文摘
本文研究一类一维细胞自动机的定量行为,叫弱permutive细胞自动机,作用于所有双无限的空间序列值在一个有限的戒指,。我们计算的拓扑熵理论测量熵和弱permutive元胞自动机对任何不变测度空间。作为一个应用程序,它是表明制服伯努利测量是独特的最大线性细胞自动机在马尔可夫的措施。
1。介绍
简洁细胞自动机(CA),引入了乌兰和冯·诺依曼,系统研究了荷得拉得从纯粹数学的观点1]。这种动态的研究叫做CA获得了非凡的注意力在过去的几年里1- - - - - -3]。CA广泛调查在很多学科(如数学、物理和计算机科学)。在[2),(遍历性和拓扑传递性)的动态行为环维线性CA (LCA)研究了。一些开放的问题关于一维拓扑和遍历性动力学的CA已经解决(4]。
众所周知,有几个熵的概念(即。,米easure-theoretical, topological, and directional) of measure-preserving transformation on probability space in ergodic theory. It is important to know how these notions are related with each other. In the last years, a lot of works are devoted to this subject (see, e.g., [5- - - - - -13])。回想一下,由变分原理拓扑熵的上确界是熵不变的措施。在[8,14,15),作者表明,最大熵的统一的伯努利测量是一个一维CA。
熵的概念已被广泛研究在许多学科(如计算机科学、数学、物理、化学、和信息理论)和不同的目的。这个概念第一次出现在热力学的热吸收(或释放),当外部工作完成一个系统。在概率理论,它构成了一定程度的不确定性。熵被解读为一种由许多作者动力系统的混沌特征(见[4,16,17]),值已经被普遍接受作为一个衡量的动力学的复杂性在空间。一些作者指出,映射的拓扑熵是一个全球的原油指数复杂性的轨道结构的地图(见[4,17])。Badii和Politi18)研究了复杂性表现出由一些基本规则CA使用拓扑(图形理论)和度量(热力学)技术。劳埃德和Pagels19)定义了一个衡量宏观的物理系统的复杂性。他们已经证明,一个国家的平均复杂度必须成正比的香农熵的轨迹,。
在本文中,我们研究了measure-theoretical熵和一维的拓扑熵弱permutiveCA(稍后定义)作用于所有双无限的空间序列值在一个有限的戒指,。在[14),作者计算measure-theoretical熵对统一的伯努利测量的情况是线性的本地定义的规则吗。最近,禁止et al。15)研究的复杂性permutative CA(稍后定义)在热力学和拓扑方面,他们也给了计算理论测量和拓扑熵的公式。本文对理论测量和拓扑熵,我们扩展结果(8,14,15,20.)的情况下是一种弱permutive CA的戒指吗对任何不变测度。我们的话,LCA弱permutive CA是一个特例。此外,拓扑熵的公式D中保et al。的结果(17LCA的拓扑熵。我们还表明,统一的伯努利测量是独特的最大LCA,每当我们专注于马尔可夫的措施。
我们举个例子。假设的当地规则 (cf。1)。当地的规则是非线性的。应用定理4和11,我们得出这样的结论:规定弱permutive CA的拓扑熵(见例子10)。
说明的其他部分组织如下。即将到来的部分给出了一些定义和permutive和弱permutive CA。部分的结果3说明了公式的理论测量和拓扑熵。统一的伯努利测量是一个最大熵还演示了在部分3。
2。初步
让,让是bi-infinite的空间序列。荷得拉得检查CA在符号动力系统的角度1]。他表明,是一个CA当且仅当可以表示为一个滑块代码;也就是说,存在和一块地图这样为和。这样的被称为本地规则。CA的当地规则的研究对这个系统的理解至关重要。
地方政府规章被称为最左边的(职责。最右边的)permutive如果存在一个整数,(职责。),这样(我) 是一个排列当其他变量是固定的;(2) 不依赖于为(职责。)。 被称为bipermutive提供既是最左和最右permutive。的家庭permutive细胞自动机包括以下三种类型的当地规则:(1) 左边的permutive,不取决于什么为;(2) 右边的permutive,不取决于什么为;(3) bipermutive。不失一般性,我们可以假设只取决于为的系数和的都是零。让映像为主要因素的产物。假设地方政府规章是给定的,准备好了吗。被称为弱permutive如果,,有这样要么是常数,多重身份映射,或permutive。
