文摘

我们首先回顾一组映射的扩大在一个普通的歧管。我们使用这个大集团统一引力和电弱字段,由玻色子。不幸的是,我们可以不包括中微子,因为几何理论基于一个普通歧管通常不能包含费米子。因此,在这篇文章中,我们介绍一个类似的组织包含在德威特superdiffeomorphisms supermanifold作为一个适当的子群。

1。介绍

已经激发了我们组扩大狄拉克的预测(1),随后的爱因斯坦的更具体的建议2),要求由泡利(3德威特[],言论4,5]。

第一版序言中他的著名的书量子力学,狄拉克预言声明:“使用转换理论的发展,首先应用于相对论和量子理论之后,的本质是理论物理学的新方法。进一步进展在于使我们的方程不变的方向仍然在更广泛和更广泛的转换。”

在他的自传笔记爱因斯坦发表了以下声明,与狄拉克是一致的,但这是更具体的:“我们的问题是,发现总场的场方程。所需的结构必须是一个泛化的对称张量。该组织必须不得小于连续坐标的转换。如果一个引入了更丰富的结构,该集团将不再确定方程一样强烈的对称张量的结构。因此这将是最美丽的,如果要成功地扩大集团再一次,类似于步骤导致狭义相对论和广义相对论。”

爱因斯坦的“坐标”的连续转换目前定义的组解析方程(1)。现在,解析(导致广义相对论)包含了洛伦兹群(导致狭义相对论)作为一个合适的子群。因此,爱因斯坦的建议是,我们寻求一组包含映射作为一个适当的子群,但不建议应该如何发现这样的一群。

泡利指出,“这是绝对必要的,这样一个基本定理的协方差法可以从最简单的基础上派生假设。“节2。2协方差,我们获得一个集团满足泡利的要求,通过假设所有观察家都同意是否任何给定的向量是守恒的。新协方差组被定义为(2),被称为“保护组织。“在以前的物理学论文(6- - - - - -13)我们使用了保护组织为了统一引力和电弱相互作用。

我们尝试只是部分成功,因为它不包括费米子。这是一个常见的缺陷几何理论定义在一个普通的歧管。然而,随着德威特(4)指出,Bose-Fermi超对称的发现表明,我们应该从一个普通supermanifold歧管。德维特(5)也指出,supermanifold,适当设置”将是一个合适的精化的几何思想基于爱因斯坦的广义相对论”。

出于上述理由,在部分3的这篇文章中,我们介绍一个超级保护组织包含superdiffeomorphisms作为适当的子群。

2。组包含映射作为一个适当的子群

在以前的物理学论文(6- - - - - -13),我们提出了一组包含映射为一个合适的子群。我们包括的讨论组在这一节,因为它包含优化清晰我们的新集团的介绍部分3。

2.1。微分同胚映射组

微分同胚映射,无穷小坐标相关的变化,求和约定被采用。转换的矩阵系数必须满秩,可积性条件 必须满足。偏微分法用一个逗号。

2.2。保护组

在[6- - - - - -13),我们更换(1)要求转换系数满足较弱的状态 转换,满足(2)被称为保守的节,就会明白这么做的原因2.2.1。证明(2)定义了一组包含映射为一个合适的小组将召回部分2.2.2。

2.2.1。转换的守恒定律

守恒律是一种表达的形式 在哪里是一个向量的密度体重吗。它是令人惊讶的和非常重要的(3)是不变的,不仅根据解析的,而且根据定义的更一般的转换(2)。这可能是以下方式。

一个向量的变换法密度的重量是 在哪里雅可比矩阵的行列式吗。如果我们区分(4)对短的计算 方程(5)表明,(3)是不变的,不仅在diffeomophisms,而且根据定义的大集团(2)。这是清晰的,因为是任意的,。因此,遵循从(5我们都有)和(即。,a conservation law is an invariant statement) if and only if the transformation coefficients satisfy (2)。因此,我们调用转换满足(2“保守”。

2.2.2。证明了保守的转换形式包含一组解析为一个合适的子群

首先,我们注意恒等变换是一个保守的变换。接下来,我们考虑一个转换后的结果来通过一个转换来。在区分关于,减去相应的表达式和互换,乘以,我们获得 我们看到从(6),如果数量和都消失,那么数量就消失了。因此,如果转换来从来是保守的,那么产品转换的来是保守的。如果我们让,我们看到从(6),保守的倒数转换是保守的。从,我们看到,矩阵的乘积和(表示的转换来从来、职责)等于矩阵(代表产品转型来)。很明显,众所周知,如果产品在这个意义上,承认一个矩阵表示满足结合律。这就完成了保守的一组转换形式的证明。

