文摘
提出了一个动态模型和分析研究人口对资源生物量的影响,考虑到拥挤的效果。生物和bionomical平衡系统进行了讨论。全球稳定行为的积极平衡研究通过输出反馈控制。形成一个适当的哈密顿函数的讨论最优收获资源利用的人口使用Pontryagin的最大主。对模型进行数值模拟,分析了理论结果。
1。介绍
可再生能源是一个非常重要的食物来源和材料是必不可少的生物种群的生长和存活。连续和计划外的使用这些资源可能导致资源的灭绝,从而影响依赖资源的物种的生存。有相当大的兴趣在建模的可再生资源,比如渔业和林业。商业捕鱼的动态模型已经被广泛的研究考虑到经济和生态因素(1,2]。根据克拉克的作品(1,2),几位已进行了调查3- - - - - -12]。梁和王13)提出了一个简单的经济模型,调查了防爆的钓鱼现象资本投资和nonextinctive渔业资源。乔杜里(14)提出了一个模型,其中两个相互竞争的鱼类生长在逻辑上。他检查了稳定性分析和讨论了bionomical平衡和最优收获策略。它也显示14),没有极限环在积极的象限。Ragozin和棕色(15)提出了一个模型的猎物没有商业价值,捕食者是选择性地收获。当掠食者和猎物都是收获,那么一个最优政策现值最大化和资源价值的真实损失估计由于灾难性的库存水平下降已经被Mesterton-Gibbons[详细讨论16]。在另一篇论文,Mesterton-Gibbons [17]提出了两个独立的种群的生态模型,研究最优收获策略。风扇和王18]广义克拉克的经典模型1,2)通过考虑时间的逻辑斯蒂方程周期系数表明,他们有独特的周期正解模型,这是正解的全局渐近稳定。他们还调查了最优收获策略不断获取和周期性的收获。一个阶段结构的最优收获策略问题研究了张et al。19]。他们发现条件的共存和灭绝的物种。歌和陈20.]提出竞争生态系统,讨论了局部和全局系统的正平衡点的稳定性分析。他们还讨论了最优收获成熟的人口政策。Dubey et al。10)提出了一个模型,鱼人口部分取决于资源和收获。他们检查稳定性分析和最优收获策略与税收作为控制变量。Dubey et al。11]讨论了渔业资源系统的模型在水生环境中被分为两个区域——免费捕鱼区,并预留区。他们讨论了生物和bionomical平衡和最优收获策略。Dubey et al。12提出和分析一个inshore-offshore渔业人口模型,鱼正在收获在这两个领域。然后他们调查了稳定性分析和最优收获政策通过税收控制仪表。冰斗et al。21)被认为是两个模型——猎物之一,猎物在逻辑上成长和收获。再一次凹地和Chottopadhayay [22)描述单个物种模型,它有两个阶段:(i)成熟阶段(2)一个不成熟的阶段;他们讨论了平衡点及其稳定性分析的存在。他们证明了最优收获策略远远优于MSY策略和最优路径总比次优路径花费更少的时间达到最佳稳定状态。冰斗et al。23)提出了一个捕食者-食饵模型非功能性反应和物种都是收获。获取系统的管理策略,他们收获的努力作为控制变量。他们发现内部平衡点的稳定性条件的收获努力和证明存在一个超级关键霍普夫分岔。
从上面的文献和我们所知,看来收获的可再生资源的利用是人口的增长和发展还没有被考虑到拥挤的影响。因此,在本文中,我们提出一个数学模型的生物种群正在部分地依赖于可再生资源。这个资源是社会进一步发展的收获。
本文的组织如下。部分2描述了模型的发展和部分3给出了一个系统的稳定性分析的详细概述。bionomical平衡和最大可持续产量提出了部分4和5,分别。中给出了输出反馈控制部分6和最优收获策略部分7。数值模拟实验提出了部分8和9结束语是紧随其后的是引用。
2。数学模型
