文摘gydF4y2Ba

弱* -Schauder框架引入了共轭巴拿赫空间和研究。存在的一个充分条件弱* -Schauder帧的共轭空间可分的巴拿赫空间。它已被证明gydF4y2Ba 有弱* -Schauder框架。最后,存在的一个充分条件Schauder帧序列。gydF4y2Ba

1。介绍gydF4y2Ba

帧的希尔伯特空间被正式引入Duffin和谢弗(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba]。后来,Daubechies et al。gydF4y2Ba2gydF4y2Ba)发现新应用小波框架发挥了重要作用。框架主要工具用于信号和图像处理、压缩、抽样理论,光学滤波器,信号检测等等。为了有更多的应用程序框架,介绍了几个概念泛化的概念框架和研究,即pseudoframes [gydF4y2Ba3gydF4y2Ba),斜框架(gydF4y2Ba4gydF4y2Ba),帧的子空间(融合帧)gydF4y2Ba5gydF4y2Ba),gydF4y2Ba 帧(gydF4y2Ba6gydF4y2Ba),正交坐标系(gydF4y2Ba7gydF4y2Ba,gydF4y2Ba8gydF4y2Ba),等等。gydF4y2Ba

Feichtinger和GrocheniggydF4y2Ba9gydF4y2Ba]原子分解的概念扩展到巴拿赫空间。Grochenig [gydF4y2Ba10gydF4y2Ba)引入了一个叫做巴拿赫巴拿赫空间框架更一般的概念。巴拿赫帧和原子分解进一步研究[gydF4y2Ba11gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba14gydF4y2Ba]。汉和拉森gydF4y2Ba15gydF4y2Ba)定义Schauder巴拿赫空间框架。在[gydF4y2Ba16gydF4y2Ba,Casazza等人给各种定义的框架包括Schauder巴拿赫空间框架。2008年,Casazza et al。gydF4y2Ba17gydF4y2Ba]研究Schauder帧的量化系数在巴拿赫空间中。刘(gydF4y2Ba18gydF4y2Ba)给了最小和最大相关基地的概念对Schauder框架和它们与对偶理论紧密相连。在[gydF4y2Ba19gydF4y2Ba),刘和郑near-Schauder基地Schauder帧的特征。事实上,他们由于Holub(广义一些结果gydF4y2Ba20.gydF4y2Ba]。Beanland et al。gydF4y2Ba21gydF4y2Ba]证明了上下估计有限维分解定理的巴拿赫空间可以扩展和修改Schauder帧,给一个完整的描述的二元性Schauder帧。gydF4y2Ba -Schauder帧被引入和研究了Vashisht [gydF4y2Ba22gydF4y2Ba]。最近,刘gydF4y2Ba23gydF4y2Ba)相关的操作员Schauder框架,称之为Hilbert-Schauder框架算子。gydF4y2Ba

在本文中,我们引入弱* -Schauder的概念框架和weak-Schauder框架在共轭巴拿赫空间中。存在的一个充分条件弱* -Schauder帧的共轭巴拿赫空间可分的巴拿赫空间。共轭空间的一个例子也不可分的巴拿赫空间没有弱* -Schauder框架。此外,它已被证明gydF4y2Ba 有弱* -Schauder框架。最后,存在的一个充分条件Schauder帧序列。gydF4y2Ba

2。预赛gydF4y2Ba

在这篇文章中,gydF4y2Ba 将表示巴拿赫空间,gydF4y2Ba 表示一个希尔伯特空间,会让吗gydF4y2Ba 的双重空间gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 封闭的线性范围gydF4y2Ba 的范数拓扑gydF4y2Ba ,让gydF4y2Ba 规范化的映射gydF4y2Ba 成gydF4y2Ba 。一个系列gydF4y2Ba 在共轭巴拿赫空间gydF4y2Ba 被称为weak-convergentgydF4y2Ba 如果它是收敛的gydF4y2Ba 拓扑。在这种情况下,我们写gydF4y2Ba 。一个系列gydF4y2Ba 在共轭巴拿赫空间gydF4y2Ba 被称为弱*收敛gydF4y2Ba 如果它是收敛的gydF4y2Ba 拓扑。在这种情况下,我们写gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

