文摘
本文的目的是研究magneto-thermoelastic相互作用在一个最初的上下文中强调各向同性均匀半空间分数阶的广义热弹性理论。状态空间配方与拉普拉斯变换技术是用于获得一般的解决方案,以及由此产生的配方应用于斜坡类型增加热负荷和零压力。在物理领域问题的解决方案是通过使用一个数值拉普拉斯反变换的方法基于傅里叶展开技术,和位移的表达式,得到了半空间内温度和压力。数值计算进行特定材料说明结果。场变量的结果以图形方式显示。一些比较如图展示部分参数的影响,增加参数,磁场,和初始压力场变量。一些特殊情况下的特殊利益已经推导出从目前的调查。
1。介绍
毕奥(1)开发了耦合热弹性力学理论来克服固有的矛盾非耦合理论,弹性对温度的变化没有影响。在这个理论中,弹性和热传导方程是耦合的。但是,这股票的非耦合理论的缺陷预测无限的速度传播的热浪。广义热弹性理论得到了发展,其目的在于消除耦合理论的缺陷。目前,主要是两个不同的广义热弹性力学模型被广泛应用,一个主和舒尔曼(提出的2)和其他提出的绿色和林赛(3]。Lord-Shulman理论只修改了傅里叶热传导方程,并建议一个弛豫时间,而Green-Lindsay理论修改能量方程和运动方程和建议两个弛豫时间。达利瓦和Sherief4]Lord-Shulman理论扩展到包括各向异性情况。Hetnarski和Ignaczak5]本文调查各种广义热弹性理论的代表。优素福(6]研究了二维广义热弹性半空间问题受到斜坡类型加热。
magneto-thermoelasticity理论受到许多研究人员的关注由于其应用广泛多样的地球物理学等领域对理解的影响地球磁场在地震波,声波的衰减,发射的电磁辐射的核设备,光学,等等。magneto-thermoelasticity理论被引入Knopoff [7和查德威克8)和由Kaliski Petykiewicz (9]。发展的理论概述magneto-thermoelasticity讨论了帕利亚(10]。帕利亚研究飞机magneto-thermoelastic波的传播在一个各向同性的介质在磁场的影响下代理横向传播的方向。Nayfeh和Nemat-Nasser11]研究面波的传播在固体电磁领域的影响。Sherief和Ezzat12]讨论了热冲击问题与热magneto-thermoelasticity放松。Sherief和Helmy13)的上下文中显示了二维半无限问题electromagneto-thermoelasticity理论受到非均匀热冲击。Ezzat和优素福14)构建一个问题在广义magneto-thermoelasticity完全导电介质。Baksi et al。15)检查magneto-thermoelastic问题三维热弛豫和热源,无限弹性介质旋转。
初始应力的发展中是由于很多原因,如淬火过程中,造成差异的温度,缓慢的蠕变过程中,微分外部力量,和重力变化。地球应该是在高初始应力。研究人员表示出很大的兴趣研究这些压力波的传播的影响。毕奥(16解决动态问题的初始应力下弹性介质。将et al。17]研究了弹性波的反射下自由表面的初始应力。蒙塔纳罗(18]研究了各向同性线性热弹性力学与流体静力初始应力用毕奥本构定律的线性化压力。奥斯曼和歌曲19]研究面波的反射下从一个弹性固体半空间内水压没有能量耗散的初始应力。辛格(20.]探讨静水初始应力的影响在热弹性半空间介质中的波。
分数导数和积分的理论成立于19世纪的后半部分。分数阶导数第一个应用程序是由亚伯申请分数微积分在积分方程的解决方案出现在等时曲线的制定问题。近年来,分数微积分已经成功应用在各领域的修改许多现有的物理过程模型如热传导、扩散、粘弹性、波传播和电子产品。卡普托和曼拉德21,22和卡普托23建立了分数导数之间的关系和线性粘弹性理论。泛化的概念,导数和积分noninteger订单已受到几种方法,和一些各种替代部分衍生品的定义出现在[24- - - - - -27]。一个可以参考Podlubny [28分数阶微积分的调查应用程序。Povstenko [29日)提出了一个准静态非耦合热弹性理论基于分数热传导方程。Sherief et al。30.)