让我们考虑一个在逻辑上可再生资源越来越栖息地。那么这个资源生物量的动态管理 在哪里生物质资源的密度,是它的固有增长率,是一个种间干扰系数,是承载能力。
让是人口的密度利用生物质资源对自己的成长和发展。因此,内在资源生物量的生长速度和承载能力取决于人口的密度。因此,我们假设和在(1)的功能。因此,(1)减少 在哪里是一个积极的常数。
我们考虑下面的假设。(我)内在增长率是一个递减函数的它满足 我们将特殊形式的作为 (2)的承载能力也是一个递减函数的它满足 我们将特殊形式的作为
让我们表示和。
然后(1 b)可以写成
现在,我们考虑人口密度在逻辑上也越来越多。我们假设的人口增长速度和承载能力取决于资源生物量密度。如果资源生物量密度增加,增长率和人口承载能力也增加。因此,人口是由以下的动力学微分方程: 在哪里是内在的人口增长率,是它的承载能力在缺乏资源生物量、和人口的增长率是生物质资源的存在。
我们假设资源生物量收获的收获率,在那里是一个积极的常数和渔业资源被称为catchability系数,然后呢是收获的努力,这是一个控制变量。
保持上述方面的观点,系统的动力学可以由下面的微分方程组:
3所示。稳定性分析
首先,我们国家以下引理是一个地区吸引的模型系统(8)- (8 b)。
引理1。一组 是一个地区吸引所有解决方案启动内部的积极的象限,在哪里
以上引理显示解决方案的模型(8)- (8 b)非负和有界的,因此,模型是生物表现好。
这个引理的证明类似于弗里德曼等(24],舒克拉和Dubey [25),因此省略了。
现在,我们讨论当前的均衡分析模型。它可以很容易地检查模型(8)- (8 b)有四个非负平衡,即
平衡分和总是存在的。存在的平衡点,我们注意到是由
这表明如果存在
第四平衡点,我们注意到和是下面的代数方程的正解:
替代的价值,从(13 b)(13),我们得到一个三次方程如下: 在哪里
上面的方程(14)有一个独特的正解如果下面的不平等:
后知道的价值的价值,可以计算的关系
从(16),我们共处的注意资源生物量和人口在一个栖息地,资源的内在增长率生物质必须大于一个阈值。这个阈值取决于人口的承载能力和收集工作。
现在我们讨论这些平衡点的局部和全局稳定性行为。局部稳定性分析,首先我们发现变分矩阵对每一个平衡点。然后利用特征值法和Routh-Hurwitz标准,我们可以定理2来5。
定理2。(我)如果平衡点存在,那么总是不稳定的- - - - - -飞机。
(2)如果平衡点不存在,那么与本地稳定流形是一个鞍点吗方向和与当地不稳定流形方向。
定理3。的平衡点,只要它存在,与本地稳定流形是一个鞍点方向和与当地不稳定流形方向。
定理4。(我)如果,然后与当地不稳定流形是一个鞍点吗方向并在本地稳定流形方向。
(2)如果,然后总是稳定的飞机。
定理5。内部平衡,只要它存在,总是局部渐近稳定的- - - - - -飞机。
在接下来的定理,我们能够找到一个充分条件是全局渐近稳定的。
定理6。让下面的不平等在
然后内部平衡是全局渐近稳定对所有解决方案的内部地区启动中定义的引理1。
定理的证明6。这个定理的证明在附录中给出。
我们的下一个正在考虑的结果表明,该模型不能有任何闭合轨迹在第一象限的内部。
定理7。系统(8)- (8 b)不能有任何极限环的内部积极象限。
证明。让是一个连续微分函数的内部积极象限的- - - - - -飞机。
让
然后,
这表明不改变符号,并不等于零的积极象限- - - - - -飞机。通过Bendixon-Dulac标准,遵循系统(8)- (8 b)没有闭合轨迹,因此没有周期解的积极象限的内部- - - - - -飞机。
4所示。Bionomical平衡
