪里作为一个对称与。
6。结论
在本文中,首先,我们构造一些欧拉方程没有期望的对称性以及引入合适的对称性降低;接下来,我们没有找到相关的变分问题的变分对称。事实上,在命题9和11,我们介绍了两类变分问题,没有扩展变分对称和非平凡的对称性,分别。
承认
作者要感谢裁判的建设性建议和有益的讨论具有实质性改进的表示。