引入了一个新的使用分数微积分的热弹性模型,证明了一个唯一性定理,推导出一个互惠关系和变分原理。在这个模型中,热传导方程形式 在哪里热通量向量的分量,是温度,是热弛豫时间参数,热导率张量,是一个部分参数,这样吗。上述热传导方程减少Maxwell-Cattaneo法在极限情况。应该是这里提到Maxwell-Cattaneo法律已经受雇于主和舒尔曼(2)第一次广义热弹性理论发展。优素福(31日]构造另一个模型的热弹性力学中一个新的考虑热传导与分数阶和证明了唯一性定理。在这个模型中,约瑟夫描述了不同情况下的导电率:对应于弱导电性,对应于正常的电导率,对应于超导。Ezzat [32,33]部分热传导方程建立了一个模型通过使用泰勒级数展开的time-fractional新秩序由Jumarie [34]。El-Karamany和Ezzat35]介绍了两个部分为非齐次热传导定律的一般模型各向异性弹性固体。独特性和互惠的定理证明,建立了卷积变分原理和唯一性定理来证明使用没有限制弹性和热导率张量对称条件除外。两个温度的动态耦合,Lord-Shulman和部分耦合热弹性力学理论,结果限制情况。对于部分没有包含两个温度的热弹性力学,El-Karamany和Ezzat [36)建立了独特性,互惠卷积定理和变分原理。动态耦合和Green-Naghdi热弹性理论结果限制情况。互惠关系的静止的初始状态是发现独立的differintegration [35,36]。分数阶完美的进行热弹性理论中没有包含两个温度由El-Karamany调查,Ezzat [37]。Kothari和Mukhopadhyay [38]研究了半无限问题分数阶下的热弹性力学理论和分析分数阶参数的影响的变量。
在本文中,我们研究磁场和初始应力的影响下分数阶提出的热弹性理论Sherief et al。30.]。我们采用状态空间方法由Bahar和Hetnarski [39在制定)。拉普拉斯变换技术是用于获得的通解。拉普拉斯逆变换进行使用数值反演方法由韩起澜和Hirdes [40]。最后,部分参数的影响,增加参数,初始应力与磁场,以图形化显示变量。
2。控制方程
分数阶理论的背景下控制方程的广义热弹性力学与初始应力和磁场的各向同性和均匀弹性介质视为(我)的运动方程 在哪里,(2)热传导方程 (3)本构关系
我们把线性化管理的电磁场麦克斯韦方程完全导电介质 在哪里位移矢量的分量吗,,绝对温度,假定服从的参考温度是不平等吗,热弛豫时间,应力张量的分量,应变张量的分量,克罗内克符号函数,体积膨胀,介质的密度,比热容,热导率,,线性热膨胀系数,和瘸子是常数,是初始压力,洛伦兹的身体力矢量的分量吗,磁导率,是电介电常数,应用磁场,感应磁场,是感应电场,是电流密度向量。
3所示。问题公式化
我们认为一个完美的进行各向同性均匀和分数阶广义热弹性半空间内静压初始应力恒定磁场产生一个感应磁场吗和感应电场。我们假设一维运动的所有字段数量函数和。
位移组件形式
应变分量变得
磁场向量的分量
电场强度矢量电流密度矢量平行。因此,组件的和给出了作为
现在,麦克斯韦方程(5)提供了以下结果:
一维情况下的控制方程
现在,我们将使用以下无量纲变量: 在哪里
表达(12)- (14)的无量纲变量由(15)和下降的主要标志为方便起见,我们有以下形式: 在哪里
这些方程将补充适当的边界条件下相关的特定应用程序的考虑。
的拉普拉斯变换(17)通过使用均匀初始条件定义和表示 我们获得
消除的价值从(20.)和(21)通过使用(22),我们得到 在哪里
4所示。状态方程公式
现在,选择导热的温度和应力分量在方向作为状态变量,可以写(23以矩阵形式) 在哪里
正式的解决方案(25可以书面形式) 在哪里
在上面的解决方案,我们已经取消了指数的一部分权力得到有界正解的大。
现在,我们将使用Cayley-Hamilton定理得到矩阵的形式,为此,我们进行如下。
矩阵的特征方程获得的是 的根(29日),即,满足以下关系:
现在,我们编写矩阵的谱分解作为 在哪里和被称为的投影仪吗,满足下列条件
然后,我们有 在哪里
最后,我们得到
矩阵的特征方程可以写成 的根(36),即和,可以写成
