文摘
结果表明,如果足够光滑解一个二维非线性波动方程,这样存在吗与增刊 ,因为,然后。
1。介绍
在本文中,我们考虑下面的二维非线性波动方程: 在哪里,,,是任意的正的常数。方程(1)最近被Gottwald派生1)的大规模运动正压准地转方程作为罗斯比波二维模型。他(2]表明,(1通过同伦摄动方法)行波解。使用subequation方法,研究了行波解付et al。3]。阿斯兰(4)构建孤波解和周期波解(1Exp-function)的方法。
为和在(1),一个获得古典Zakharov-Kuznetsov (ZK)方程(5),这是一个数学模型来描述非线性离子声波的传播在磁化等离子体波。孤波解和ZK方程的柯西问题已经广泛被研究在文献([6- - - - - -11])。Panthee [12证明,如果足够顺利解决ZK方程初值问题是支持紧一个非凡的时间间隔,然后消失相同。最近,法典et al。13]表明,足够光滑ZK方程的解,紧凑支持两种不同的时间等于零。
本文的目的是调查的支持解决方案(1)。为了解决这个问题,我们主要使用的想法12- - - - - -15]。主要结果如下。
定理1。假设和,如果是一个解决方案(1),这样 然后,。
2。初步估计
引理2(见[13])。假设和。(我)如果,然后 (2)如果,然后 在哪里,,。
引理3。假设,如果是一个解决方案(1),这样;然后,是有界的。
证明。假设是一个递减函数如果和如果。让为和。很容易检查和
乘(1)分部和集成,我们获得
应用Gronwall引理和单调收敛定理,我们有
这证明是有界的。
应用引理2与和我们有,是有界的。在这里,我们使用的事实。这就完成了引理的证明。
引理4。假设,,是一个解决方案(1)。(我)如果,然后是有界的;(2)如果,然后是有界的。
证明。让和解决方案(1),我们有
乘(8)分部和集成,我们获得
请注意,和
它遵循从(9),
自和是有界的、应用引理2与和我们有,也有界。
同样,我们可以证明是有界的。让;然后,是一个解决方案(1)和满足,因此是有界的。这证明了(我)。
现在,我们证明(ii)。;然后,也是一个解决方案(1(我的)和满足的假设)。这证明(ii)和完成引理的证明。
备注5。特别是,如果条件和鉴于(i)和(ii),分别得到满足是有界的。
引理6(见[13])。让,是一个函数,这样吗是有界的,。然后,对所有和所有,功能和绝对是连续的与衍生品和乙醯。,分别。
引理7。假设,,,如果是一个函数,这样吗是有界的和。然后,
证明。让和;然后,
空间傅里叶变换(14)和应用引理6,我们有
在哪里
根据(15),当,我们有
当,我们选择写作
因此,我们有
采用Plancherel公式,我们有不平等(12)。
同样,让,我们也可以有(13)。这就完成了引理的证明。
引理8(见[12,13])。假设,,如果是一个解决方案(1),这样 然后,。
证明。定理1.1的证明类似于(12),我们省略细节。
3所示。主要结果的证明
假设为在哪里是一个不减少的函数,这样吗为和为。让;然后,。根据引理7,我们获得 在哪里和 注意的衍生品在间隔支持;然后, 在哪里是依赖于和。
结合(21)和(23),我们得到 应用引理4与我们有, 然后 自,以这样,我们有 请注意,为;我们有 让,我们获得 这证明了在。
接下来,我们将证明在。让;然后, 在哪里。
事实上,让;很容易检查也满足这个定理的假设,然后我们发现在 因此,存在这样对所有。应用引理8,我们完成定理的证明1。
确认
这项工作是由中国国家自然科学基金(没有。11171135),江苏的自然科学基金(没有。汉堡王2010329),这个项目中国江苏省优秀学科建设重点学术项目江苏高等教育机构的发展,与自然科学基金会的中国江苏高等教育机构(没有。09年kjb110003),以及台州社会发展项目(没有。2011213)。