数学杂志gydF4y2Ba

在这一页上gydF4y2Ba

文摘gydF4y2Ba 介绍gydF4y2Ba 确认gydF4y2Ba 引用gydF4y2Ba 版权gydF4y2Ba 相关文章gydF4y2Ba

研究文章|gydF4y2Ba开放获取gydF4y2Ba

体积gydF4y2Ba2013年gydF4y2Ba|gydF4y2Ba 文章的IDgydF4y2Ba620756年gydF4y2Ba|gydF4y2Ba https://doi.org/10.1155/2013/620756gydF4y2Ba

的产物Theta-Functions类似于Theta-Functions Ramanujan卓越的产品和应用程序gydF4y2Ba

Nipen SaikiagydF4y2Ba ^1gydF4y2Ba

学术编辑器:gydF4y2Ba 安德里亚PascuccigydF4y2Ba

收到了gydF4y2Ba 2012年9月24日gydF4y2Ba

接受gydF4y2Ba 2012年11月12日gydF4y2Ba

发表gydF4y2Ba 2012年12月20日gydF4y2Ba

文摘gydF4y2Ba

我们定义了一个产品gydF4y2Ba对于任何一个正实数gydF4y2Ba和gydF4y2Ba涉及Ramanujan theta-functionsgydF4y2Ba和gydF4y2Ba这是类似于Ramanujan卓越的产品记录的theta-functions Ramanujan(1957)和研究它的几个属性。我们证明定理的明确的评估gydF4y2Ba并发现一些显式值。随着应用程序的产品gydF4y2Ba外,我们还提供显式公式明确Ramanujan连分式的值gydF4y2Ba而言,gydF4y2Ba并给出例子。gydF4y2Ba

1。介绍gydF4y2Ba

Ramanujan的theta-functionsgydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba被定义为gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

在338页他的第一个笔记本,Ramanujan [gydF4y2Ba1gydF4y2Batheta-functions非凡的产品定义为gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba和gydF4y2Ba是正实数。然后,在338和339页,提供18个产品的特定值的列表gydF4y2Ba。所有这些十八值证明Berndt et al。gydF4y2Ba2gydF4y2Ba]。一个帐户可以在Berndt找到的书(gydF4y2Ba3gydF4y2Ba]。Naika和DharmendragydF4y2Ba4gydF4y2Ba)还建立了一些一般性的定理明确产品的评价gydF4y2Ba并发现了一些新的显式值。进一步的结果gydF4y2Ba可以发现在gydF4y2Ba5gydF4y2Ba,gydF4y2Ba6gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

在[gydF4y2Ba7gydF4y2Ba),摩诃提婆Naika等人定义了产品gydF4y2Ba 他们建立了一般定理明确的评估gydF4y2Ba并获得一些特定值。摩诃提婆Naika et al。gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)建立通用公式的显式值Ramanujan立方连分数gydF4y2Ba的产品gydF4y2Ba和gydF4y2Ba上面定义的,gydF4y2Ba 并发现一些特定的值gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

出于上述工作,在本文中,我们定义theta-functions的产物gydF4y2Ba作为gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba和gydF4y2Ba是正实数。我们建立产品的几个属性gydF4y2Ba。我们证明的一般公式明确的评估gydF4y2Ba并找到它的显式值。随着应用程序的产品gydF4y2Ba外,我们还提供显式公式明确Ramanujan立方连分式的值gydF4y2Ba而言,gydF4y2Ba并给出例子。gydF4y2Ba

节gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,我们收集一些初步结果。节gydF4y2Ba3gydF4y2Ba,我们证明产品的几个属性gydF4y2Ba。部分gydF4y2Ba4gydF4y2Ba,致力于找到明确的价值观gydF4y2Ba。最后一节gydF4y2Ba5gydF4y2Ba,我们提供显式公式明确连分数的评价gydF4y2Ba而言,gydF4y2Ba与示例。gydF4y2Ba