现在,泰勒级数展开的收益率
使用Cayley-Hamilton定理,我们可以表达和更高的矩阵而言,和,在那里是二阶单位矩阵,Bahar和Hetnarski39]。
因此,无穷级数(38)可以表示为 在哪里和系数是根据和。Cayley-Hamilton定理,特征根和矩阵的必须满足(39),所以我们有
通过求解上述方程组和使用(37),我们得到
插入的值和在(39),我们有 的条目给出了作为
解决方案(25)可以被写成以下形式:
替换的值,,到(44)和执行必要的矩阵运算,我们获得的值和作为 在哪里
5。应用程序
问题:斜坡类型边界弹性半空间内的温度。
我们考虑一个均匀半空间各向同性热弹性固体占领。半空间的边界影响斜坡类型加热。数学符号的边界条件可以表示为 在哪里是恒定的温度和被定义为 在哪里正在参数。
我们采用无量纲变量给出了(15)(50)和拉普拉斯变换,得到
替换的值和从(52)(45)- (46)和(49),我们发现 在哪里
6。极限情况下
(1)场变量的数学表达式的上下文中研究了广义magneto-thermoelasticity理论与初始应力下应用边界条件可以得到应用在(13)。(2)忽略了初始应力效应,用在(14),在(58),我们获得字段变量的表达式在分数阶广义magneto-thermoelasticity。(3)研究领域的表达式的上下文分数阶广义热弹性理论与初始应力可以推断通过设置在(12)。
7所示。拉普拉斯变换的数值反演
现在我们将轮廓数值反演方法在物理域找到解决方案。拉普拉斯变换的定义是的反演公式 在哪里函数的拉普拉斯变换吗。
为了反拉普拉斯变换方程给出的部分5,我们应用一个数值反演方法基于傅里叶级数扩张解释为韩起澜和Hirdes [40]。在这种方法中,反变换的拉普拉斯变换近似的关系是 在哪里是一个足够大的整数代表的数量条款的傅里叶级数截断选择这样 在哪里规定小正值对应精确度,是一个积极的常数,必须大于真正的部分的所有奇点。最优的选择获得根据韩起澜和Hirdes[描述的标准40]。
8。数值结果和讨论
为了说明和比较理论结果部分5我们现在一些数值结果,描述位移的变化,温度和应力分量。材料选择数值评估的目的是铜,我们采取以下值不同的物理常数
kgm−1年代−2,调频−1,Wm−1K−1,K,kgm−3,年代,,K−1,Jkg−1K−1,我−1,嗯−1。
一般的常量和给出了作为 在哪里是初始压力参数,杨氏模量;和泊松比。对于没有初始应力的各向同性弹性介质,我们。
进行了计算,,,。在前一节中列出的数值技术,用于转化的拉普拉斯变换(53),提供位移、温度和应力分布的物理域。结果以图形方式表示不同的位置。
数据1,2,3展览场的空间变化量在分数阶的背景下的热弹性力学理论与磁场和初始应力为不同值的部分参数。
图1显示位移分量的变化为不同的值,并注意到位移分量的大小随的增加部分参数的值。在的情况下(例如,和),在半空间的边界位移组件达到最大值,然后不断减少为零。因此,位移分量也有类似的趋势的价值观。
图2描述了温度的变化随着距离的为不同的值,注意到的情况下(例如,和),最大的价值是2半空间的边界。我们从图,观察不同的是微不足道的一开始,和增加,很明显的区别;两个系列的方法为零。只这两个系列的趋势是一样的。
图3显示应力分量的变化随着距离的为不同的值。很明显从这个系列图,也有类似的趋势,也就是说,先增加到最大值,然后下降到最小值。的价值当增加而增加的部分参数,而变化的趋势是不利的。不同的是重要的范围内。
数据4,5,6描述位移分量的变化,温度和应力分量的三种不同情况下定义为(a) ISMT(最初强调magneto-thermoelasticity),,;(b)太(magneto-thermoelasticity),,;和(c)是(最初强调热弹性),,,。在上述所有情况下(a)、(b)和(c),分数阶参数的值了。
图4显示位移分量的变化(a)中讨论的三种情况下,(b)和(c),观察到的位移分量ISMT和是最大正值但太,边界上的位移组件最大负值的楼梯。位移分量的趋势ISMT和是一样,也就是说,这个系列都是不断降低为零,但在MT,系列迅速接近为零。图4展品,在缺乏磁场(IST)和初始应力的值(MT)减少位移。也观察到ISMT相比,不同之处在于重要的是但明显太。
