文摘
使用广义翻译运营商,我们获得一个模拟的定理5.2尤尼斯(1986)为汉克尔变换函数满足贝塞尔李普希兹条件。
1。介绍和预赛
尤尼斯定理5.2 [1特征函数的集合满足柯西李普希兹条件的渐近估计增长的标准傅里叶变换;也就是说,我们有以下。
定理1(见[1])。让。以下是等价的:(1) ,,,(2) ,在哪里代表的傅里叶变换。
在本文中,我们获得一个泛化的定理1汉克尔变换。为了这个目的,我们使用一个通用的翻译操作符。
假设;可测函数的希尔伯特空间吗在与有限的规范
让 贝塞尔微分算子。
为,我们介绍了第一类贝塞尔函数归一化定义为 在哪里γ函数(见[2])。
这个函数满足的微分方程 与初始条件和。是无限可微函数,甚至,此外,完全解析。
引理2。为不平等是实现如下: 与,在那里是一个常数只取决于哪一个。
证明。引理2.9的模拟(3]。
引理3。以下为贝塞尔函数不等式是有效的:(1) ,尽管,(2) 。
证明。参见[4]。
的逆汉克尔变换公式
我们有Parseval等式
在,考虑广义翻译操作符定义为 在哪里
下面的连接关系广义翻译操作符和汉克尔变换;在[7我们有
2。主要结果
在本节中,我们给出本文的主要结果。我们需要首先定义贝塞尔李普希茨类。
定义4。让和。一个函数据说在吗贝塞尔李普希茨类,用唇(,2),如果
我们的主要结果如下。
定理5。让。那么以下是等价物(1) 唇。(2) 。
证明。
假设唇(,,2),然后我们有
如果然后和引理2意味着
然后
我们获得
在哪里是一个积极的常数。
这
在哪里自。
这证明
现在假设
我们写
在哪里
估计被求和和从上面。它遵循的不平等那
估计,我们使用的不平等的引理3。
集
利用分部积分,我们获得
在哪里是积极的常量,这结束了证据。