文摘
我们介绍两个高阶非线性方程的迭代方法寻找多个零。每个迭代的新方法需要三个评价函数,首次衍生品之一。这是证明了两种方法的收敛阶五或六。
1。介绍
解非线性方程数值分析是最重要的一个问题。在这篇文章中,我们考虑迭代方法来找到一个多个根的多重性,也就是说,,一个非线性方程 在哪里是一个标量函数在开区间它足够光滑的邻居。近年来,一些牛顿法的修改提出了多个根和分析1- - - - - -8]。然而,有许多方法来处理多个根的情况。因此我们提出两个高阶非线性方程的方法寻找多个零和只使用4个评价函数的每个迭代。此外,新方法有更好的效率指数比第三和四阶方法给出了(1- - - - - -3,7];鉴于这一事实,新方法相比更好的建立方法。
著名的牛顿法寻找多个根是由 这[平方收敛4]。对于本文的目的,我们使用(2)构建新的高阶方法。
2。发展的方法和收敛性分析
在本节中,我们定义新的高阶方法。为了建立收敛的订单我们基本定义的三个状态的新方法。
定义1。让是一个真正的函数用一个简单的根,让是一个实数序列收敛。收敛的顺序是由 在哪里渐近误差常数和吗。
定义2。让是函数的数量评估的新方法。新方法的效率是衡量效率指数的概念9,10),定义为 在哪里是方法的收敛阶。
定义3。Kung-Traub猜想多点迭代方法没有记忆,要求评估每个迭代函数,有最多的收敛阶 多点满足Kung-Traub猜想的方法通常称为最优方法(11]。
最近,。祖卡罗尔(8提出了一个四阶迭代法,给出的 事实上,本文提出的新方法是上面的扩展计划。开发高阶方法中,我们使用上面的两个步骤,第三步介绍新的参数。首先我们定义sixth-order方法然后其次是基于方法。
2.1。新的Sixth-Order方法
新的sixth-order方法寻找多个根表示为一个非线性方程 在哪里,的分母提供的初始值(6)和(7)不等于零。
定理4。让是一个多样性的多个根足够的可微函数一个开区间。如果足够接近,然后收敛的顺序定义的新方法(106)。
证明。让是一个重复性的多个根一个足够光滑函数,和,在那里定义在(6)。
利用泰勒展开式和关于,我们有
在哪里和
从(6),我们有
的扩张和是由
通过使用(11)和(15),我们有
因为从(7)我们有
像以前我们扩大,和代入相应的表达式(10)。简化后得到的误差方程
误差方程(18)建立了sixth-order收敛定义的新方法(10)。
2.2。基于新方法
新的基于方法寻找多个根表示为一个非线性方程 在哪里,的分母提供的初始值(19)- (21)不等于零。
定理5。让是一个多样性的多个根足够的可微函数一个开区间。如果足够接近,然后收敛的顺序定义的新方法(21)是五个。
证明。用适当的表达式(21)和简化后,得到误差方程 误差方程(22)建立了基于收敛定义的新方法(21)。
3所示。结论
在本文中,我们引入了两个新的高阶方法求解非线性方程与多个根。收敛性分析证明了收敛方法保存他们的新秩序。提出了基于方法实际上是第一个改进的四阶方法最近推出了8,进一步提高了实现sixth-order方法。通过引入新的参数我们取得了高阶收敛。本文的目的是介绍高阶收敛的方法。因为我们有验证新方法的收敛阶,我们没有说明这些方法的数值性能。最后,我们猜想,这些新的高阶迭代方法可以扩展到一个最优eighth-order收敛,可能被认为是一个很好的替代经典的方法给出了(1- - - - - -8]。
承认
作者感谢审稿人对他有用的评论文章。