现在说明调查的理论测量和拓扑熵弱permutive CA。读者的方便,我们回忆的定义理论测量熵,拓扑熵,拓扑的压力。读者可以参考(13为更多的细节。
让是一个不变的概率测度,让和被两个有限的可衡量的分区。定义和通过 分别。的理论测量熵被定义为 上确界的接管所有有限的可衡量的分区。
定义通过 很容易验证是一个指标,是一个紧凑的度量空间。此外,让是一个圆柱,在那里。然后不仅是打开但关闭。让是一个开放的封面,用 下确界的接管的有限集subcovers吗的和表示的基数。的拓扑熵被定义为 上确界的接管所有打开的封面吗。
众所周知,permutive具有强烈混合(3,21]。回想一下,强烈混合,如果 下面的例子表明permuittivity不能省略。
例1。让被定义为 在哪里是高斯函数。见过,是一个排列但不是permutive。观察到是伊甸园对于一些;也就是说,不存在原像的。然后不是强烈混合。
3所示。弱熵Permutive细胞自动机
让是两个拓扑空间紧凑,让是一个概率测度。如果上,推动措施的在被定义为。是著名的也是一个概率测度。
引理2。让对于一些相对主要因素和。表示 然后提供,在那里和的推进措施吗在和分别为,和CA与当地规则吗和,分别。
证明。表示和。定义通过
观察到表明是一种同构。此外,
为。也就是说,图
(12)
通勤。因此是拓扑共轭。同构的表明。
完成证明。
备注3。值得注意的是,引理的示范2断言CA上定义是拓扑共轭的直接产品的投影吗在和前提是和相对'。
定理4直接来自弱permutive CA的定义和引理2,因此省略了证明。
定理4。让对一些主要因素和。假设是一个弱permutive CA,是不变的,,在那里的推进措施吗在为。然后
立即定理的应用4是计算的熵理论测量线性CA (LCA)。在此是一个LCA如果相应的当地规则是由吗对于一些,。
定理5。让对于一些'和。假设是一个LCA,是不变的,。然后 此外,假设伯努利测量。表示 为。然后 在哪里,。
注6。定理5只介绍了显式形式的LCA的理论测量熵对伯努利措施。LCA的理论测量熵的公式对马尔可夫测量也可以获得。由于公式很复杂,我们省略。
在证明定理5介绍下面的引理。
引理7。让对于一些',。如果是一个LCA,那么是弱permutive。
证明。表示由线性局部规则的集合。定义通过
它很容易看到是双射。此外,让表示生成的幂级数在。然后定义为
也是一个双射。观察到,对于每个,
在哪里。这个实现图
(21)
通勤。此外,产生数学归纳法,我们有对所有,在那里。
写作为这样是由那些单项式的系数是coprime吗。我们声称,,
见过,
假设
换句话说,对于一些。因此,
这说明数学归纳法的索赔。
让;然后,permutive。完成证明。
定理(见[815])。假设CA的当地规则是由,在那里,和是一个不变的伯努利措施。表示和。有下面的结果。(我)如果剩下permutive呢;(2)如果是正确的permutive呢;(3)如果bipermutive,那么。
一般来说,引理7不持有。例如,让被定义为。然后是弱右边的permutive。然而,的系数要么是或对所有。因此不能被右边的permutive。
示例9。让,让是伯努利的措施。然后,在那里和。和推进措施在和是 分别。集;然后 定理5表明
示例10。假设。让是由。然后与,,。见过,是一个常数地图,和都是permutive。因此是弱permutive但不是线性的。定理4和8断言
提供,在那里定义定理5。
类似的讨论公式的理论测量弱熵permutive CA,弱的拓扑熵permutive CA可以近似地获得。
定理11。让映像为主要因素的产物。假设是一种弱permutive CA和的投影在为。然后
在[17),作者证明了LCA的拓扑熵的公式。引理7指出LCA是弱permutive CA的真子集,使定理11一个扩展的定理12。更准确地说,(31日)适用于弱permutive CA的拓扑熵。
定理12。让映像为主要因素的产物。假设LCA。然后 在哪里和定义在(16)。
的话13。热力学形式的变分原理表明一个紧凑的系统的拓扑熵的报告获得的理论测量中熵不变的措施,和措施,达到上确界称为最大测量。它立即来自定理5和12,如果我们只考虑不变的马尔可夫措施,统一的伯努利测量是LCA的独特的最大测量。
例14。让和一样的例子9,让是统一的伯努利测量;然后
15例。让和一样的例子10,让是统一的伯努利测量;然后
承认
Chih-Hung常感谢国家科学理事会的部分支持,台湾(合同编号。NSC 101 - 2115 m - 035 - 002)。