文摘
我们提供了一个新的三阶微分方程的比较原理推导出性能与混合参数,,从这些相应的微分方程,没有偏离参数。立即提出了技术许可延长结果以一个方程没有偏离参数更通用方程先进和延迟参数。
1。介绍
我们考虑三阶微分方程与混合参数 我们假设,, ) 的比例是两个积极的奇数,( ) ,,,( ) ,,,,( ) ,为,为,( ) ,为,为。
有一个永久的兴趣研究三阶微分方程的性质。各种技术提出了此类方程(见[1- - - - - -21])。特别是比较定理,是一个非常强大和有效的工具在振荡理论。Mahfoud [18)技术,提出了一个非常有用的比较研究时滞微分方程的性质通过这些微分方程。然而,先进的微分方程相应的结果是失踪。在这篇文章中,我们填补这个缺口在振荡理论;此外,我们现在这样一个比较的结果,也与混合参数的微分方程。
2。主要的结果
下面的结果是至关重要的对我们的比较定理。
引理1。假设,,最终,。然后,对于任意的, 最终。
证明。它遵循的单调性那 也就是说, 另一方面,作为,那么对于任何存在一个足够大,这样 或者同样的 使用(6)(4),我们获得
我们引入了非振动解的结构。
这个结构遵循规范的情况,证明可以省略。众所周知,对于一个特定的情况 ,即为方程 总是存在一个令人满意的解决方案 ,这一事实导致下面的定义,这是由于Kiguradze和Chanturia [15]。
我们准备礼物的主要结果。
定理4。假设一些微分不等式 享受财产(A),那么所做的事 。
证明。假设相反,也就是说,我们承认这一点 拥有一个积极的解决方案令人满意的 。因此,它遵循从引理1,每, 将从来,我们获得 整合两次从来,我们是导致 让我们表示右边。然后,,满足 , 这与假设的定理,我们得出这样的结论: 房地产(A)。
定理4减少考试的属性的简单方程的微分方程的混合参数没有偏离参数和许可立即扩展的标准以财产(A)的方程没有偏离参数更一般的方程与先进和延迟参数。我们提供了一些应用程序的主要结果。
为我们进一步引用,我们组 在哪里。
定理5。如果对于一些, 然后 享受财产(A)。
证明。由定理4,它能充分表明,微分不等式 房地产(A)对于一些吗。如果相反,我们承认 没有财产(A),它拥有一个最终正解令人满意的 。我们定义有以下: 区分,一个人的 那 另一方面,使用的单调性,我们有 最终;让我们说或者同样的 在哪里将被指定。设置最后的不平等(17),我们得到 整合过去的不平等来,我们有 或 最终;让我们说。自,然后 因此, 从(15),我们发现存在和一些积极,这样 结合(24)和(25),我们有 因此, 或者同样的 这与函数的事实 是正对所有,我们得出结论不能满足;因此, 房地产(A)。
在以下条件,我们利用现有的已知结果没有偏差变元的微分方程为微分方程的新标准提供混合参数。
推论6。假设一些微分方程 享受财产(A),那么这个方程混合参数
证明。由定理4, 享受财产(A),提供了对一些,微分不等式 有财产(A)。但通过推论1 (16),这相当于属性(A)相应的微分方程 。
证明。众所周知(见,例如,12,15)), 担保财产(A) 其余遵循从推论6,常数消除由于使用锋利的不平等的标准。
我们支持我们的结果由几个说明性的例子。
3所示。例子
示例8。考虑到三阶非线性微分方程 在哪里,,。简单的计算表明,在这里(15)减少 对于一些,相当于 和这个定理4保证 享受财产(A)。
示例9。考虑混合的三阶微分方程参数 在哪里,,。两种情况下的必然结果7减少到 担保财产(A)。
我们的结果考虑先进的参数的值,可以看到下面的例子。
示例10。考虑到三阶非线性微分方程 在哪里,。两种情况下的必然结果7减少到 收益率财产(A) 。
4所示。结论和讨论
在本文中,我们提出了新的比较定理研究三阶微分方程的性质与混合参数通过这些相应的没有偏差变元微分方程。立即提出了技术许可延长结果以一个方程没有偏离参数更通用方程先进和延迟参数。获得的结果支持了一些说明性的例子。
承认
这项工作是支持S.G.A. KEGA批准号020 tuke-4/2012。