文摘

我们研究不同属性的收敛、空和有界双模糊实数序列空间完整性,厚重,序列代数,symmetricity convergence-free等等。我们也证明一些包容的结果。

1。介绍

在整个论文中,用双序列 ,双无限数组的元素 ,每个 是一个模糊实数。

双序列的初始工作中发现布罗姆维奇(1]。后来,它被哈代研究2],Moricz [3],Tripathy [4],Basarir和Sonalcan [5),和许多其他人。哈代(2]介绍了常规双序列的收敛的概念。

paranormed序列的概念研究了Nakano [6)和西蒙斯(7在最初的阶段)。后来,它被许多人研究。

引入模糊实数后,介绍了不同类型的模糊实数序列,研究了Tripathy和南达8],乔杜里和Tripathy [9),Tripathy et al。10- - - - - -13),Tripathy和杜塔(14- - - - - -16],Tripathy和Borgogain [17),Tripathy和达斯18),和许多其他人。

让 表示所有关闭,有界区间的集合 在 ,真正的线。为 , ,我们定义 在哪里 和 。众所周知, 是一个完备度量空间。

一个模糊实数 是一个模糊集合 ,也就是说,一个映射 将每个实数 会员等级 。

的 层次的集 模糊实数 ,因为 ,被定义为 。

所有上半连续、正常和凸模糊实数用 ,在整个论文中,通过模糊实数,我们意味着属于数量 。

让 ,让 水平集是 ;的产物 和 被定义为

2。定义和预赛

一个模糊实数 被称为凸如果 ,在那里 。

如果存在 这样 ,那么模糊实数 被称为正常的。

一个模糊实数 据说是上半如果为每个 , ,尽管 ,是开放的一般拓扑 。

一组 实数可以嵌入 。为 , 被定义为

的绝对值, 的 被定义为(见,例如,(19])

一个模糊实数 被称为非负如果 ,尽管 。所有非负模糊实数集是用 。

让 被定义为

然后 上定义了一个标准 。

添加剂的身份和乘法身份 是用 ,分别。

一个序列 据说模糊实数收敛模糊实数 如果,每 ,存在 这样 ,尽管 。

一个模糊数序列 收敛于一个模糊数 如果两个 和 坚持每 (20.]。

一个序列 广义模糊数收敛弱广义模糊数 (和我们写 )如果分布函数 弱收敛性 和 弱收敛性 (21]。

两个序列 据说模糊实数收敛Pringsheim的意义模糊实数 如果,每 ,存在 , 这样 ,尽管 , 。

两个序列 据说模糊实数定期收敛如果它在Pringsheim收敛的意义,存在以下限制:

一个模糊实数序列 据说是有界的如果 ,对于一些 。

为 和 ,我们定义

在整个论文 , , , , , 表示的类所有,有界的,在Pringsheim收敛”年代的感觉,零Pringsheim的意义,定期收敛,定期零模糊实数序列,分别。

双序列空间 据说是固体(或正常的)如果 ,每当 ,尽管 , ,对于一些 。

让 ,让 是一个双序列空间。一个K-step空间的 是一个序列空间

一个规范原象的一个序列 是一个序列 定义如下:

一个规范原象的空间 是一组规范原象的所有元素在吗 。

双序列空间 据说是单调如果 包含所有步骤的规范原像空间。

从上面的定义,我们有以下评论。

备注1。一个序列空间 是固体 是单调的。
双序列空间 据说是对称的如果 ,每当 ,在那里 的排列 。
双序列空间 据说是代数序列如果 ,每当 , 。
双序列空间 据说是convergence-free如果 ,每当 ,和 意味着 。
模糊实数序列相对于paranormed序列空间研究了乔杜里和Tripathy9]。
在这篇文章中,我们介绍下面的序列空间的模糊实数。
让 是一个序列的正实数
为 ,我们得到了类 。
也是一个模糊序列 如果 ,存在以下限制:
类的序列 , 。
我们定义 , 。

3所示。主要结果

定理2。让 是有界的。然后,序列的类 , , , , 完备度量空间的度量定义的

证明。我们证明的结果 。让 是一个柯西序列 。然后,对于一个给定的 ,存在 这样
自 完成,存在模糊数 这样 ,对于每一个 , 。
采取 在(13),我们有
利用三角不等式 我们有 。因此, 就完成了。

属性1。的空间 是对称的,但是空间 , , , , , 不对称的。

证明。明显的空间 是对称的。对于其他空间,考虑下面的例子。
例子3所示。考虑到序列空间 。让 ,尽管 和 ,否则。让序列 被定义为 和 ,
让 的重排 定义为 和 ,
然后, ,但 。因此, 是不对称的。同样,它可以建立其他空间也不对称。

定理4。的空间 , , ,和 是固体。

证明。考虑到序列空间 。让 ,让 是这样的, 。
结果的不平等
因此,空间 是固体。同样,其他空间也固体。

属性2。的空间 , , 不是单调,因此不是固体。

证明。从下面的示例结果如下所示。
例子5。考虑到序列空间 。让 为 甚至和 ,否则。让 。让 被定义为以下几点:
对所有 , , 然后, 。让 规范原像的 的子序列 的 。然后, 然后, 。因此, 不单调。同样,其他空间也不单调。因此,空间 , , 不是固体。

财产3。的空间 , , , , , , 不是convergence-free。

从下面的示例结果如下所示。

例6。考虑到序列空间 。让 ,尽管 , ,否则。考虑到序列 定义为 其他值,
让序列 被定义为 其他值, 然后, ,但 。因此,空间 不是convergence-free。同样,其他空间也不是convergence-free。

定理7。 ,因为 , , , 。严格的夹杂物。

证明。自收敛序列是有界的,证据是清楚的。

定理8。让 ,尽管 。然后, 为 , , , , , 。

证明。考虑到序列空间 和 。让 。
然后, ,尽管 。
结果的不平等 。

定理9。的空间 , , , , , ,和 是代数序列。

证明。考虑到序列空间 。让 , 。然后,结果紧跟着的不平等

承认

作者的工作是支持的UGC项目没有。f . 5-294/2009-10 (MRP /尼禄)。