文摘
我们建立一个定理的绝对值身份和不平等的巴拿赫的框架代数可以生成。做这个工作,我们构造一个保序线性映射的向量空间2×2埃尔米特巴拿赫的埃尔米特矩阵代数。这张地图可以转换任何适当的矩阵排序在巴拿赫的身份和不平等代数。因此,我们得到一个类似的埃尔米特巴拿赫的著名的结果在一个框架代数。
1。介绍
有许多作品涉及绝对值身份和不平等。著名的这种身份是平行四边形法和极化的身份。众所周知,这些身份在欧几里得空间的背景下,赋范线性空间,内积空间。另一方面对于不平等,波尔(1)建立了古典波尔的断言的不平等 对于复杂的数字和实数这样。平等(1当且仅当发生)。然后扩展和变化的绝对值不等式有关波尔的不平等是由许多作者在各种上下文中。复数得到的结果(2- - - - - -4]。给出了矩阵的背景下(5]。波尔的不平等和相关结果推广到算子代数(6- - - - - -15]。
运营商波尔不等式成立的第一个版本通过直接计算Hirzallah [12]。之后,Hirzallah结果延长相同的技术(6,10,14]。张(15操作员身份和不平等)用于逼近算子不等式相关(1)。最近,矩阵排序讨论算子绝对值不等式的概念出现在[8,9,11]。然而,上述结果证明在不同的方式。
本文包括两个主要目的。第一个目标是构建一个定理的数量的绝对值可以生成身份和不平等。第二个是延长身份和涉及绝对值不等式巴拿赫的一个抽象的框架代数。节2回忆一些术语后,我们提出一个保序线性映射组的2×2埃尔米特巴拿赫的埃尔米特矩阵代数。这张地图的形象——- - - - - -埃尔米特矩阵形式涉及绝对值。节3初等矩阵的身份,我们应用此订单保留和不平等的身份和不平等在埃尔米特巴拿赫元素的绝对值代数。
2。一个保序从矩阵线性映射到巴拿赫*代数
一个元素在巴拿赫代数称为自伴的如果。一个元素有真正的光谱,,据说埃尔米特。巴拿赫代数称为埃尔米特如果每个自伴的元素是埃尔米特。埃尔米特巴拿赫的类代数包括任何代数,任何团体代数交换群,任何团体紧群代数,和任何测量离散群的代数。在这篇文章中,代表一个埃尔米特巴拿赫代数。
每一个埃尔米特巴拿赫代数是配备了自然秩序结构如下。鉴于自伴的元素的关系意味着自伴的,。然后关系”“形成了一个偏序自伴的元素的向量空间。的集合这样形成一个积极的锥(见[16引理41.4]),也就是说,如果是这样的,,然后对于任何。
Shirali-Ford定理(17定理1)确保对于任何。然后绝对值的定义是。谱映射定理,因此对于每一个。请注意,当且仅当由(18引理3]。
表示由埃尔米特巴拿赫的埃尔米特巴拿赫的子代数的2×2埃尔米特矩阵代数2×2复杂的矩阵。自然秩序结构被称为安宁的偏序:关系在意味着是半正定矩阵,埃尔米特矩阵的非负特征值。
定理1。让。地图给出的 为,是线性。地图给出的 为和,是线性的、积极的和保序。的积极性意味着在意味着在。订单保存的意味着在意味着在。
证明。的线性的和线性的是显而易见的。的积极性,可以考虑和这样。如果,我们已经完成了任务。如果,然后和。集。自,接下去 所以,是正的。现在,如果在,它遵循的线性和积极性那这意味着,也就是说,。
最有用的形式本文是 下一个定理是非常有用的必要性和充分性条件平等的情况在以后的讨论。
定理2。让非零元素。为每一个和这样方程 成立当且仅当或和。特别的限制在前面的2×2半正定矩阵满足定理
证明。如果任何一或和成立,那么(6)持有。现在假设(6)适用于和这样。如果,然后和,也就是说,。考虑这样一种情况。如果,我们得到然后,一个矛盾。现在,让。我们有和。因此 这就迫使因此和。
