文摘
本文的主要目的是获得一些结果与quasi-Hadamard特定的产物星形的,凸单价的分析功能对对称点。
1。介绍和定义
让表示的类的函数形式 分析和单价的公开单位磁盘和规范化的,在那里是一个固定的点。
在这篇文章中,我们的函数形式 是常规和单价的单位圆。
让是一个固定的点,。
在[1),喀纳斯和朗宁定义以下类的功能星形的,分别凸 最近,Acu和Owa [2],Oladipo [3],和Oladipo Breaz [4)广泛研究过之前的类。
让的子类组成的函数给出的(1),和满足条件 这些函数被称为星形的对称点和介绍了由坂口(5]。
出于之前的类,Oladipo [6)(参见[7)定义以下类的函数对对称点。
定义1。(我)让的子类组成的函数给出的(1)满足条件
和是一个固定的点。这些函数被称为星形的对称点。
(2)让的子类组成的函数给出的(1)满足条件
和是一个固定的点。这些函数被称为对对称凸点。
假设和是两个解析函数在吗。然后,我们说这个函数服从功能,我们写
如果存在一个施瓦兹函数与和这样
通过前面的从属的定义,我们定义以下的子类和。
定义2。(我)让的子类组成的函数给出的(1)满足条件
在哪里,,是一个固定的点。
(2)让的子类组成的函数给出的(1)满足条件
在哪里,,是一个固定的点。
为,我们有
由高尔和Mehrok介绍8)和一位Vasanthi (9),分别。
使用(12)和(13),我们可以很容易地获得特征属性的类和如下。
引理3。一个函数定义为(2)属于类,如果它满足条件
引理4。一个函数定义为(2)属于类,如果它满足条件
现在,我们介绍下面的类的分析功能。
定义5。一个函数的形式(2),这是分析,属于类,如果它满足条件
在哪里和任何固定的非负实数。
我们注意到,对于任何非负实数,类非空的是表单的功能
在哪里,,,满足不等式(17)。
显然,我们有以下关系:(我)
和;(2)
;(3)
。
让我们定义准阿达玛产品的功能和通过
同样,我们可以定义quasi-Hadamard超过两个函数的乘积;例如, 的功能是由(3)。
在本文中,我们推导出某些结果与quasi-Hadamard相关产品功能的类,,,延长结果库马尔(10,11),达尔维什(12],Aouf [13]。
2。主要结果
除非另有所提到的,我们将假定在以下结果,,任何固定的非负实数,是一个固定的点。
定理6。让功能定义为(3在课堂上对于每一个,让功能定义为(5在课堂上对于每一个。然后,quasi-Hadamard产品属于类。
证明。让;然后,
它能充分显示
自通过引理4,我们有
对于每一个。因此,
或
对于每一个。右边表达式的最后不平等不大于。因此,
对于每一个。而且,由于,我们发现从(17),
对于每一个。因此,我们获得
对于每一个。
使用(26)- (28),,我们分别
因此,我们有。这就完成了定理的证明6。
在设置在定理6,我们得到以下的结果。
推论7。让功能定义为(3)和功能定义为(5)属于类对于每一个和。然后,quasi-Hadamard产品属于类。
定理8。让功能定义为(3在课堂上对于每一个,让功能定义为(5在课堂上对于每一个。然后,quasi-Hadamard产品属于类。
证明。假设被定义为(21)。为了证明这个定理,我们需要证明
自,从(17),我们有
对于每一个。因此,我们得到
对于每一个。此外,自通过引理3,我们有
对于每一个。从那里,我们获得
对于每一个。
使用(32)- (34),,,分别
因此,我们有。我们完成了证明。
通过在定理8,我们得到下面的结果。
推论9。让功能定义为(3)和功能定义为(5)属于类对于每一个和。然后,quasi-Hadamard产品属于类。
推论10。让功能定义为(3在课堂上对于每一个,让功能定义为(5在课堂上对于每一个。然后,quasi-Hadamard产品属于类。
考虑到quasi-Hadamard产品的功能只有在证明定理6和使用(23)和(26)和分别导致以下。
推论11。让功能定义为(3)属于类对于每一个。然后,准阿达玛的产品属于类。
同时,考虑到quasi-Hadamard产品的功能只有在证明定理8和使用(33)和(34)和分别导致以下。
推论12。让功能定义为(5)属于类对于每一个。然后,quasi-Hadamard产品属于类。
的话13。通过在前面的结果和利用的关系(14),我们得到相应的结果。
确认
目前调查部分支持下由中国自然科学基金会拨款11271045,高等学校博士基金会拨款20100003110004下的中国和中国的内蒙古自然科学基金资助下2010 ms0117。作者感谢裁判的仔细阅读和发表一些有用的评论基本上提高本文的演示。