定义1。gydF4y2Ba一个序列gydF4y2Ba 被称为一个框架gydF4y2Ba 如果存在gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 与gydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba
积极的常量gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 分别被称为gydF4y2Ba上下帧边界gydF4y2Ba框架的gydF4y2Ba 。不平等(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)称为帧的不平等。gydF4y2Ba

定义2。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba 巴拿赫空间。一个序列gydF4y2Ba 被称为Schauder框架gydF4y2Ba 如果gydF4y2Ba

定义3。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba 巴拿赫空间。一个序列gydF4y2Ba 被称为gydF4y2BaSchauder帧序列gydF4y2Ba为gydF4y2Ba 如果gydF4y2Ba 是Schauder框架gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

接下来,我们给的定义一个复古的巴拿赫框架中引入[gydF4y2Ba24gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

定义4。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba 巴拿赫空间,让gydF4y2Ba 是它的共轭空间。让gydF4y2Ba 是纯量值的巴拿赫空间序列相关gydF4y2Ba 索引,gydF4y2Ba 。让gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 被给予。这一对gydF4y2Ba 被称为gydF4y2Ba复古的巴拿赫框架gydF4y2Ba为gydF4y2Ba 关于gydF4y2Ba 如果gydF4y2Ba(我)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(2)gydF4y2Ba存在积极的常量gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 与gydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba (3)gydF4y2Ba 是一个有界的线性算子,这样吗gydF4y2Ba
积极的常量gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 分别被称为上下帧边界复古的巴拿赫的框架gydF4y2Ba 。操作员gydF4y2Ba 被称为gydF4y2Ba重建操作员gydF4y2Ba(或gydF4y2Ba预装配操作符gydF4y2Ba)。不平等(gydF4y2Ba3gydF4y2Ba)称为gydF4y2Ba复古的框架不平等gydF4y2Ba。一个复古的巴拿赫框架gydF4y2Ba 为gydF4y2Ba 关于gydF4y2Ba 与范围gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 据说是gydF4y2Ba紧gydF4y2Ba,如果它是可能的选择gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba规范化的紧gydF4y2Ba,如果gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba确切的gydF4y2Ba,如果不存在重建操作员gydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba 是一个复古的巴拿赫框架gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba
最后,我们给出了下面这个结果将用于随后的结果。gydF4y2Ba

定理5(见[gydF4y2Ba25gydF4y2Ba])。gydF4y2Ba如果gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba ,尽管gydF4y2Ba ,然后gydF4y2Ba 对所有gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

定理6(见[gydF4y2Ba24gydF4y2Ba])。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba 是一个复古的巴拿赫框架gydF4y2Ba 关于gydF4y2Ba 。然后,gydF4y2Ba 完全当且仅当吗gydF4y2Ba ,尽管gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

针对定理gydF4y2Ba6gydF4y2Ba,你可以观察到gydF4y2Ba 是一个精确的复古的巴拿赫框架gydF4y2Ba ,那么存在一个序列gydF4y2Ba 在gydF4y2Ba ,被称为gydF4y2Ba容许序列gydF4y2Ba复古的巴拿赫的框架gydF4y2Ba ,这样gydF4y2Ba ,尽管gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

3所示。主要结果gydF4y2Ba

我们从以下的定义弱* -Schauder框架和weak-Schauder框架gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

定义7。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba 巴拿赫空间,让gydF4y2Ba 是一个序列gydF4y2Ba ,让gydF4y2Ba 是一个序列gydF4y2Ba ,让gydF4y2Ba 是的一个子集gydF4y2Ba 。然后,gydF4y2Ba 据说是gydF4y2Ba(一)gydF4y2Baweak-Schauder框架gydF4y2Ba 关于gydF4y2Ba 如果gydF4y2Ba (b)gydF4y2Ba弱* -Schauder框架gydF4y2Ba 关于gydF4y2Ba 如果gydF4y2Ba
特别是,如果gydF4y2Ba ,然后gydF4y2Ba 只是叫gydF4y2Baweak-Schauder框架gydF4y2Ba和gydF4y2Ba -Schauder框架gydF4y2Ba为gydF4y2Ba ,分别。此外,可以观察到gydF4y2Ba 是Schauder框架gydF4y2Ba ,那么它也是一个弱* -Schauder帧(weak-Schauder帧)gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