介绍结束,我们定义Ramanujan模块化的方程。让gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba表示第一类完全椭圆积分相关的模gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,分别。假设平等gydF4y2Ba 适用于一些正整数gydF4y2Ba。然后模块化度方程gydF4y2Ba模之间的关系吗gydF4y2Ba和gydF4y2Ba(隐含的gydF4y2Ba7gydF4y2Ba)。Ramanujan记录他的模块化方程的gydF4y2Ba和gydF4y2Ba,在那里gydF4y2Ba和gydF4y2Ba。我们说gydF4y2Ba有学位gydF4y2Ba在gydF4y2Ba。通过表示gydF4y2Ba,在那里gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,乘数gydF4y2Ba连接gydF4y2Ba和gydF4y2Ba被定义为gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

2。初步结果gydF4y2Ba

引理1(见[gydF4y2Ba9gydF4y2Ba27日,43岁的条目gydF4y2Ba])。gydF4y2Ba如果gydF4y2Ba然后gydF4y2Ba

引理2(见[gydF4y2Ba10gydF4y2Ba,1049年,页(1.13)])。gydF4y2Ba如果gydF4y2Ba然后gydF4y2Ba

引理3(见[gydF4y2Ba9gydF4y2Bap。122年,条目gydF4y2Ba])。gydF4y2Ba一个人gydF4y2Ba

引理4(见[gydF4y2Ba9gydF4y2Bap。123年,条目gydF4y2Ba])。gydF4y2Ba一个人gydF4y2Ba

引理5(见[gydF4y2Ba9gydF4y2Bap。124年,条目gydF4y2Ba,gydF4y2Ba])。gydF4y2Ba一个人gydF4y2Ba 一个还指出,如果我们替换gydF4y2Ba通过gydF4y2Ba的前题gydF4y2Ba3gydF4y2Ba和gydF4y2Ba4gydF4y2Ba,然后gydF4y2Ba和gydF4y2Ba将被取代gydF4y2Ba和gydF4y2Ba分别在哪里gydF4y2Ba有学位gydF4y2Ba在gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

引理6(见[gydF4y2Ba9gydF4y2Bap。345年,条目gydF4y2Ba,gydF4y2Ba])。gydF4y2Ba如果gydF4y2Ba是定义在(gydF4y2Ba5gydF4y2Ba),然后gydF4y2Ba

引理7(见[gydF4y2Ba9gydF4y2Ba,p . 347])。gydF4y2Ba如果gydF4y2Ba是定义在(gydF4y2Ba5gydF4y2Ba),然后gydF4y2Ba

引理8(见[gydF4y2Ba9gydF4y2Bap。231年,条目gydF4y2Ba])。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba和gydF4y2Ba,然后gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba度3了gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

引理9(见[gydF4y2Ba9gydF4y2Bap。282年,条目gydF4y2Ba])。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba和gydF4y2Ba,然后gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba度5了gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

3所示。的一些性质gydF4y2Ba

在本节中,我们研究产品的一些属性gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

定理10。gydF4y2Ba对于所有的正实数gydF4y2Ba和gydF4y2Ba,一个gydF4y2Ba(我)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(2)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(3)gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba使用的定义gydF4y2Ba和前题gydF4y2Ba1gydF4y2Ba和gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,我们很容易到达(i)取代gydF4y2Ba通过gydF4y2Ba在gydF4y2Ba和使用前题gydF4y2Ba1gydF4y2Ba和gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,我们发现gydF4y2Ba完成(ii)的证明。证明(iii),我们交换吗gydF4y2Ba和gydF4y2Ba在gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

备注11。gydF4y2Ba通过使用的定义gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,可以看出gydF4y2Ba有积极的真正价值,值吗gydF4y2Ba增加gydF4y2Ba增加的时候gydF4y2Ba。因此,通过定理gydF4y2Ba10gydF4y2Ba(我),gydF4y2Ba对所有gydF4y2Ba如果gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

定理12。gydF4y2Ba对于所有的正实数k、m和n,gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba使用的定义gydF4y2Ba,我们发现gydF4y2Ba 应用前题gydF4y2Ba1gydF4y2Ba和gydF4y2Ba2gydF4y2Ba在分母上的右手边(gydF4y2Ba20.gydF4y2Ba)和简化使用定理gydF4y2Ba10gydF4y2Ba(2)和(3),我们完成证明。gydF4y2Ba

