文摘
结果表明,满足条件的概念映射Akkasriworn et al .(2012)引入了弱于渐近quasi-nonexpansive映射的概念的Qihou(2001)和比的概念较弱的点态渐近扩张映射的柯克和徐(2008)。我们还获得一个公共不动点的一双通勤映射满足条件和多值映射满足条件对于一些。我们的结果正确包含Abkar的结果和Eslamian (2012), Akkasriworn et al .(2012),和许多其他人。
1。介绍
让是一个度量空间。一个映射据说是扩张如果
一个点被称为不动点的如果。我们将表示,固定的点的集合。映射据说是quasi-nonexpansive如果和
一个单值映射和多值映射据说上下班如果
第一个结果有关公共不动点的存在一对通勤的单值quasi-nonexpansive映射和多值扩张映射成立于希尔伯特空间由伊藤和高桥(1]。从那以后上下班的公共不动点理论对单值和多值映射一直在快速发展,出现了许多的论文(见,例如,2- - - - - -11),在其中的引用)。
2008年,铃木12]介绍了映射的条件,这是弱于nonexpansiveness和强于quasi-nonexpansiveness称之为条件。后来,Garcia-Falset et al。13]介绍了两个条件的概括,即条件和,学了映射的不动点的存在满足这样的条件。这些条件被Abkar扩展到多值的情况下,Eslamian [11)和Espinola et al。14]。然而,这些条件仍然介于nonexpansiveness和quasi-nonexpansiveness单值和多值的情况。另一方面,Qihou [15]介绍了渐近quasi-nonexpansive映射的概念和柯克和徐16介绍点态渐近扩张映射的概念。他们推广的概念渐近扩张映射的Goebel和柯克17]。
最近,Abkar和Eslamian [18]研究公共不动点的存在三种不同类型的广义扩张映射包括quasi-nonexpansive单值映射,点态渐近扩张映射的单值映射和多值映射满足条件和对于一些。最近,Akkasriworn et al。19]介绍了条件映射,即条件,这是弱于quasi-nonexpansiveness和渐近nonexpansiveness证明公共不动点的存在一对通勤的单值映射满足条件和一个多值映射满足条件和对于一些。
在这个报告中,出于上述结果,我们证明了条件甚至比渐近quasi-nonexpansiveness,弱弱的点态渐近nonexpansiveness一致凸双曲空间的设置。此外,我们还获得一个公共不动点定理和一些实力较弱的假设。
2。预赛
定义1(见[20.])。一个双曲空间是一个三在哪里是一个度量空间,是这样的吗和,我们有(W1) ;(W2) ;(W3) ;(W4) 。
如果,,然后我们使用符号为。很容易看到的,,我们有
我们将表示,一组。一个非空的子集的据说是凸如果对所有。
定义2(见[20.])。双曲空间被称为一致凸的如果对任何,存在一个这样对所有与,,,它是
一个函数提供这样一个对于给定和被称为一个统一的凸性模量。
显然,一致凸的巴拿赫空间一致凸的双曲空间。猫(0)空间也一致凸的双曲空间,看到20.,8号提案)。从现在开始,代表一个完整的一致凸的双曲空间均匀的凸性模量这样对于一个固定的,是一个常数函数。
(可以找到下面的引理21]。
引理3。让是一个非空的闭凸子集和。那么存在一个独特的观点这样
下面的引理,这是证明Khamsi和汗22),还需要。
引理4。修复。为每一个对于每个,设置 下确界在哪里了这样,和。然后对于任何和。此外,对于每一个固定的,我们有(我) ;(2) 是不减少的功能;(3)如果,然后。
我们将表示,非空的家族的子集,通过非空的封闭的家庭和有界的子集,通过非空的家族紧凑的子集,通过非空的紧凑的凸子集的家庭。让豪斯多夫距离,也就是说,
定义5。多值映射据说满足(我)条件 如果存在这样,每, (2)条件 如果存在这样,每,
我们说是强烈demiclosed如果每一个序列在这是收敛的和这样的,我们有。
