文摘

我们获得几个充分条件-spirallike和罗伯逊功能复杂的命令利用著名的杰克引理。

1。介绍和定义

让表示的类的函数形式 分析在开放单位磁盘和。一个函数据说是吗-spirallike功能复杂的秩序和类型在,用当且仅当 对于一些实数与和。此外,一个函数还说,是吗罗伯逊功能复杂的秩序和类型在当且仅当 对于一些实数与和。我们表示这个类。

注意上面的函数类包括几个子类有重要作用分析和几何函数理论。从这个原因,我们希望他们中的一些状态。(我) 类的吗-spirallike功能复杂的秩序引入并研究了Al-Oboudi和海达族人的1]。(2) 类的吗罗伯逊功能复杂的秩序(见[2])。(3) 的类是星形的功能复杂的订单和类型介绍了作者和研究[3),而据说是星形的函数类的顺序并研究了罗伯逊(4]。(iv) 凸函数的类复杂的订单吗和类型介绍了作者和研究[3),而 据说是凸函数类的顺序并研究了罗伯逊(4]。(v) 是已知的由斯[-spirallike单价的类和函数的定义5),据说是星形的函数类复杂的秩序和研究了Nasr和Aouf6),而是已知的-spirallike函数类并研究了利比里亚(7]。(vi) 是已知的罗伯逊类型函数类,首次研究了罗伯逊(8),称为凸函数类复杂的秩序和研究了Wiatrowski [9],Nasr和Aouf [10]和Aouf [11),而是已知的罗伯逊类型函数类并研究了Chichra [12]。

在本文中,我们获得解析函数的几个充分条件属于类,,,,,,,利用著名的杰克引理(13]。

2。主要结果

为了得到我们的主要结果,我们这里有回忆以下杰克引理。

引理1(见[13])。让分析在这样。然后,如果达到其最大值圆在一个点,一个 在哪里是一个实数。

现在,随着引理的帮助1,我们可以证明下面的结果。

定理2。让,和,让被定义为 如果满足下列不等式: 然后 权力都由他们的主值。

证明。定义一个函数通过
然后,分析在和。它遵循从(12),
因此,我们有
我们声称在。否则,由引理1,存在这样,在那里和。因此,(14)- (18)产量 这与我们的假设(6)- (10),分别。因此,适用于所有。我们终于有 因此,我们有

备注3。采取不同的选择,,,在定理2,我们获得新的充分条件函数的类,,,,,,。

承认

作者要感谢裁判对他有益的意见和建议。