文摘
我们介绍和研究解析函数与罗伯逊函数的一个子类。在这里,我们讨论该类函数的系数估计。
1。介绍
让类的功能的形式 分析在开放单位盘。也让和表示星形的知名类和凸函数,分别。
对于任何两个分析功能由(1),与 卷积(阿达玛产品)是由 利用卷积的概念,Ruscheweyh [1介绍了微分算子给出的 与 在哪里是Pochhammer符号作为 很明显,,, 以下身份可以很容易的建立: 现在Ruscheweyh导数的帮助下,我们定义一个类解析函数的如下。
定义1。让。然后,,当且仅当
在哪里,,,是真实的,,。
通过给特定的值,,,,在,我们获得许多重要的早期论文中作者研究了不同子类,详情见(2- - - - - -5其中,列举一些如下:(我)
和,研究了斯(6和罗伯逊7),分别;促进工作,看到8,9]。(2)
和研究了Owa等人和Shams et al。10,11]。(3)
,,介绍了Ravichandran et al。12]。(iv)
,认为拉莎(13]。(v)
,著名的星形的和凸函数类的秩序。
从上面的特殊情况,我们注意到,这个类提供了一个连续通过类的星形的函数类的凸函数。
我们将假设在我们的讨论中,除非另有说明,,,,是真实的,,。
2。类的一些属性
定理2。如果与,然后
证明。自对于任何一个复数,意味着
这意味着
因此,我们获得所需的结果。
把,,在定理2;我们得到以下结果。
推论3(见[10])。如果与,然后 集,,在定理2;有下面的结果。
推论4(见[10])。如果与,然后
定理5。如果,然后 在哪里
证明。我们注意到,,
让我们定义的函数通过
然后,分析在与和。让
然后,(19)可以写成
和使用(8),我们有
这意味着
我们使用(4)和(5)。现在应用系数估计Caratheodory函数(14),我们得到
为,
这证明(15)。
为,
因此,(16)适用于。假设(16)是正确的并考虑
因此,结果是正确的通过感应,因此,(16适用于所有。
如果我们将,,在定理5,我们得到的结果证明(10]。
推论6。如果,然后
注7。如果我们把在推论6,我们有 这是证明了罗伯逊(15]。
推论8。如果,然后
承认
原则作者要感谢Ihsan阿里博士教授,副校长阿卜杜勒·瓦利汗大学马尔丹提供优秀的研究机构和财政支持。