文摘

探讨同步率相同的混沌系统的同步,通过使用控制器。本文强调在混合反馈控制技术和跟踪控制技术,并确定相应的最大,最小,平均利率同步。获得的结果应用Shimizu-Morioka混沌系统,和一些必要和充分条件同步。比较两个控制器的基础上进行的同步率,在Shimizu-Morioka系统。结果从理论上和数值分析。此外,提出了一种图象分析的方法完全描述混合控制器对于一个给定的系统的集合。

1。介绍

混沌控制和同步有科学家和工程师的关注由于其适用性后各种学科开拓佩科拉和卡洛尔的作品(1和奥特等。2]。它在各个领域的应用像信息处理,安全通信,神经网络,化学反应,生物系统,等等。太阳和曹3)提出了两种不同的噪声扰动混沌系统之间的同步。研究者提出不同的同步方法和应用成功控制混乱和获得同步的混沌系统。其中值得注意的方法是非线性反馈控制4),主动控制(5),自适应控制6),逐步退焊法设计(7),混合反馈控制(8),等等。当两个相同的混沌振子相互耦合或当其中一个驱动,同步发生在这种情况下被认为是相同的同步。让和表示变量描述的第一次和第二次相同的振荡器,分别,这取决于时间。对一组初始条件和的两个系统,如果,因为,然后同一同步发生。

在本文中,两个混沌系统同步方案,使用两种不同的控制器(9),主要是讨论部分2。部分3处理的速度同步测量(10同步时,通过使用控制器。定量估计的收敛速度两个系统对彼此的相空间。在下一节中,所述的方法是应用于耦合的Shimizu-Morioka混沌动力系统。混沌系统的同步是实现通过混合反馈控制和跟踪控制和结果讨论分析和数值。最后,确定相应的同步率和比较。值得注意的是,部分4.3探索图形的方法分析确定可能的控制器参数有效的同步。它被证明是一个有效的和优雅的工具确定控制器,传统的数学处理呈现不足。事实上,它使我们能够完全描述的集合所有混合动力控制器对于任何给定的问题。

2。控制器的描述

2.1。混合动力控制器的描述

可以表示为常微分方程组 在哪里,,,是非线性系统的一部分。

按照以下方式,新系统与系统相同的(1)被构造成

被称为控制器的运动控制系统(2)。反馈控制器应选用适当的相同的同步系统(1)和(2)。控制器据说是混合如果它是一个线性控制器和非线性控制器的组合。

这里选为控制器,在那里 非线性控制器和吗 线性控制器,的反馈矩阵。

之间的同步误差系统(1)和(2)被定义为,在那里和。很容易观察到的时间演化同步误差遵循的动力学方程 在哪里是反馈矩阵。

杨et al。8)派生的充分条件,如果矩阵的特征值有负的实际部分,那么错误动力系统(5)将在起源和渐近稳定系统(之间的同步1)和(2)将发生。

有人指出的错误动力系统形式 在哪里。

2.2。跟踪控制器的描述

正如已经提到的部分2.1任何系统的一阶非线性微分方程可以表示为(1)。的环境中通过引入混沌系统的同步跟踪控制器,混沌系统的形式(1)称为驱动系统。引入控制向量,反应系统作为控制 在哪里反应系统的状态向量。这项技术的目的是来设计控制器将同步驱动和响应系统的状态。

因此,错误的动力系统有一个表示 在哪里是误差向量。控制器的一个合适的选择,之前的系统可以在表单中 在哪里。部分4.5展示了一个方法,适当选择控制器。

现在让我们构建一个李雅普诺夫函数的形式。显然,是正定的。控制器必须选择适当的这样吗这意味着之间,因此,全球同步驱动和响应系统的状态达到渐近跟踪控制器。

3所示。理论分析:速度测量通过控制器相同的同步

节中已经观测到的2,适当选择控制器耦合混沌系统产生一个错误形式的动力系统 在哪里和。让我们定义欧几里得范数真正的矩阵作为表示,今后,如。

定义1。如果存在正的常数,,,这样,然后被定义为最低的速度同步,的最大速率同步,和他们的意思的平均利率同步。
如果错误的欧几里得范数,,可以书面形式,在那里,是积极的常量和,是积极的,那么作为。很明显,趋于0至少一样快,但不超过。显然,对于大的收敛速度为零是快速而慢得多为较小的值。的趋势也是一样的。它指出,如果和相互接近,然后呢躺在一个狭窄的窗口之间的两个指数衰减曲线。此外,它的价值大约是一样,在那里。当和然后,远吗确定平均曲线和,因此,是一个合理的近似。在这个意义上,我们定义的最低速度同步,最大的同步率,的平均速度同步。