现在,我们给一个共轭空间的不可分的巴拿赫空间没有弱* -Schauder框架。gydF4y2Ba

示例8。gydF4y2Ba 没有弱* -Schauder框架。假设相反gydF4y2Ba 有一个弱* -Schauder框架gydF4y2Ba 。然后,我们有gydF4y2Ba 也就是说,gydF4y2Ba 因此,通过定理gydF4y2Ba5gydF4y2Ba,我们有gydF4y2Ba 这给了gydF4y2Ba weak-separable。这是不可能的。因此,gydF4y2Ba 没有弱* -Schauder框架。gydF4y2Ba

的例子gydF4y2Ba8gydF4y2Ba我们有以下问题。gydF4y2Ba

问题1。gydF4y2Ba的共轭空间gydF4y2Ba 可分的巴拿赫空间gydF4y2Ba 具有弱* -Schauder框架?gydF4y2Ba

在这个方向,我们有下面的结果。gydF4y2Ba

9号提案。gydF4y2Ba如果一个巴拿赫空间gydF4y2Ba Schauder帧,那么它的共轭的巴拿赫空间*薄弱-Schauder框架。gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba Schauder框架gydF4y2Ba ;然后gydF4y2Ba 因此,对于每一个gydF4y2Ba ,我们有gydF4y2Ba

推论10。gydF4y2Ba 有弱* -Schauder框架。gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba它遵循从命题gydF4y2Ba9gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

请注意gydF4y2Ba。gydF4y2Ba 没有Schauder框架。gydF4y2Ba

对命题的交谈gydF4y2Ba9gydF4y2Ba,我们有下面的结果。gydF4y2Ba

定理11。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba 巴拿赫空间。让gydF4y2Ba 是一个弱* -Schauder框架gydF4y2Ba 这样,每个gydF4y2Ba 弱*连续。然后,存在一个序列gydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba 是Schauder框架gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba为每一个gydF4y2Ba ,我们有gydF4y2Ba 因为每一gydF4y2Ba *持续疲软,存在一个序列吗gydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 。所以,我们有gydF4y2Ba 这给了gydF4y2Ba

在以下结果,我们描述弱* -Schauder帧的weak-Schauder框架的一个子集。gydF4y2Ba

定理12。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba 巴拿赫空间。让gydF4y2Ba 是一个序列gydF4y2Ba ,让gydF4y2Ba 是一个序列gydF4y2Ba 。然后,gydF4y2Ba 是一种弱* -Schauder框架gydF4y2Ba 当且仅当gydF4y2Ba 是weak-Schauder框架gydF4y2Ba 关于gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba 是一种弱* -Schauder框架gydF4y2Ba 当且仅当gydF4y2Ba 当且仅当gydF4y2Ba 是weak-Schauder框架gydF4y2Ba 关于gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

的话13。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba 是一个反射性的巴拿赫空间。让gydF4y2Ba 是一个序列gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 我们是一个序列gydF4y2Ba 。然后,通过定理gydF4y2Ba12gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 是一种弱* -Schauder框架gydF4y2Ba 当且仅当gydF4y2Ba 是weak-Schauder框架gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

最后,我们给出一个存在的充分条件在巴拿赫空间Schauder帧序列。gydF4y2Ba

定理14。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba 巴拿赫空间,让gydF4y2Ba 是一个确切的复古的巴拿赫框架gydF4y2Ba 与容许序列gydF4y2Ba 。然后,gydF4y2Ba Schauder-frame序列在吗gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba为每一个gydF4y2Ba ,定义gydF4y2Ba 通过gydF4y2Ba 让gydF4y2Ba 伴随算子gydF4y2Ba 。然后gydF4y2Ba 这给了gydF4y2Ba 因此,对于每一个有限的线性组合gydF4y2Ba ,我们有gydF4y2Ba 让gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 被给予。然后,有一个有限的线性组合gydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba ,在那里gydF4y2Ba 。同时,gydF4y2Ba

承认gydF4y2Ba

作者感谢裁判(s)为改进提供宝贵的意见和有用的建议。gydF4y2Ba