文摘
我们首先给出一些新的函数称为广义双曲线函数。使用的广义双曲线函数,定义新类型的转换发现确切的非线性偏微分方程的近似解。基于广义双曲线函数变换的广义KdV方程和耦合等于宽度波动方程(CEWE),我们发现两个方程的新的精确解和分析它们的性质采取不同的参数值的广义双曲线函数。我们认为,这些解决方案是非常重要的来解释一些物理现象。
1。介绍
找到非线性演化方程的精确解,一些新技术介绍了近年来大臣等方法,扩展雅可比椭圆函数展开法,指数函数的方法,扩张的方法,最简单的方程方法,试验方程方法,Kudryashov的方法,单独拟设方法(1- - - - - -19]。还有一些作者定义新的函数命名广义双曲线函数构建新的解决方案(20.- - - - - -22]。有很多的非线性演化方程的综合使用各种数学方法。孤波解,compactons、奇异孤波和其他解决方案被发现通过使用这些方法。这些类型的解决方案非常重要,出现在各种领域的应用数学。
节2,我们给广义双曲函数的定义和性质。节3,作为应用,我们获得精确解的广义KdV方程和耦合等于宽度波动方程。
2。对称双曲斐波那契数列的定义和属性和卢卡斯功能
在本节中,我们将定义新的功能命名为对称双曲斐波那契和卢卡斯函数构造新的npd的精确解,然后研究这些函数的属性。
定义1。假设是一个独立的变量;,,都是常数。广义双曲正弦函数 广义双曲余弦函数 广义双曲正切函数 广义双曲线余切函数 广义双曲正割函数 广义双曲线csc函数 和上面的六种功能是广义新双曲函数。因此我们可以证明下面的广义双曲线函数理论的基础上,定义1。
定理2。广义双曲线函数满足如下关系: 以下只是其中一部分在这里证明了简化。
定理3。广义双曲线函数的导数公式如下:
的证明(8)。根据(7)和(8),我们可以得到 同样,我们可以证明其他微分公式定理3。
备注4。我们看到,当,,,在(1)- (6),新的广义双曲线函数,,,,,退化双曲函数,,,,,,分别。此外,当或在(1)- (6),,,,,,退化为指数函数,,,,,分别。
3所示。应用程序
例5。应用广义KdV方程的形式。
广义KdV方程将被研究在本文中给出了(23]
其中第一项表示广义进化。的特殊情况是常规进化术语。的系数非线性项的系数和非线性色散项。这个方程已经研究了(18),除了孤子解,compactons和周期解也。假设求解这个方程
在哪里
在(11)和(12),代表了孤子的振幅逆孤子的宽度和吗孤子的速度。指数尚不清楚在这一点上,将评估解决方案的推导过程中(10)。从(11),可以获得
这些结果将会取代(10)获得1-soliton广义KdV方程的解决方案。方程(10)由于(13)减少
从(14),将指数和给了
导致
现在从(14),这两个线性无关的功能为。因此把它们的系数设置为零
因此,1-soliton解决广义KdV方程广义进化是由
这表明限制的非线性指数(10)必须
注6。如果我们把相应的一些参数值,解决方案(19)可以减少解决方案中提到的(23]。
例7。应用耦合等于宽度波动方程。
我们考虑耦合等于宽度波动方程(24] 解决这些方程的假设 在哪里 在(22)- (23)和的振幅是吗孤子和分别孤立子和孤子的速度和吗和是逆孤子的宽度。指数和是未知的在这一点上,他们的价值观将会在推导方程的解决方案的过程。从(22),可以获得 用这些为(21)收益率 现在从(28)和(29日),将指数和也和分别给出了 导致 所以从(28)和(29日),四个线性无关的功能和为。因此,我们获得设置各自的系数为零,,为遵循。
案例1。一个人 在哪里,,,任意常数。用(32)(22),我们获得新的精确解(21), 在哪里。
例2。一个人 在哪里,,,任意常数。用(34)(22),我们获得新的精确解(21), 在哪里。
注8。如果我们搜索一些参数对应的值和做一些转换,特别是解决方案(35)可以减少解决方案中提到的(24]。
4所示。结论和讲话
我们认为广义双曲线函数和新型广义双曲线函数变换构造非线性偏微分方程的新的精确解。本文获得1-soliton解决广义KdV方程和耦合等于宽度波动方程。我们的方法也可以应用于构造新的其他非线性偏微分方程的精确解。