文摘
在本文中,我们介绍了paranorm Zweier收敛序列空间,, ,一个正实数序列。我们学习一些拓扑性质,证明了分解定理,并研究一些包含在这些空间关系。
1。介绍
让,是所有的集自然、真实,和复数。我们写 所有真实的或复杂的空间序列。
让,,表示的巴拿赫空间有限、收敛和空序列,分别赋范。
下面的子空间第一次被介绍和讨论马德克斯(1]: , , , ,在哪里是一个严格的正实数序列。
之后Lascarides [2,3)定义以下序列空间: 在哪里,尽管。
每一个线性子空间的例如,,被称为序列空间。
一个序列空间与线性拓扑称为讨论了每一个地图定义为是连续的所有。
一个讨论被称为一个讨论了是一个完整的线性度量空间。
一个拓扑的FK-space normable称为BK-space。
让和是两个空间和序列无限矩阵的或复杂的数字,在那里。然后我们说定义了矩阵的映射来,我们表示它的写作。
如果每一个序列序列,变换是在,在那里 通过,我们表示矩阵的类这样。
因此,当且仅当系列的右边(3)收敛为每个和每一个。
构建新的序列空间的方法通过矩阵域特定限制的方法最近受雇于阿尔泰et al。4],Başar和阿尔泰[5],Malkowsky [6Ng),和李7),和王8]。
Şengonul(9)定义的序列常用的是哪一个变换的序列,也就是说, 在哪里,和表示矩阵定义为 Başar和阿尔泰(5),Şengonul(9]介绍了Zweier序列空间和如下: 这里我们引用下面的一些结果由于Şengonul [9),我们将需要为了建立本文的结果。
定理1(见[9定理2.1])。的集和线性空间的坐标明智的加法和标量乘法的BK-spaces常态
定理2(见[9定理2.2])。序列空间和是线性空间同构和分别为,和。
定理3(见[9定理2.3])。的夹杂物严格坚持。
定理4(见[9定理2.6])。 是固体。
定理5(见[9定理3.6])。 不是一个可靠的空间序列。
统计收敛的概念被首次引入快(10由巴克(独立),也11和勋伯格12为真正的和复杂的序列。这个概念进一步研究了康纳(13,14),康纳et al。15),和许多其他人。统计收敛收敛是一个泛化的概念,比较常见的收敛理论。一个序列据说是统计收敛如果对于一个给定的作为 的概念融合是一个泛化的统计收敛。在最初的阶段,它是研究Kostyrko et al。16]。后来,它是研究Šalat et al。17,18],Demirci [19),Tripathy和哈札里卡20.,21汗,et al。22- - - - - -24]。
这里我们给一些预赛的概念收敛。
假设X是一个非空的集。然后一个家庭组(表示电源组)被认为是理想的如果是添加剂,,遗传,,。
一个非空的家庭设置据说是一个过滤器当且仅当,因为我们有对于每个和意味着。
一个理想的被称为重要的如果。
一个非平凡的理想被称为容许如果。
一个非平凡的理想如果不存在任何不平凡的理想是最大的包含作为一个子集。
对于每一个理想,有一个过滤器()对应于我,()=,在那里。
定义6。一个序列据说是收敛到一个数量如果
对于每一个。在这种情况下我们写。
的空间所有的收敛序列收敛于是由
定义7。一个序列据说是零,如果。在这种情况下我们写。
定义8。一个序列据说是柯西如果每存在一个数量这样对所有。
定义9。一个序列据说是如果存在有界这样。
定义10。让两个序列。我们说为几乎所有k相对 (a.a.k.r.I),如果。
下面的引理将用于建立本文的一些结果。
引理11。如果和。如果,然后(见[20.,21])cf。([17,18,20.- - - - - -24])。
最近汗和Ebadullah [25]介绍了以下序列空间的类: 我们也表示,
在本文中,我们介绍以下序列空间的类: 我们也表示, 在哪里是一个正实数序列。
在整个论文中,为了方便我们将表示对所有。
2。主要结果
定理12。类的组合和是线性空间。
证明。我们要证明的结果空间。
其他空间将遵循同样的证据。
让,让是标量。那么对于一个给定的:我们有
在哪里
让
是这样的,。
然后
因此。因此。因此是一个线性空间。其余的遵循同样的结果。
定理13。让。然后和paranormed空间,paranormed在哪里。
证明。让。(1)很明显,当且仅当。(2)
是显而易见的。(3)自和,使用闵可夫斯基的不平等,我们有
(4)现在对任何复杂的,我们有这样,。
让这样。
因此,,在那里。
因此作为。
因此是一个paranormed空间。
其余的遵循同样的结果。
定理14。 是一个封闭的子空间的。
证明。让是一个柯西序列这样。
我们表明,。
自,然后存在这样
我们需要证明(1)
收敛于,(2)如果,然后。
(1)自是一个柯西序列那么对于一个给定的,存在这样
对于一个给定的,我们有
然后。
让,在那里。
然后。
我们选择,然后为每一个,我们有
然后是一个标量的柯西序列,所以存在一个标量这样,因为。
(2)让被给予。我们表明,如果,然后。
自,然后存在这样
这意味着。
数量可以选择到一起(23),我们有
这样。
自。然后我们有一个子集的这样,在那里
让,在那里。
因此对于每一个,我们有
然后结果如下所示。
由于夹杂物和是严格的,所以针对定理呢14我们有下面的结果。
定理15。的空间和是无处稠密的子集的。
定理16。的空间和不分离。
证明。我们要证明的结果空间。
其他空间将遵循同样的证据。
让是一个无限的子集增加这样的自然数。
让
让。
很明显是不可数的。
考虑开放球的类。
让是一个开放的封面包含。
自是不可数的,所以不能被降低到一个可数subcover。
因此不分离。
定理17。让和一个容许理想。然后下面是等价的。(一) ;(b)存在这样,因为a.a.k.r.I;(c)存在和这样对所有和;(d)存在一个子集的这样和。
证明。(a) (b)。
让。然后存在这样
让是一个增序列这样
定义一个序列作为
为。
然后并形成以下包含:
我们得到了a.a.k.r.I。
(b)意味着(c)。
为。然后存在这样a.a.k.r.I。
让,然后。
定义一个序列作为
然后和。
(c)意味着(d)。
假设(c)。
让被给予。
让和
然后我们有。
(d)意味着(a)。
让和。
然后对任何,引理11,我们有
因此。
定理18。让和。然后下面的结果是等价的。(一) 和。(b) 。
证明。假设和,那么的不平等适用于任何和所有。
因此等价的(a)和(b)是显而易见的。
定理19。让和两个序列的正实数。然后当且仅当,在那里这样。
证明。让和。然后存在这样,都足够大。
自对于一个给定的,我们有
让然后。
然后对所有足够大,
因此。
相反的结果是很明显的一部分。
定理20。让和两个序列的正实数。然后当且仅当,在那里这样。
证明。遵循同样的证据证明定理19。
定理21。让和两个序列的正实数。然后当且仅当,,在那里这样。
承认
作者想记录下他们的感谢审稿人的仔细阅读和做一些有用的修正改进本文的演示。