在本节中,我们研究了bionomical均衡模型的系统(8)- (8 b)。Bionomical均衡的水平通过销售获得的总收入(TR)的生物量收获经济均衡情况下等于总成本(TC)收获生物量、经济租金完全消散。
经济净收益在时间是由 在哪里单位生物量和价格吗利用单位成本资源生物量。bionomical均衡是,在那里,积极的解决方案吗
解决(22),我们得到
很明显,
因此,bionomical平衡存在条件下(23)。
5。的最大可持续产量
的最大可持续产量(MSY)任何生物资源生物量最大速率可以收获更大收获率最终将导致资源的损耗为零。在缺乏任何人口,MSY的价值是由(1]
如果资源生物量受到人口的收获,可持续产量是由
我们注意到,
因此,,当。
从上面的方程,有趣的是,当,然后和。
这个结果匹配克拉克(1]。
如果,那么它表示资源的过度开采,如果,那么资源生物量正在开发中。
6。输出反馈控制
资源的栖息地在我们考虑由生物质利用的人口。生物质资源正在收割,收割工作被认为是作为输入。收割工作应用于股票和产生收益单位工作。我们假设总收益率单位努力受到约束。我们的目标是建构一动态输出反馈控制这样的稳定状态闭环系统是全局渐近稳定。然后模型方程(8)- (8 b)可以写成向量矩阵微分方程的形式 在哪里,
现在,在分析类似于Louartassi et al。26)和Mazoudi et al。27),一个可以证明以下定理。
定理9。对于任何常数钓鱼的努力,存在一个这样是全局渐近稳定的输出反馈控制律吗,在那里。
7所示。最优收获策略
在本节中,我们讨论了可再生资源的优化管理人口的存在是通过监管机构保护资源,确保人口的生存与可持续发展。现值给出了一个连续时间的收入流 在哪里是一年一度的瞬时速度的折扣。因此我们的目标是
为了这个目的,我们使用Pontryagin的最大原则。相关的哈密顿函数是由 在哪里和是伴随变量和被称为开关函数。
最优控制这最大化必须满足以下条件:
通常的影子价格和经济净收益单位收获。这表明如果影子价格的经济净收益小于单位收获如果影子价格的经济净收益大于单位收获。当影子价格=净经济收入收获一个单位,也就是说,,那么哈密顿成为独立的控制变量,也就是说,。
这是一个单一的控制的必要条件将最优控制。
因此,最优收获策略 当,我们有
现在,为了找到奇异控制的路径,我们利用Pontrygin的最高原则。根据这一原则,伴随变量和必须满足
上述方程可以写成
方程(38)又可以写成 在哪里
解决(38),我们得到
我们注意到当,那么影子价格如果是有界的。
因此,我们有
现在从(37),我们得到 在哪里
方程(43)的收益率
再次为影子价格是有限的,我们必须有。
因此,
替换的值,到(47),我们得到
因此,解决(13)- (13 b)的帮助下(48),我们得到一个最优解和最优收获工作。
8。数值模拟
为了研究模型的动力学系统(8)- (8 b)与计算机模拟的帮助下,我们选择了以下一组参数的值(另一组参数也存在): 初始条件:和。
对于这组参数,条件(16内部均衡的存在性)是满意。这表明它是由存在
因此,内部平衡点是局部渐近稳定的。有人指出条件(18在定理6是设置的参数选择不满意(49)。因为条件(18)只是一个充分条件全局渐近稳定,没有结论可以在这个阶段。的行为和关于时间绘制在图1设置的值的参数选择(49)。从这个图中,我们可以看到,人口密度增加,而资源生物量减少对时间的密度,并且都安定下来的均衡水平。
现在,我们选择另一组值的参数如下: 不同的初始值。
给出了参数的设置的值(51),它可能会指出,积极的平衡它是由存在
它可能是无礼地说,在这种情况下(参数中给出的值(51)),条件(18在定理6是满意的。这表明局部和全局渐近稳定在第一象限的内部。在图2,我们已经绘制的行为和不同的初始值。图2显示所有的轨迹从不同的初始点收敛到问题的关键。这表明是全局渐近稳定的。