图5显示温度的变化根据ISMT,太,是理论。这是观察到的趋势系列ISMT,太,和坚持是相似的,不同的是重要的。发现没有初始应力(MT)增加温度组件的价值,但缺乏磁场(IST)降低温度的值比一般情况下(ISMT)。
图6展品ISMT下压力的变化,太,是理论。我们发现,应力分量的行为在所有三个案例是一样的。还观察到,相比ISMT理论应力分量有大量值是理论,但小值太理论。不同之处在于重要的坚持和太理论与ISMT理论相比,但不同的是在太理论相比是理论。
数据7,8,9展览位移分量的变化,温度和应力分量的热弹性力学的分数阶理论与磁场和初始应力不同的斜坡值参数。增加参数的值为0.1,0.3,0.5,和分数阶参数的值采取的是所有的三个案例。
图7表明,当我们增加坡道参数的值,然后位移组件的值也增加。也观察到这一趋势的情况下类似的变化和影响斜坡参数是重要的在前两种情况下,明显在去年两种情况。
图8描述了我们增加坡道参数的值,然后温度迅速降低的价值。也观察到这一趋势在所有三个案例系列相似和坡道参数变化的影响明显在最初的距离范围。
图9显示,当我们增加坡道参数的值,然后应力分量的值降低。也观察到这一趋势在所有三个案例系列(即相似。,all the series have same initial value, and first increases to a maximum value then decreases to a minimum value) and the effect of change in ramp parameter is much pronounced. It is also apparent from the figure that as we increase the value of ramp parameter from 0.1 to 0.3, the values of stress component decrease rapidly as compared to increase in the value of ramp parameter from 0.3 to 0.5.
9。总结
我们认为一个完美的上下文中进行弹性半空间均匀分数阶广义热弹性理论与磁场和初始应力。矩阵指数的方法,构成了现代的状态空间方法的基础理论,应用于无量纲方程。状态空间方法是公认的重要性在田野,在物理过程的时间行为的兴趣。状态空间方法比经典拉普拉斯和更一般的傅里叶变换技术。因此,状态空间是适用于所有系统,可以通过积分变换分析,也适用于许多系统的变换理论分解(41]。势函数的方法通常用于热弹性理论的解决问题。然而,这[中有几个缺点39]。这些可能是总结了物理问题的边界条件是直接相关的物理量在考虑潜在的功能。其次,更严格的假设必须在潜在功能的行为,而不是实际的物理量。最后,发现许多积分表示的物理量是古典意义上的收敛,而他们的势函数表示只有收敛的意思。所有这些原因导致了许多作者避免潜在的使用功能。在选择状态空间配方。这种方法使使用现代控制理论的方法在解决热弹性力学问题。
主要结论由于磁场的影响,初始压力,部分参数,和斜坡参数可以概括如下:(1)有限传播速度的现象是保存的所有字段变量除了应力分量由于初始应力的存在,和所有结果与广义热弹性理论一致;(2)部分参数有显著的影响在所有的研究领域。位移分量随的增加部分参数的值;(3)热力学温度先降低后增加,但应力分量先增加然后减少到最小值的增加部分参数的值;(4)磁场的影响沉默比初始应力在研究领域。此外,所有字段变量情况下ISMT,太,和坚持的行为除了太位移分量;(5)在分数阶广义热弹性理论与磁场和初始压力,增加参数的值的增加增加位移分量的大小,但减少温度分布和应力分量的大小;(6)位移分量,温度分布和应力分量显示几乎类似的模式,不同的部分参数值和坡道参数。
承认
Sandeep辛格Sheoran作者之一,感谢美国g . C。金融支持、新德里、见信不。f . 17-11/2008 (SA-1)。