推论13。gydF4y2Ba对于所有的正实数k和n,gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba设置gydF4y2Ba在定理gydF4y2Ba12gydF4y2Ba和简化使用定理gydF4y2Ba10gydF4y2Ba(2),我们获得gydF4y2Ba 替换gydF4y2Ba通过gydF4y2Ba,我们完成证明。gydF4y2Ba

定理14。gydF4y2Ba让k, a, b, c, d是正实数,这样gydF4y2Ba。然后gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba定义的gydF4y2Ba和使用gydF4y2Ba正实数gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,我们推断出gydF4y2Ba 重新安排的条款(gydF4y2Ba24gydF4y2Ba我们到达期望的结果。gydF4y2Ba

推论15。gydF4y2Ba对于任何一个正实数gydF4y2Ba和gydF4y2Ba,一个gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba结果之前立即从定理gydF4y2Ba14gydF4y2Ba与gydF4y2Ba和gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

定理16。gydF4y2Ba对于所有的正实数gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,一个gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba应用定理gydF4y2Ba10gydF4y2Ba(3)在定理gydF4y2Ba12gydF4y2Ba我们推断出,对于所有的正实数gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 现在设置gydF4y2Ba再一次运用定理gydF4y2Ba12gydF4y2Ba和gydF4y2Ba10gydF4y2Ba(3)在(gydF4y2Ba27gydF4y2Ba),我们完成证明。gydF4y2Ba

定理17。gydF4y2Ba对于所有的正实数gydF4y2Ba和gydF4y2Ba,一个gydF4y2Ba(我)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(2)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(3)gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba通过使用定理gydF4y2Ba10gydF4y2Ba(2)和gydF4y2Ba16gydF4y2Ba,我们发现gydF4y2Ba 所以我们完成的证明(我)。设置gydF4y2Ba在(gydF4y2Ba27gydF4y2Ba),我们发现gydF4y2Ba (2)遵循从(gydF4y2Ba28gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba29日gydF4y2Ba)和定理gydF4y2Ba10gydF4y2Ba(二)。gydF4y2Ba
通过使用定理gydF4y2Ba10gydF4y2Ba(2)和gydF4y2Ba12gydF4y2Ba,我们发现gydF4y2Ba 同样,我们发现gydF4y2Ba 从(gydF4y2Ba30.gydF4y2Ba),(gydF4y2Ba31日gydF4y2Ba),定理gydF4y2Ba10gydF4y2Ba(2)和(3),我们完整的证明(iii)。gydF4y2Ba

4所示。明确的价值观gydF4y2Ba

在本节中,我们证明的一般定理明确的评估gydF4y2Ba并发现一些显式值。首先我们定义Ramanujan类不变量。Ramanujan两类不变量gydF4y2Ba和gydF4y2Ba这是由gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba和gydF4y2Ba是一个正有理数。利用引理gydF4y2Ba5gydF4y2Ba在(gydF4y2Ba32gydF4y2Ba),gydF4y2Ba 同样,如果gydF4y2Ba有学位gydF4y2Ba在gydF4y2Ba,然后gydF4y2Ba 在他的笔记本电脑(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba]和文献[gydF4y2Ba11gydF4y2Ba),Ramanujan记录总共有116类不变量或首一多项式满足。一个帐户的这些也可以发现在Berndt的书gydF4y2Ba3gydF4y2Ba]。为进一步引用,看到gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba12gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba17gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

定理18。gydF4y2Ba一个人gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba使用前题gydF4y2Ba3gydF4y2Ba和gydF4y2Ba4gydF4y2Ba的定义gydF4y2Ba,我们发现gydF4y2Ba 再次从(gydF4y2Ba32gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba33gydF4y2Ba),gydF4y2Ba,我们发现gydF4y2Ba 结合(gydF4y2Ba36gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba37gydF4y2Ba),我们完成证明。gydF4y2Ba

从定理gydF4y2Ba18gydF4y2Ba很明显,如果我们知道gydF4y2Ba或gydF4y2Ba然后明确的价值观gydF4y2Ba可以很容易地确定。例如,我们找到的值gydF4y2Ba在下个定理运用的价值gydF4y2Ba或gydF4y2Ba从文学。gydF4y2Ba

