文摘
我们引入强大的矢量混合quasi-complementarity问题和相应的强烈混合性不平等问题。我们之间建立等价强混合quasi-complementarity问题和强混合在巴拿赫空间性的不平等的问题。此外,使用KKM-Fan引理,我们证明解的存在这些问题,在pseudomonotonicity假设。结果提出了扩展和改进的一些早期和近期文献中结果。
1。介绍
1980年,Giannessi [1]介绍了向量在有限维欧氏空间变分不等式。出于Giannessi [1陈,和程2]研究无限维的欧几里德空间中向量变分不等式及应用向量优化问题。从那时起,矢量研究了变分不等式及其推广和应用到向量优化问题,向量互补问题,博弈论,等等;见,例如,(1- - - - - -20.)和引用。众所周知,互补问题的变分不等式问题是密切相关的。互补理论引入Lemke [21和Dantzig[]和科特尔5]。它已经成为一个活跃的和有趣的领域研究人员广泛的应用在纯和应用科学。互补问题已经扩展和推广各种方向的研究很大一类工业过程中出现的各种问题,金融、优化、物理、数学和工程科学;见,例如[4- - - - - -12,14,15,20.]。最近,向量互补问题及其关系向量pseudomonotone-type条件下研究了变分不等式问题和positiveness-type条件;见,例如[6,8- - - - - -10,20.]。然而,我们所知,只有少数的存在结果的强大版本向量建立了变分不等式和向量互补问题。
最近,黄等。12]讨论了等价的结果在一个向量互补问题,矢量变分不等式问题,一个向量优化问题,和弱最小元素的问题,在一些单调性条件和inclusive-type条件下在命令巴拿赫空间中。2005年,黄和方9]介绍了几类强向量F-complementarity问题并给出一些结果存在这些问题在巴拿赫空间,讨论了可行集和最小元素的问题提出与强向量F-complementarity的关系问题。
最近,汗22]介绍和研究了隐式广义向量隐Quasi-Complementarity问题和广义向量拟变分不等式问题。他调查了nonemptiness和封闭收获的解决方案集的这些问题和证明解决方案集的问题是等价的一些合适的条件下。
启发和激励工作向着这个方向,在本文中,我们介绍并分析一种新的强向量Quasi-Complementarity问题和相应的强向量混合拟变分不等式问题的设置巴拿赫空间以及它们之间建立等效的结果。通过使用KKM-Fan引理,我们推导出强大的矢量混合拟变分不等式解的存在下pseudomonotonicity假设和显示强大的解决方案向量混合拟变分不等式等价于强大的矢量混合Quasi-Complementarity问题的解决方案在合适的条件下。本文介绍的结果推广和改进现有的工作的6,7,9,11,15]。
2。预赛
本文中,除非另有说明和是两个真正的巴拿赫空间。让是一个非空的,关闭,一个真实的巴拿赫空间的凸子集。一个非空的子集被称为凸尖、连接和复制锥,分别,如果它满足下列条件:(i),尽管和;(2);(3);(iv)。
鉴于在,我们可以定义的关系””和“”如下: 如果“”是一个偏序被称为巴拿赫空间命令吗。让表示所有连续的线性映射的空间成。
现在,我们记得以下概念和本文所需的结果。
定义1。一个映射据说是凸如果第一个参数
定义2。让和两个非线性映射。据说是单调与尊重 如果
定义3。让和两个非线性映射。据说是pseudomonotone对 如果,对于任何给定的,
备注4。每一个单调与尊重pseudomonotone对吗但交谈并不一般。定义3是向量的版本-pseudomonotonicity伤势严重等人在研究23,24]。
例5。让,
现在,
我们有。由此可见,
所以,pseudomonotone对吗。然而,对于和,接下去
这表明不是单调的。
定义6。一个映射据说是hemicontinuous如果对任何,映射是连续的。
定义7。一个映射据说是积极的均匀如果第一个参数对所有和。
定义8。让是一个非空的拓扑向量空间的子集。集值映射据说是一个行星的映射如果为每个非空的有限子集,,公司表示凸包。
引理9 (KKM-Fan引理(见[25)))。让是一个非空的豪斯多夫拓扑向量空间的子集。让是一个KKM-mapping这样至少有一个关闭,吗是紧凑的,那么
3所示。强大的矢量混合Quasi-Complementarity问题
在本节中,我们是一个真实的巴拿赫空间,让是一个非空的,关闭,凸子集。让被指出,有序巴拿赫空间诱导闭凸锥与非空的内部。让和两个非线性映射。在本文中,我们考虑下面的强大的矢量混合Quasi-Complementarity问题:(我)强大的矢量混合Quasi-Complementarity问题:找到这样,尽管。(2)强大的矢量混合Quasi-Complementarity问题:找到这样,尽管。