3所示。应用程序
的线性和秩序维护的地图和线性的为了获得使用合适的矩阵的身份和不平等身份和不平等。我们给一些定理的应用1如下:(1)平行四边形法则及其推广,(2)极化身份及其推广,(3)波尔不等式及其逆转,(4)概括波尔的不平等,(5)有关绝对值身份和不平等。
让是一个埃尔米特巴拿赫代数。
推论3。让和。如果是一个团结的th根(即和),然后 特别是,通常的平行四边形法是适用的:
证明。自是一个th-root的团结,和。然后计算表明 线性的或我们得到了(9)。通常的平行四边形法则,和。
推论4。让。然后对任何, 特别是,对这样和,
证明。方程(12)是通过应用来完成的或一个矩阵的身份 获得(13),选择这意味着和的条件。
身份(12)和(13)成为平行四边形法和,分别。身份(12)和(13)希尔伯特空间运营商提供了(11定理4.1]和[15,分别定理2]。身份(13)可以表示任何等价,
推论5。让和。如果是一个th根的团结 特别是,通常的极化同一性,当我们表示(例如,):
证明。自是一个th团结的根,和。请注意,也是一个th-root的统一,因此。然后计算表明 通过线性的我们得到了(16)。通常的极化身份,和。
接下来,考虑波尔不等式及其扩展。玻尔的运营商版本的不平等是第一个证明12,Corallary 1]。以下结果给出了波尔不等式的推广,还包括其逆转。
推论6。让和这样。(我)波尔的不平等:如果,然后 当且仅当与平等(例如,或)。(2)逆转波尔的不平等:如果,然后 当且仅当与平等。
证明。让是这样的,。然后这意味着 自秩序维护,我们获得了波尔的不平等(19)。由定理2,当且仅当,也就是说,(注意,)。部分(ii)也同样证明。
推论7。让和实数,。(我)如果,然后 当且仅当与平等。(2)如果,然后 当且仅当与平等或。(3)如果,然后 当且仅当与平等。
证明。假设。不平等(23)是通过应用保序一个矩阵排序
由定理2,成立当且仅当或和。第一个病例是。后一种情况是自总是会从这一事实。
现在,一个矩阵排序
收益率(24通过地图)。别人的证明结果是相似的。
运营商的情况下的模拟结果得到希尔伯特空间上(10(cf)。定理2,定理1和推论1 (10),职责)。接下来的结果推广了[11定理3.2)。
推论8。让,(一)如果,然后当且仅当与平等或,(b)如果或,然后当且仅当与平等或。
证明。假设。保序的带来了一个矩阵不等式 到所需的不平等。当且仅当这个不等式成为平等 相当于条件或由定理2。的证明(b)是相似的。
2009年,广义玻尔不等式及其对运营商的反向作用于希尔伯特空间中完成(9定理9]。以下结果给出类似的结果在巴拿赫的框架代数。
推论9。让和,这样。(一)广义玻尔不等式:如果和,然后 (b)广义逆波尔的不平等:如果和,然后 在这两种情况下,平等拥有当且仅当发生下列之一(我) ,(2) ,,(3) ,,(iv) ,(同样,,,和)。
证明。的证明(a)和(b)是相似的。(一)承担和。的条件和暗示 因此,通过保序我们获得(30.)。当和由定理,平等2当且仅当或和。第一种情况是不可能的。后一种情况是等价的和为和,它力量。为和,它力量。
推论10。对于任何,我们有 和每一个平等拥有当且仅当。
证明。不平等(33)是通过应用一个矩阵不等式 每一个平等拥有当且仅当。由定理2,当且仅当。
特别是,对于任何和 相互平等拥有当且仅当。这种形式的不平等对运营商出现在[15定理3)。
我们终于保序的评论可以生成许多绝对值身份从任何2×2矩阵的不平等和不平等。