注意这里和是关于系统的动力学的重要参数。因此,我们策划的行为和对时间的不同的值在图3和不同的价值观在图4。
(一)
(b)
(一)
(b)
从图3(一个),我们注意到减少,增加。如果很小吗最初略有增加然后减少收敛于其均衡水平。如果增加超过一个阈值,那么总是在平衡水平降低,定居下来。图3 (b)显示,也会减少减少。这是由于增加的事实的均衡水平减少由于人口依赖于资源生物量,从而也会减少。然而,有趣的是这里总是关于时间增加最后达到均衡水平。
从图4(一),它是指出减少,增加。图4 (b)显示,增加增加。也可能指出,所有积极的价值观,随着时间不断增加,最后落定在其稳定状态。然而,资源生物量最初一段时间增加,然后不断减少,最后稳定在均衡水平较低。这表明如果人口利用资源没有任何控制,那么资源生物量不断减少,这可能是注定要灭绝。
为了看到的定性行为最优收获资源,我们解决(13),(13 b)和(48)相同的一组值给定的参数(51有额外的值)和。然后我们得到最优均衡水平如下考虑:
我们观察到是一个非常重要的参数控制系统的动力学。的行为关于时间图所示5和的行为关于时间图所示6为不同的值。图5显示,如果小于最优水平(),然后在均衡水平增加,定居下来。如果,然后以更低的均衡水平降低,定居下来。如果足够大吗倾向于零。图6显示,如果,然后随着时间增加,最后得到的均衡水平。如果,然后它随着时间的增加,但沉淀在均衡水平较低。这是由于当这一事实,然后减少,因此也会减少。这表明,收割工作应该总是小于(最优收获水平),这样的资源和人口都可以保持在一个最优的水平。
9。结论
本文提出了一个数学模型和分析研究的收获可再生资源的影响。它一直认为,资源被利用人口为自身生长和存活。资源在逻辑上和人口增长。平衡的存在和稳定性分析的帮助下讨论了常微分方程的稳定性理论。它已经表明,积极的平衡(只要它存在)总是局部渐近稳定的。但并不总是全局渐近稳定的。然而,我们发现了一个充分条件是全局渐近稳定的。这种情况给出了阈值的比生长速率()的生物质资源。如果大于这个阈值,然后呢是全局渐近稳定的。使用Bendixon-Dulac标准,已经观察到的模型系统没有极限环的内部积极象限。我们还讨论了bionomical平衡模型的,所以一直在观察到bionomical均衡的资源生物量不依赖于人口的增长速度和承载能力。一个分析可持续产量()和最大可持续产量()进行了。它已被证明,如果,那么资源生物量将趋向于零,如果,那么资源生物量和人口可能会维持在理想的水平。全局渐近稳定的行为的积极平衡也被研究了输出反馈控制方法。
我们构建了一个哈密顿函数,然后使用Pontryagin的极大值原理,讨论最优收获策略。获得了最优平衡的解决方案。基于数值模拟结果进行验证。我们观察到,和是关于系统的动力学的重要参数。人们已经发现,如果增加,生物质资源和人口减少。然而,如果增加,人口密度增加和资源生物量密度减少。阈值的最优收获的努力被发现在理论上以及数值。它已经表明,收割工作应该总是小于保持资源和人口在一个最佳平衡的水平。
附录
定理的证明6。我们考虑以下正定函数:
区分关于时间的解决方案模型(8)- (8 b),一个代数操作产量
在哪里
足够的条件消极的是,下面的不平等是适用的:
我们注意到(18)意味着(各),从而李亚普诺夫函数的所有解决方案启动积极的内部象限的域包含吸引力的地区吗证明定理。
确认
作者欣然承认收到UGC的支持,新德里,批准号F.510/2 / DRS / 2010 (SAP-I)。a .智利也承认DST(印度)的金融援助WOS-A方案执行这项工作。