文摘

我们研究了弱收敛的空间 过程由产品的独立但不一定恒等分布的随机变量。呈现的结果扩展和推广极限定理认识到目前为止i.i.d.序列。

1。介绍

让 是一系列独立的,积极的,精确性随机变量(r.v。’s)上定义一些概率空间 。对于每一个 让我们把 阿诺德和学校1)获得了中心极限定理的记录。Rempała和Wesołowski2观察到这一结果是一个序列的一般性质和证明i.i.d.积极和精确性r.v。的一个人 在哪里 是标准正态变量和 和 是常见的均值和变异系数r.v。。收敛(2)是广义的,以不同的方式延长许多作者。例如,张和黄(3]研究了功能版本的这个结果。他们证明了在一般情况下,不涉及的依赖结构序列, 这里的续集 表示维纳过程。的功能版本的融合产品的金额也研究了Kosiński [4),i.i.d.序列属于域的吸引力 稳定的法律和 。第一个结果不全同的分布式r.v的序列。是通过Matuła和Stȩpień[5]。同样的不变性原理,研究non-i.i.d。序列需要以不同的方式定义的流程比(3)。为 和每个 让我们定义的函数 ,在那里 。让我们介绍一下这个过程 和 为 这样 ,在那里 。在[5]这是证明一个序列的独立的,积极的,和精确性随机变量满足Lindeberg条件等 ,这个过程 收敛弱的空间 流程 。这个结果被证明在一个函数的定理 和第二功能 。

我们的目标是证明上述结果对于一个大的连续函数 ,这可能是无限的。此外,我们应当稍微变化过程 为了避免人工定义的情况 和替换的奇怪转移指数 。在此设置,实施条件和结果会更加自然。

2。主要结果

让 家庭的功能 这是连续可微的 也就是说, 此外,这样的 让我们观察到的5), 是可积的,如果这个函数也单调,因此,(6)是满意的。很明显, 。这个家庭 还包含表单的功能 与 和 与 值在0是任意的。

对于任何 让我们定义流程 在哪里 我们还需要 。以这种方式得到一系列过程 这样 回想一下,我们定义了 。在我们的假设过程的轨迹 几乎肯定的积极功能。

我们的主要结果有关的弱收敛 在空间 如下。

定理1。让 是一系列独立的,积极的,精确性r.v。的满足Lindeberg条件: 和这样的 然后对任何

为了说明我们的结果让我们现在的两个例子。

例2。让 是一个独立的r.v序列。的泊松分布 与参数 。让我们以 ,然后 几乎可以肯定的是, 和 。此外, 和 = 。让我们观察到 但 可能被认为是一个先验知识。(泊松)r.v。。因此,从著名的时刻,存在一个常数 没有根据 这样 ,每 。因此,李雅普诺夫条件可能很容易验证。条件(10)也满意。我们应用定理1与 ,然后 我们有下面的弱收敛的空间 ,因为

它也很容易检查(见42页(6)积分的详细信息) 有高斯分布 与 提供 。因此,我们有以下的例子。

例3。让 是一个序列i.i.d. r.v。与标准的指数分布。然后 和 。我们应用定理1与 和功能 ,在那里 。在这种情况下 我们得到

3所示。证明和辅助的结果

在我们的主要结果的证明,我们将使用以下引理。

引理4。让 是度量空间 波兰是一个完整的和可分离度量空间(空间),让 统一的度量。此外,表示由 Levy-Prohorov度量空间的概率措施 并通过 Ky-Fan度量。让 , , 值是随机的元素 ,然后(一)如果 ,然后 ,(b) ,(c)如果 几乎可以肯定,然后 。

证明。证据是基于不平等 ,这可能是发现在150页(7]。证明不等式(b),例如,在定理11.3.5在397页(8]。

定理的证明1。在第一步中我们将证明 在哪里 在 ,因为 。我们将运用对数的扩张 ,因为 ,在那里 。让我们把 ,那么我们很容易 让我们观察到 假设(10)和克罗内克引理接下去 。很容易看到,从Lindeberg条件(9),樵夫的条件 持有;因此, 此外,我们假设(6),我们得到 通过上面的言论和托普利兹定理序列转换为序列(2.3.1问题[9)我们获得 因此从(17)我们有 在 ,因为 。
从(10强大数定律的成立,也就是说, 几乎可以肯定。因此,几乎所有 和足够大 那里拥有 。因为这 因此 在 ,(15)是证明。
还有待证明 在 ,因为 。
让 被给予,让我们定义一个过程
让我们观察到
自定义的 我们有 因此,由函数的可积性 和引理4(a)
让我们定义一个连续映射 以上积分正确地定义 是有界的, 。下一步我们将证明 在哪里 在 ,因为 和
首先让我们观察到 樵夫的条件(18)。
在的情况下 ,让我们计算积分
事实上 不依赖于 ,从而 作为 ,因为 和 。
让我们找到第二项的范围 : 此外,对于任何 ,我们有 柯尔莫哥洛夫不平等和樵夫条件(18)。
最后,让 是足够大的,也就是这样 ,然后 在哪里 。因此,再由柯尔莫哥洛夫不平等和樵夫条件下,我们得到了
因此,从(30.),(32),(34)和(36)声明(28)。
结束证明,让我们注意的过程 定义为(29日),我们有 在 通过Prohorov的结果(见问题1,77页7])。事实上,Prohorov认为是北黄海的过程 及其收敛性 ,但 从Lindeberg条件(9)。因此,通过的连续性 ,我们得到
此外, 由(5)和维纳过程的连续模的性质,也就是说, 见534页公式(7)(6]。
短,让我们把 。然后,与引理中引入的符号4,我们得到 现在,(23从()之前26),(28),(38)和(39),完成证明。