我们注意到如果1)感到满意,那么(2)是满意的;即保护组织包含了解析的子群。因此,表明它包含映射的适当的子群,我们只需要表现出变换系数满足(2),但不满足(1)。这样的转换系数 在哪里克罗内克符号通常是。如果我们采取的偏导数关于和减去相应的表达式的结果和交换,我们得到 如果在(8),我们选择,,,我们得到,所以转换系数(7)不满足(1)。然而,在乘以(8),我们发现转换系数(7)做满足(2)。q.e.d。

3所示。组包含Superdiffeomorphisms作为一个适当的子群

在[6- - - - - -13我们保护组的协方差组用于几何理论结合重力和电弱字段,这是由玻色子。这一理论,然而,未能完全统一引力和电弱相互作用,因为它不包括中微子,费米子。几何理论基于一个普通歧管通常不能包含费米子。然而玻色子和费米子都包含在理论基于supermanifold。因此,我们调查的泛化设置一个supermanifold保护组织。

3.1。Supermanifolds

正如罗杰斯(14)说,“supermanifold是一组,更确切地说它是一个多方面的模仿一些平坦的超空间,甚至当地坐标的值和一些奇怪的一部分Grassmann代数。”“甚至”数量通勤量,而“古怪”数量反对易。

我们采用的标准符号德威特(15页面2和3,第二节),规则的变换关系,将张量指标是通过使用系数的权力。当德威特的第一版的书出版于1984年,《华尔街日报》自然表示“Supermanifolds注定要成为标准适用于所有严重的超对称理论物理的研究。“我们假设读者感兴趣的这部分有点熟悉德威特的符号。然而,由于我们希望优化可读性,我们应当给予更多的细节比在本文的其余部分,什么是司空见惯的。

3.2。Superdiffeomorphism组

superdiffeomorphism,转换系数在的关系必须满秩和必须满足的条件吗 如果(9取而代之的是较弱的条件 转换将被调用superconservative是有原因的,都会变得清晰3.2。1。证明(10)定义了一组包含super-diffeomorphisms作为一个合适的小组将得到部分3.2。2。

3.2.1之上。转换Superconservation法律

讨论了德维特(15,113页)表明super-conservation法是一种表达形式 在哪里supervector密度的重量吗,为一个超级向量密度转换法 在哪里的雅可比矩阵superdeterminant吗。(注:德维特使用符号而不是我们的和象征而不是我们的)。

如果我们区分(12)对和乘,我们得到 我们已经使用对应于德威特的方程(1.7.25)。继续,我们有 由于,我们得到 因此,我们有 我们看到从(16我们都有)和(即。,a super-conservation law is an invariant statement) if and only if。自是任意的,,我们必须有。该指数我们不是总结,所以除以吗获得(10)。因此,我们调用转换满足(10)“super-conservative。”

3.2.2。证明Super-Conservative转换形式包含一组Superdiffeomorphisms作为一个适当的子群

我们首先注意到的恒等变换是一个super-conservative变换,它满足(10)。接下来,我们考虑一个转换后的结果来通过一个转换来。在区分关于,我们得到 我们乘得到 因此,

我们交换和在中间线(17)获得 我们乘得到 所以 在减去(22)(19),我们得到 方程(23)表明,如果数量和都消失,然后接下去的数量就消失了。因此,如果转换来从来super-conservative,那么产品转换的来super-conservative。如果我们让,我们看到从(23)的逆super-conservative super-conservative转换。在节2.2.2的关系保证满足结合律。这就完成了证明super-conservative转换形成一个集团。

我们注意到如果9)感到满意,那么(10)是满意的;即super-conservation组包含super-diffeomorphisms子群。因此,表明它包含super-diffeomorphisms作为适当的子群,我们只需要表现出变换系数满足(10),但不满足(9)。这样的转换系数是相同的(7)。这是明确的,因为数量(7)都是普通数字。因此,德维特指出,它们的甚至我们supermanifold的一部分。因此,在这种情况下,指数和在(9)和(10)是偶数。因此,对于转换系数(7),(9)和(10)降低(1)和(2)。我们先前已经表明在部分2.2.2转换系数(7)不满足(1),但是满足(2)。q.e.d。