我们注意到,每连续映射,强烈demiclosed但反过来并非如此(见[13例子5])。还需要注意的是,如果满足条件,然后强烈demiclosed(见[23,命题2.10])。
定义6。一个单值映射据说(我)满足条件 如果修复非空的关闭和凸,为每一个吗和任何闭凸子集与,最近的点在必须包含在修复吗;(2)是渐近扩张如果存在一个序列正数的和这样的 (3)是点态渐近扩张如果存在一个序列的映射与和这样的 (iv)是渐近quasi-nonexpansive如果修复非空的,存在一个序列正数的和这样的
3所示。主要结果
我们开始本节通过证明每个quasi-nonexpansive映射满足条件。
命题7。让是一个非空的凸子集。如果quasi-nonexpansive映射,那么满足条件。
证明。由(24定理4.2),是封闭的、凸的。让和是一个封闭的凸子集与。让是这样的,。自quasi-nonexpansive,。的独特性,我们有。因此满足条件。
以下两个命题显示满足条件的概念映射是比点态渐近扩张映射的概念映射和弱弱于渐近quasi-nonexpansive连续映射的概念。满足条件的一个映射但既不是点态渐近扩张,也不是渐近quasi-nonexpansive,看到19]。
8号提案。让是一个非空的有界闭凸子集。如果是点态渐近扩张映射的映射,那么满足条件。
证明。由(9定理3.11),非空的是封闭的、凸的。自是有界的,存在吗这样对所有。我们现在让和是一个封闭的凸子集与。让是这样的,。自一致凸的,则由引理吗4对于每一个整数,我们有
自和是凸的,我们有什么
加之(14),我们得到
因此,。由引理4,。因此是一个柯西序列。让。现在,让在(14),我们得到
自是连续的,
由(17),(18),的独特性,我们得到。
9号提案。让是一个非空的有界闭凸子集。如果是连续和渐近quasi-nonexpansive呢满足条件。
证明。自是连续的,是关闭的。接下来,我们证明是凸的。让是两个不同的点,让。这就足以证明。自渐近quasi-nonexpansive,
让。然后,为每个存在这样,如果然后
我们将显示设置的直径倾向于作为倾向于所以,这证明。让,和。然后作为。假设,让。因此,对于每一个存在这样。自,和
,我们为每一个,
通过让,我们得到,这是一个矛盾。因此是凸的。其余部分的证明紧跟命题的证明8在替换与。
备注10。连续性似乎基本命题的证明9。我们没有一个例子来证明它是必要的。
下面的结果是[的结果23定理3.2)。
定理11。让是一个非空的有界闭凸子集。假设满足条件和强烈demiclosed。然后有一个固定的点。
现在,我们已经准备好证明我们的主要定理。
定理12。让是一个非空的有界闭凸子集和是一个映射满足条件。假设满足条件和强烈demiclosed。如果和上班,然后存在这样。
证明。这个证明是图案后的证明(25定理3.1)。交换的和意味着对所有。然后解决对所有自满足条件。因此,映射是定义良好的。自强烈demiclosed呢强烈demiclosed。接下来,我们证明满足条件。让是这样的,
这意味着因此自满足条件。我们声称对所有。让的点这样。同样的条件,我们有。这表明
。现在,对于每个令人满意的(22),我们有
由定理11,存在这样。因此,我们有。
推论(见[1318定理3.2])。让是一个非空的有界闭凸子集的一个完整的猫(0)空间。让一个点态渐近扩张映射的映射,quasi-nonexpansive映射,让是一个多值映射满足条件和对于一些。如果,成对通勤,那么存在一个点这样。
推论14(见[19定理3.3])。让是一个非空的有界闭凸子集的一致凸的巴拿赫空间。让是一个映射满足条件,让是一个多值映射满足条件和对于一些。如果和上班,然后存在这样。
最后,我们表明,强烈demiclosedness在定理12不能被删除。
15例。把和。让标识映射,让上的映射定义为
很容易看到和通勤。在[13),作者证明
我们现在让,然后
这意味着满足条件()为所有。让,然后是一个近似不动点序列这是收敛的。但不是一个固定的点吗。这表明demiclosed并不强烈。很明显,没有一个固定的点。
确认
作者感谢教授桑旁Dhompongsa为他在准备论文的建议和意见。本文得到了高等教育委员会和泰国研究基金。