定理2。的平均速度同步是由,在那里和,和在最小和最大对称矩阵的特征值;定义在(10)。

证明。简单的数学计算产量
收益率的估计作为 在哪里和是对称矩阵的最小和最大特征值,分别。
选择和这样 对所有,我们得到一个大致精确的估计的平均速度同步。

请注意。以防成为一个常数矩阵,很容易获得最小上界和最大特征值的下界如下: 我们获得的平均速度同步。

4所示。Shimizu-Morioka混沌系统的应用结果

4.1。Shimizu-Morioka混沌系统

Shimizu-Morioka动力系统如下: 在哪里,,状态变量和,是参数。研究Shil 'nikov [11显示系统展品Lorentz-like流动,和,。

以前的系统(15)可以写成在哪里

4.2。使用混合动力控制器Shimizu-Morioka混沌系统的同步

的反馈矩阵,我们有

矩阵的特征方程是

由前Routh-Hurwitz标准,上述方程的根当且仅当有负的实际部分吗

使用(3)和(4),混合Shimizu-Morioka系统的控制器。因此,系统的响应

4.3。混合动力控制器控制参数的完整描述

同步的必要和充分条件是在(19),涉及三个控制参数,,。由于所涉及的复杂表达式的性质,我们采用另一种路径的图形分析来确定明确的控制参数“可行的”,也就是说,的值的集合的不平等(19)同时满足。在这个意义上,我们可以声称,他们已经完全为特征的一组混合控制器Shimizu-Morioka系统混沌同步的耦合。同样的程序可以应用于任何耦合动力系统,因此完全描述的混合控制器。该方法提出了控制器设计中也有潜在的实际应用。

数据在数据集1和2说明图形化分析的方法的有效性。自问题涉及三个参数,一个三维图形分析最一般的。但为了清晰和可理解性,我们保持一个参数固定并生成二维图。蓝色的地区所有的图形都是“可控性的地区。“对任何一组、价值观在蓝色区域内产生混合控制器,驱动与传动系统同步的反应。图1修复在不同的价值观和显示的可能值和。很明显,总是成功的控制器设计。然而,值的下限随的增加。在图2,当再次是固定的,总是和假设值要低得多是增加了。因此,高的值和总是“可控性”,而增加的地区限制躺上面吗总是这样。

4.4。使用混合动力控制器同步率

对称矩阵是由。很明显,这个问题已经在很大程度上简化,因为矩阵因为选择一个合适的控制器已成为常数。这个矩阵的特征方程 有根,,,在那里

与条件和观察到。因此,和对所有。使用定理2,(1)最低的同步率=;(2)最大的同步率=;(3)意味着率=。

简单的计算收益率的最大可能值给出的。有可能实现如果下面的不平等:。

4.5。通过跟踪控制器Shimizu-Morioka混沌系统的同步

动力系统(15)是驱动系统。其相同的反应系统作为控制 在哪里确定和控制器吗是反应系统。让我们定义。出于观察声明在本控制器设计的轮廓,让我们选择控制器

使用系统(15),(23)和(24),动力系统的错误,在那里

一些老生常谈的计算产量。因此,跟踪控制器给出的(24导致全球之间的同步驱动和响应系统。

4.6。使用同步跟踪控制器

对称矩阵是由。很明显,这个问题又一次成为很大程度上简化,因为矩阵是一个常数对角矩阵由于适当的控制器的选择。在这里,和对所有。由定理2,(我)我:,,;(2)案例二:,,;(3)案例三:,,。

在所有的情况下,平均利率同步的始终是一个常数,;也就是说,。

5。讨论和结论

数值模拟的参数值和,并作为初始条件和。在混合动力控制技术,控制参数,,发挥重要作用的同步驱动和响应系统。同步错误的时间演化是绘制在图3。所有的错误随时间消失的速度消失的错误依赖的价值观。同步率中描述数据4和5分别为混合动力车和跟踪控制器。在这两个数字,最小、最大和平均利率同步除了所示。在混合控制技术,同步率是高度依赖于控制参数图中所描绘的一样3和4。

从大量的数值实验,平均同步率函数,也就是说,是非常接近(参考数据4和5)。Clealry,估计是高度准确的跟踪控制器和混合控制器,说明我们的力量的速度估计方法。因此,总的来说,平均同步率函数,在那里平均同步率,可以作为一个很好的近似出于实用的目的。

图6比较了同步混合控制和跟踪控制技术。很明显,混合控制器可以比跟踪控制器通过调整参数的混合控制器。从数值实验,如果,和大大大值,然后混合控制器总的来说比跟踪控制器的同步混沌Shimizu-Morioka系统。但选择任意值低和从该地区的“可控性”(指节4.3)导致跟踪控制器工作比混合控制器。因此,我们可以有把握地得出这样的结论:选择相对较大的参数值的混合控制器的充分条件是比跟踪控制器。为混合动力控制器同步的平均利率通过参数调整可以被修改。正是这种灵活性使混合在混沌同步控制技术重要。这与跟踪控制器的平均利率同步相当恒定的。

正如已经指出的那样,最大可能的平均速率的混合控制同步和跟踪控制的同步,这是一个常数。因此,一个更严格的混合控制器的充分条件优于跟踪控制器

承认

作者承认匿名评论者的有价值的见解和建设性的批评,已发挥了重要作用,其最终形式。