定理19。gydF4y2Ba一个人gydF4y2Ba(我)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(2)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(3)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(iv)gydF4y2Ba (v)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(vi)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(七)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(八)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(第九)gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba(我),(vi),相应的值gydF4y2Ba在方程可以找到吗gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba分别的gydF4y2Ba12gydF4y2Ba]。(七)(ix),可以在方程中找到相应的值gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba分别的gydF4y2Ba3gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

推论20。gydF4y2Ba一个人gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba我们设置gydF4y2Ba在定理gydF4y2Ba18gydF4y2Ba并使用结果gydF4y2Ba,完成证明。gydF4y2Ba

从推论gydF4y2Ba20.gydF4y2Ba,这是明显的显式值gydF4y2Ba可以很容易地确定如果相应的类不变量的值呢gydF4y2Ba是已知的。我们给一些例子在接下来的定理。gydF4y2Ba

定理21。gydF4y2Ba一个人gydF4y2Ba(我)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(2)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(3)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(iv)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(v)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(vi)gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba(i)和(ii),我们使用的值gydF4y2Ba和gydF4y2Ba从[gydF4y2Ba18gydF4y2Ba,114 - 115页,定理gydF4y2Ba(2)(vi)]。(3)- (vi),我们使用的相应值gydF4y2Ba从[gydF4y2Ba3gydF4y2Ba,189 - 193页)。gydF4y2Ba

Ramanujan Schalfli类型模块化方程'程度还可以用于产品的显式值gydF4y2Ba。我们提供两个定理为例。gydF4y2Ba

定理22。gydF4y2Ba一个人gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba我们使用类不变量的定义gydF4y2Ba和gydF4y2Ba在引理gydF4y2Ba8gydF4y2Ba,完成证明。gydF4y2Ba

定理23。gydF4y2Ba一个人gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba我们使用类不变量的定义gydF4y2Ba和gydF4y2Ba在引理gydF4y2Ba9gydF4y2Ba,完成证明。gydF4y2Ba

5。评估Ramanujan的立方连分数gydF4y2Ba

在本节中,我们证明两个公式的显式评估Ramanujan立方连分数gydF4y2Ba的产品gydF4y2Ba。我们也给的例子。gydF4y2Ba

定理24。gydF4y2Ba一个人gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba替换gydF4y2Ba通过gydF4y2Ba在(gydF4y2Ba14gydF4y2Ba)和引理gydF4y2Ba7gydF4y2Ba,我们获得gydF4y2Ba 分(gydF4y2Ba42gydF4y2Ba)(gydF4y2Ba43gydF4y2Ba),设置gydF4y2Ba使用的定义和简化gydF4y2Ba,我们获得gydF4y2Ba 解决(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba并指出,gydF4y2Ba和事实的话gydF4y2Ba11gydF4y2Ba,我们到达期望的结果。gydF4y2Ba

从定理gydF4y2Ba24gydF4y2Ba,很明显,找到明确的价值观gydF4y2Ba它是足够的显式值gydF4y2Ba。例如,注意gydF4y2Ba从定理gydF4y2Ba10gydF4y2Ba(我)我们评估gydF4y2Ba

定理25。gydF4y2Ba一个人gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba替换gydF4y2Ba通过gydF4y2Ba然后替换gydF4y2Ba通过gydF4y2Ba在(gydF4y2Ba13gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba15gydF4y2Ba),我们得到gydF4y2Ba 分(gydF4y2Ba47gydF4y2Ba)(gydF4y2Ba48gydF4y2Ba),设置gydF4y2Ba通过使用的定义和简化gydF4y2Ba,我们到达gydF4y2Ba 解决(gydF4y2Ba49gydF4y2Ba)gydF4y2Ba并注意gydF4y2Ba和事实的话gydF4y2Ba11gydF4y2Ba,我们完成证明。gydF4y2Ba

从定理gydF4y2Ba25gydF4y2Ba很明显,如果我们知道的值gydF4y2Ba相应的值gydF4y2Ba可以很容易地评估。例如,通过注意gydF4y2Ba从定理gydF4y2Ba10gydF4y2Ba(我)计算gydF4y2Ba 同样,一个可以找到明确的价值观gydF4y2Ba使用的价值gydF4y2Ba从定理gydF4y2Ba21gydF4y2Ba(vi)。gydF4y2Ba