密切相关和问题,我们考虑下面的强大的矢量混合拟变分不等式问题:强大的矢量混合拟变分不等式问题(SVMQVIP):找到这样,尽管
强向量(SVMQVIP)混合拟变分不等式问题是许多之前所知的泛化和扩展向量以及标量混合拟变分不等式。公式,数值结果,存在的结果,灵敏度分析,和动力方面的混合拟变分不等式,看到3,5,7,16,17)和引用。
备注10。(1)如果和,然后和分别和(SVMQVIP)减少,混合Quasi-Complementarity问题(MQCP):(MQCP)找到这样,尽管和混合拟变分不等式问题(MQVIP):(MQVIP)找到这样,尽管,介绍和研究了Farazjadeh et al。7]。
(2)如果,然后和减少以下强向量互补问题(SVCP):
找到这样,尽管,
找到这样,尽管
(SVMQVIP)减少以下强向量变分不等式问题(SVVIP):(SVVIP)找到这样,尽管
首先,我们将调查之间的相等关系和(SVMQVIP),在某些合适的假设。
定理11。
假设,尽管。如果解决了然后解决(SVMQVIP)。
让满足,尽管和,尽管。如果解决(SVMQVIP)还解决了。
证明。(我)让的解决方案。然后这样
替换在夹杂物(11),我们得到
自,尽管,我们有
从夹杂物(10),(12)和(13),我们有
从(11)和(14),我们有
对所有。因此,的解决方案(SVMQVIP)。
(2)现在,我们的解决方案(SVMQVIP)
自,尽管,因此它遵循,尽管。用和分别在(16),我们得到
自,尽管,我们有
从(17)和(18),我们有
通过使用夹杂物(16)和(19),我们有
对所有,这意味着解决了。
评论12。的条件,尽管认为如果是积极均匀;也就是说,对所有。因此,定理11推广和改进了定理(6,9,11,14,15]。
在这里我们给一个函数的一个例子满足条件,尽管积极但不是均匀的,这意味着以前已知的结果(6,9,11,14,15不能应用。
示例13。让,定义为 然后满足但这不是绝对均匀。
定理14。
如果解决了问题然后解决(SVMQVIP)。
让满足,尽管和,尽管。如果解决(SVMQVIP)解决了。
证明。(一)让的解决方案。然后这样
现在,
对所有。因此,的解决方案(SVMQVIP)。
(b)现在,我们的解决方案(SVMQVIP)
自,尽管,因此它遵循。用和分别在(24),我们得到
自,尽管,我们有
从(25)和(26),我们有
通过使用(27),我们有
对所有。然后(27)和(28)暗示解决了。
4所示。存在的结果
首先,我们证明后Minty-type引理的帮助下pseudomonotone映射与尊重。
引理15。让是在第一个参数,让凸是一个和pseudomonotone hemicontinuous映射。然后下面的两个问题是等价的:
证明。(29日)(30.)。结果直接从pseudomonotonicity对遵循。
现在,(30.)(29日)。对于任何给定的,我们知道,尽管,因为是凸的。自是一个解决问题(30.),所以对于每个,接下去
现在,我们有
为,我们得到
自hemicontinuous和关闭,让在夹杂物(33),我们得到
因此,
因此,解决问题(29日)。这就完成了证明。
现在,随着引理的帮助15,我们有以下(SVMQVIP)的存在性定理。
定理16。让是真实的反射,让巴拿赫空间巴拿赫空间。让是一个非空的,有限的,关闭,凸子集。让是在第一和第二凸和上断断续续的参数,分别。让hemicontinuous pseudomonotone对。然后(SVMQVIP)解决方案。
证明。定义两个集值映射如下:
和非空的,因为。我们声称是一个行星的映射。如果这不是真的,那么存在一个有限集合和与这样。现在,通过的定义,我们有
现在,我们有
这是不可能的。因此,验证我们的索赔要求。所以是一个行星的映射。
现在,因为pseudomonotone对吗,因此对于每一个所以也是一个KKM映射。现在我们声称关闭的弱拓扑。
事实上,假设,弱者关闭。自反射性的,有一个序列在这样弱收敛于。然后
自上断断续续的,因此,关闭
所以。这表明是弱闭,为每一个。然后验证了我们的索赔要求。自是自反的,非空的、有界闭凸,是弱的紧凑的子集所以也弱紧凑。根据引理9(KKM-Fan引理),
这意味着存在这样
因此通过引理15,我们认为存在这样
这就完成了证明。
定理17。让满足,尽管。如果所有定理的假设16保持,然后是可以解决的。此外,如果,尽管,然后是可以解决的。