多值映射的不动点定理在模糊超度量空间中

文摘

在模糊超度量空间的设置,我们研究多值映射的不动点定理。我们的结果统一、扩展和推广一些相关的公共不动点定理的文学超度量空间(GajićWang和歌曲(2013)(2002)和(2001))和模糊度量空间(Vijayaraju和Sajath (2011))。

1。介绍

1965年,德(1介绍了模糊集的理论。许多作者以不同的方式介绍了模糊度量空间的概念。乔治和Veeramani [2)修改模糊度量空间的概念引入Kramosil员工和Michalek [3在模糊度量空间)和定义分离拓扑。几位作者4- - - - - -10)研究和开发这个概念在不同的方向和不动点定理证明了模糊度量空间。Vijayaraju和Sajath11]扩展一些以前的结果,证明了一些常见的不动点定理混合的混合收缩条件下单一和多值映射。小王和歌曲12)建立了一些结果巧合,两对的公共不动点多值和单值映射在超度量空间中。2009年,sachenko和Zarichnyi [13介绍了模糊超度量空间的概念。Sedghi和Shobe14]证明公共不动点定理self-maps满足收缩条件对球完成模糊超度量空间。本文在模糊超度量空间的设置,我们研究多值映射的不动点定理。我们的结果统一、扩展和推广一些相关的公共不动点定理的文学超度量空间(12,15,16和模糊度量空间11]。

2。预赛和符号

定义1(见[1])。让是任何非空的。一个模糊集在域是一个函数和值。

定义2(见[17])。一个二元运算被称为连续三角范数(不久吗t规范)如果它满足下列条件:(1) 联想和交换,(2) 是连续的,(3) 对所有,(4) 每当和对所有。

定义3(见[2])。包含(X,米,*)称为模糊度量空间是一个任意的(非空的),是一个连续t规范,米是一个模糊集合满足下列条件和每个和:(1) ,(2) 当且仅当,(3) ,(4) ,(5) 是连续的。
被称为模糊度量。的函数表示之间的近似程度x和y关于,分别。
让(,*)是一个模糊度量空间。为,开放球与中心和半径被定义为
一个子集被称为开放,如果每个,存在和这样。让表示所有打开的子集的家庭。然后是一个拓扑诱导的模糊度量。这种拓扑是豪斯多夫和第一可数。

定义4(见[18])。让()是一个度量空间。如果指标满足强劲的三角不等式 然后被称为超度量和这两人()一个超度量空间。

定义5(见[18])。一个超度量空间()据说是球完成如果每个萎缩的球有一个非空的十字路口。

定义6(见[14])。让(,*)是一个模糊度量空间。如果模糊度量满足强劲的三角不等式 然后被称为模糊超度量和包含(,,*)称为模糊超度量空间。

定义7(见[14])。一个模糊超度量空间(,,*)据说是球完成如果每个萎缩的球有一个非空的十字路口。

备注(见[814])。(我)让是一个超度量和对所有。为每一个,定义 对所有,,。然后模糊度量也是一个模糊超度量。
(2)让一个超度量空间(球完整对所有。为每一个,定义 对所有,,。然后模糊度量空间(,,*)也是球完成。

3所示。主要结果

让(,*)是一个模糊超度量空间。让表示所有非空的封闭有限的集合的子集。对于每一个和,我们定义 在哪里。

备注(见[98])。很明显,和,我们有(我) ,每当,(2) 当且仅当。
这是很容易证明的是一种分离超度量空间。

定义10。让(,*)是一个模糊超度量空间。一个元素据说是一个巧合的多值地图吗和一个单值映射如果。我们表示 巧合的多值映射点的集合和单值映射。

定义11。让(,*)是一个模糊超度量空间,一个多值映射如果是一个单值映射。和是巧合的计算如果。

定义12。让(,*)是一个模糊超度量空间。一个元素据说两个多值映射的公共不动点吗和一个单值映射如果

定理13。让(,*)是一个模糊超度量空间。让是多值映射和的一对一双单值映射满足下列条件:(一) 是球完成;(b) ,,尽管,,对于;(c) ,,,,,;(d)如果,,然后存在点和在,这样

证明。让表示用集中封闭的球和半径 让是所有的球体的集合。然后的关系 是一个偏序。
考虑一个完全有序的亚科的。自球完成,我们有什么
让,在那里和。然后。因此 如果,然后。假设。让,, 自是一个非空的封闭的有界集,那么存在一个元素,这样 是一个非空的封闭的有界集;然后有一个元素这样
从两个条件,和(13),我们现在有了
所以;我们已经证明了这一点,每。因此一个上界在吗对这个家庭佐恩引理,因此,有一个最大的元素说,。存在一个元素这样。
假设
自和有界集非空的关闭,那么存在吗和这样
从两个条件(b)、(c)和(19),我们有
从两个条件(b)、(c)和(19)- (22),我们有
从(21)和(23),我们有
从(22)和(3.7),我们有
如果 然后从(24),我们有。
因此。这是一个矛盾的极大性在,因为。
如果 然后从(25),我们有。
因此。这是一个矛盾的极大性在,因为,
所以 此外,。
使用两个条件(b), (c)和(28),我们得到
因此。然后完成证明。

定理14。让(*)是一个模糊超度量空间。让是一对多值映射和让是一个单值映射满足下列条件:(一) 是球完成;(b) ,尽管,,对于;(c) ,,;(d)如果,。
然后,,有一个巧合点。此外,如果和,和巧合的是通勤在和,然后,,有一个公共不动点的。

证明。如果在定理13我们获得存在点和在这样
作为,和巧合的是通勤在和。
写作,然后。然后我们有
现在,因为还和巧合的是通勤在和,所以我们获得
因此,我们已经证明了这一点;也就是说,是一种常见的不动点的,,。

以下推论的证明是很容易的,所以省略。

推论15。让(*)是一个球完全模糊超度量空间。让是一对多值映射满足下列条件:(一) ,尽管,,对于;(b) 。
然后,有一个点在这样和。

现在我们举一个例子来说明定理13。

示例16。让(*)是一个模糊超度量空间,对所有, 对所有。
定义了地图,,,在如下:
定义 在哪里是一个函数的满足下列条件: ) 是在增加和减少( ) 意味着,尽管和。
然后对任何,下面的不平等 满足所有,,所有韩以来的不平等。
显然所有条件定理13是满意的,所以独特的公共不动点吗,,,。

4所示。结论

在这篇文章中,我们得到重合点定理和不动点定理两对多值和单值映射满足不同收缩条件下球完成模糊超度量空间,这是广义的结果对超度量空间(12,15,16和模糊度量空间11]。

承认

作者感谢裁判对他们有价值的建议在准备。