确认gydF4y2Ba

作者感谢大学拨款委员会,新德里,印度部分支持下的研究工作批准号f . 41-1394/2012号(SR)。gydF4y2Ba

引用gydF4y2Ba

s . RamanujangydF4y2Ba笔记本电脑gydF4y2Ba,1 - 2卷,塔塔基础研究所,孟买,印度,1957。gydF4y2Ba
视图:gydF4y2Ba MathSciNetgydF4y2Ba
b . c . Berndt h·h·陈,L.-C。张“Ramanujan theta-functions卓越的产品,”gydF4y2Ba爱丁堡数学学会学报》上gydF4y2Ba,40卷,不。3、583 - 612年,1997页。gydF4y2Ba
视图:gydF4y2Ba 出版商的网站gydF4y2Ba |gydF4y2Ba 谷歌学术搜索gydF4y2Ba |gydF4y2Ba Zentralblatt数学gydF4y2Ba |gydF4y2Ba MathSciNetgydF4y2Ba
b . c . BerndtgydF4y2BaRamanujan的笔记本。第五部分gydF4y2Ba施普林格,纽约,纽约,美国,1998年。gydF4y2Ba
视图:gydF4y2Ba 出版商的网站gydF4y2Ba |gydF4y2Ba MathSciNetgydF4y2Ba
m . s . m . Naika和b . n . Dharmendra”在一些新的明确的评估的一般定理theta-functions ramanujan们卓越的产品,”gydF4y2BaRamanujan日报gydF4y2Ba,15卷,不。3、349 - 366年,2008页。gydF4y2Ba
视图:gydF4y2Ba 谷歌学术搜索gydF4y2Ba
m . s . m . Naika b . n . Dharmendra, k . Shivashankara”ramanujan们非凡的产品的一些新的明确的评估函数,“gydF4y2Ba韩国东亚数学和数学科学杂志》上gydF4y2Ba,5卷,不。1,第119 - 107页,2006。gydF4y2Ba
视图:gydF4y2Ba 谷歌学术搜索gydF4y2Ba |gydF4y2Ba MathSciNetgydF4y2Ba
m . s . m . Naika和m . c . Maheshkumar ramanujan们非凡的产品明确的评估函数”,gydF4y2Ba先进的研究在当代数学gydF4y2Ba,13卷,不。2、235 - 254年,2006页。gydF4y2Ba
视图:gydF4y2Ba 谷歌学术搜索gydF4y2Ba
m . s .摩诃提婆Naika、m . c . Maheshkumar和k . s . Bairy”函数的一些非凡的产品。”gydF4y2Ba澳大利亚《数学分析和应用程序gydF4y2Ba,5卷,不。1、1 - 15,2008页。gydF4y2Ba
视图:gydF4y2Ba 谷歌学术搜索gydF4y2Ba |gydF4y2Ba Zentralblatt数学gydF4y2Ba |gydF4y2Ba MathSciNetgydF4y2Ba
m . s . n .摩诃提婆Naika, m . c . s . Maheshkumar和k . s . Bairy“通用公式明确评估Ramanujan立方连分数,”gydF4y2Ba庆数学杂志gydF4y2Ba卷,49号3、435 - 450年,2009页。gydF4y2Ba
视图:gydF4y2Ba 出版商的网站gydF4y2Ba |gydF4y2Ba 谷歌学术搜索gydF4y2Ba |gydF4y2Ba Zentralblatt数学gydF4y2Ba |gydF4y2Ba MathSciNetgydF4y2Ba
b . c . BerndtgydF4y2BaRamanujan的笔记本。第三部分gydF4y2Ba施普林格,纽约,纽约,美国,1991年。gydF4y2Ba
视图:gydF4y2Ba 出版商的网站gydF4y2Ba |gydF4y2Ba MathSciNetgydF4y2Ba
m . s . c .艾迪加t . Kim摩诃提婆Naika,和h s Madhusudhan”Ramanujan立方连分式的和明确的评估theta-functions,”gydF4y2Ba印度的纯粹和应用数学杂志》上gydF4y2Ba,35卷,不。9日,第1062 - 1047页,2004年。gydF4y2Ba
