文摘
我们认为黄金比例的著名描述的比例极限连续斐波那契序列方面,我们给出一个解释这个属性的差分方程理论框架。我们表明,黄金比例的同时,这个极限不是因为它是根与特征多项式的最大模量和多重性,但是,从一个更普遍的观点,因为它是最大的模量和多样性的根一组限制的根,在这种特殊情况下伴随着两个特征多项式的根。这个新观点的核心特征的比例限制的连续的所有与常系数线性齐次递归,没有任何假设特征多项式的根,这可能是,特别是,也复杂,不是真实的。
在这篇文章中,我们考虑一个著名房地产斐波那契数列的定义 即这一事实之比的极限连续条件(从定义的序列比每一项与它的前一个)非常著名的黄金比例:
许多证据已经存在,长期以来是众所周知的,我们不希望再添加一个剧目。
斐波那契序列可以研究差分方程理论的框架(例如,看到1)第三章43页),大致说来,更一般的属性序列令人满意的 在哪里,进行了研究。理论的第一步在于考虑相关的特征多项式 的复根,各自的多重性允许表达明确的条款通过表示,被称为比奈的公式: 在哪里(复杂)的数字唯一由吗。在斐波那契序列的情况下,(3),(4)和(5),分别 在最后一个平等出来考虑初始条件。嗯,黄金比例,相邻的比例极限条件,恰逢特征多项式的根之一(7)并不是一个巧合。它可以很容易地看到,总是这样,秩序——将军k与常系数线性齐次递归;相邻的比率的限制条件(在下面,我们将参考这个极限开普勒的极限),如果它存在,总是特征多项式的根源之一。它可以写,从(3), 和替代比例的限制。
问题是:问:如果一个k阶常系数线性齐次递推,相邻之比的极限条件存在,这是根吗?在斐波那契序列的情况下,很明显,黄金比例和最大模量特征多项式的根,和所有的证明(2或多或少)使用隐式这个属性。和相同的机械与其他几个复发的例子(例如,看到开创性文献[2])。
令人惊讶的是,这个问题的正确答案不相邻的比率的限制条件是根与最大模量。黄金比例是最大模量是一个独特的根巧合!事实上,考虑,例如,序列 不同的初始条件和相同的特征多项式(7)。在这里,比奈的公式(这个词包含在某种意义上“死亡”的初始条件)。在这种情况下,序列几何,开普勒限制其他特征多项式的根:越小。这个序列(连同那些取得每一项乘以一个非零常数)被称为一个“例外”,和关注投入在文学的根最大模量;一些假设应该排除异常,众所周知,开普勒极限存在,如果根的最大模量(4),存在一个唯一的最大多样性(“主导”的根;参见[3)和引用)。
另一个惊喜:的主要根源是独立的存在,开普勒的存在限制,也限制的价值不一定是占主导地位的根。这是下面的例子所示。考虑到序列 特征多项式的的根是;比奈的公式是
在这种情况下,占主导地位的根的存在,而开普勒限制不。在的情况下 特征多项式的的根是。比奈的公式是
在这里,特征多项式占主导地位的根源,但存在开普勒极限,根1(请注意,1并不在最大模量)的根源。
这些现象引起了一些研究人员从庞加莱,证明了在一个更一般的上下文(例如,看到4)下面的结果。
定理。让特征方程的根 (3)和假设为。然后,要么对于所有大n或存在索引这样
成对的条件不同的模是最优(即充分必要)如果需要开普勒的存在限制了所有可能的初始条件;换句话说,如果存在两个不同的根相同的模量,然后总是有可能考虑初始条件,开普勒极限不存在。
什么一般情况下,当根的模不一定是不同的吗?是否有存在的必要和充分条件开普勒限制?
好吧,对于一个给定的常系数线性递归,可以考虑“基本比奈的公式表示法”;即写在形式(5)系数已经从初始条件计算,只有非零系数在哪里出现:
在此表示,只能看到一个的叫做加数的右手边(5)。在某种意义上,叫做加数不是出现在右边的17)可以被视为“死亡”的初始条件。在这表示,包含“幸存”的叫做加数根,数有多少,其中,最大的模量和包含的最大力量(我们称之为“领导”)。例如,经典的斐波那契序列(1)承认黄金比例作为独特的领先的根(见(8));序列(10)具有相同的特征多项式的1),但独特的主要根源;的情况(11),主要根源,,(见(12))。此外,如果我们认为序列 特征多项式的,比奈的公式 独特的主要根源是2。
在[3),它是证明,如果算上一个领先的术语,然后开普勒极限存在,在这种情况下,开普勒限制是完全对应的根(“独特的主要根”)。当这种情况发生时,我们说的初始条件在协议特征多项式。
因此,定理一个当然,立即推论;它是微不足道的,在两两不同的模的情况下,独立的“死亡”根,设置“幸存”的根源,不管它是什么,必须包含一个独特的主要根源。
另一方面,对于一般的顺序k与常系数线性齐次递推,它可能发生(例如,见(11)有一个以上的主要根源。能说,在这种情况下,开普勒极限的存在呢?第三个惊喜,在这种情况下,开普勒限制不存在;前面给出的条件(即。,the uniqueness of the leading root) is also necessary.
最后,的概念协议给了我们最初的问题的答案问:唯一的主要根源。
这项研究的重要性依赖于这样一个事实,即连续的比例告诉所有线性递归在协议条款在无穷远处像几何序列,和第一个术语(给出初始条件),随着法律(可以推测在合理数量的测试),允许预测率。这对于所有应用程序可能非常重要,线性递归表示的数学模型。