视图:gydF4y2Ba 谷歌学术搜索gydF4y2Ba |gydF4y2Ba Zentralblatt数学gydF4y2Ba |gydF4y2Ba MathSciNetgydF4y2Ba
模块化的方程,近似s Ramanujan。gydF4y2Ba $πgydF4y2Ba$ ”,gydF4y2Ba数学季刊gydF4y2Ba,45卷,第372 - 350页,1914年。gydF4y2Ba
视图:gydF4y2Ba 谷歌学术搜索gydF4y2Ba
n d·约纳利“Ramanujan一些类不变量,gydF4y2Ba印度数学学会》杂志上gydF4y2Ba,卷68,不。1 - 4、113 - 131年,2001页。gydF4y2Ba
视图:gydF4y2Ba 谷歌学术搜索gydF4y2Ba |gydF4y2Ba Zentralblatt数学gydF4y2Ba |gydF4y2Ba MathSciNetgydF4y2Ba
公元前Berndt h·h·陈,“一些Rogers-Ramanujan连分数的值。”gydF4y2Ba加拿大《数学gydF4y2Ba卷,47号5,897 - 914年,1995页。gydF4y2Ba
视图:gydF4y2Ba 出版商的网站gydF4y2Ba |gydF4y2Ba 谷歌学术搜索gydF4y2Ba |gydF4y2Ba Zentralblatt数学gydF4y2Ba |gydF4y2Ba MathSciNetgydF4y2Ba
b . c . Berndt h·h·陈,L.-C。张,“Ramanujan类与应用程序不变量的值gydF4y2Ba $问gydF4y2Ba$ 在继续分数和θ功能。gydF4y2Ba特殊功能,q系列和相关的话题gydF4y2Ba,m·伊斯梅尔·d·马森,m·拉赫曼。,vol. 14, pp. 37–53, American Mathematical Society, Providence, RI, USA, 1997.
视图:gydF4y2Ba 谷歌学术搜索gydF4y2Ba |gydF4y2Ba MathSciNetgydF4y2Ba
公元前Berndt, h·h·陈,l·c·张“Ramanujan类不变量和立方连分数,”gydF4y2BaActa速算比赛gydF4y2Ba,卷73,不。1,第85 - 67页,1995。gydF4y2Ba
视图:gydF4y2Ba 谷歌学术搜索gydF4y2Ba |gydF4y2Ba Zentralblatt数学gydF4y2Ba |gydF4y2Ba MathSciNetgydF4y2Ba
公元前Berndt, h·h·陈,S.-Y。康,L.-C。张,“一定系数η函数发现Ramanujan失落的笔记本,“gydF4y2Ba太平洋数学杂志gydF4y2Ba,卷202,不。2、267 - 304年,2002页。gydF4y2Ba
视图:gydF4y2Ba 出版商的网站gydF4y2Ba |gydF4y2Ba 谷歌学术搜索gydF4y2Ba |gydF4y2Ba Zentralblatt数学gydF4y2Ba |gydF4y2Ba MathSciNetgydF4y2Ba
n . Saikia“Ramanujan模块化方程和Weber-Ramanujan类不变量gydF4y2Ba ${GgydF4y2Ba}_{ngydF4y2Ba}$ 和gydF4y2Ba ${ggydF4y2Ba}_{ngydF4y2Ba}$ ”,gydF4y2Ba数学科学通报gydF4y2Ba,卷2,不。1,第223 - 205页,2012。gydF4y2Ba
视图:gydF4y2Ba 出版商的网站gydF4y2Ba |gydF4y2Ba 谷歌学术搜索gydF4y2Ba |gydF4y2Ba Zentralblatt数学gydF4y2Ba |gydF4y2Ba MathSciNetgydF4y2Ba
j .咦,gydF4y2Ba模块化的建设和应用方程[博士。论文)gydF4y2Ba2004年,伊利诺伊大学厄巴纳香槟。gydF4y2Ba

版权gydF4y2Ba

PDFgydF4y2Ba 下载引用gydF4y2Ba

下载其他格式gydF4y2Ba

订单打印副本gydF4y2Ba

的观点gydF4y2Ba

1375年gydF4y2Ba

下载gydF4y2Ba

957年gydF4y2Ba

引用gydF4y2Ba