文摘
我们研究了模型和他们的特殊情况下,所谓的模型下的自相似性的假设。特别是,我们计算准确的形式,每个数量可能需要为了场方程(FEs)承认自相似的解决方案。允许我们使用的方法获得一般结论FRW指标不仅是有效的,而且对所有比安奇类型以及Kantowski-Sachs模型(在规模的自相似性假设和幂律假说因素)。
1。介绍
物理和数学的重要性修正引力模型最近指出几个作者(见,例如,1- - - - - -4),因为这种理论解释了在一个更好的方法非常早期宇宙的动力学以及当前加速度。在最近的一篇论文5(审查[6]),我们研究了一些特殊的情况下(stt或所谓的广义标量张量理论模型)。显然,尽管这些类的理论比通常的Jordan-Brans-Dicke更一般的模型,他们可能广义为了将修正里奇标量的任期模型(见,例如,(7- - - - - -9和审查10])。因此,这篇简短的论文的目的是研究中,自相似性的假设下,广义理论,模型(不)结果与广义SST子类研究了在5]。特别是,我们的研究形式,不同的数量可能需要为了场方程(FEs)承认自相似的解决方案。开展我们的研究中,我们使用两种技术:李群方法(LG) [11)和物质直射变换方法(MC) (12]。通过这种方式,我们应当能够状态和一般的定理证明FRW对称性不仅是有效的,否则所有的比安奇类型以及Kantowski-Sach模型。
时空的自相似性属性的特征是一个类似的向量场的存在(HVF)。规,,对于一个向量场,类似的方程:(13]。我们研究自相似的解决方案,因为它指出了Rosquist和示14),它们对应于平衡的点。同样,绿青鳕(15)强调这样一个事实:这种类型的解决方案描述了比安奇的渐近行为模型中扮演主导角色的动态比安奇宇宙学模型(见,例如,16的上下文中)的审查结果广义相对论)。
本文组织如下。节2我们通过LG方法的研究模型在节3致力于研究模型。我们的主要结果总结部分4。
2。模型
我们的目的是描述一种标量张量理论重力所代表的行动17,18]: 在哪里里奇标量,代表的标量场,我们假设标量场是均匀的,也就是说,。我们介绍了常数为了解决单位,拉格朗日是一个经典问题。引力场方程来源于操作(1) 在哪里爱因斯坦张量,的能量-动量张量, 和
波动方程读取 '表示推导关于时间的地方。
我们将假设下工作 也就是说,可分离变量和函数可能会分裂采用了这种特殊形式,它是适当的自相似性的假设下。
定理1。扩展,特别是自相似解承认菲斯(2)和(4假设(下)5)有以下形式: 与,因此 与,。
证明。我们要学习(4)通过LG方法,我们研究的功能,,,这样,菲斯(2)和(4)承认幂律,特别是自相似的解决方案。
我们开始通过重写一个适当的方式:
自,,被规模因素的指数,等等,因为我们正在考虑不仅FRW案例,但也比安奇类型。我们还假设标量场是均匀的,也就是说,;因此,一个主要代表一个对时间的导数。注意,在自相似的框架中,标量曲率总是表现(14];因此,我们可以假设。
大致说来,对称,微分方程是一种可逆的变换,叶子form-invariant。通过应用标准的谎言程序(见,例如,11]),我们需要解决以下线性偏微分方程的超定的系统和(从扩展无穷小或长时间的转换),它允许我们确定设置对称承认的(8):
一个对称的知识可能表明一个特解的形式作为一个不变的操作符的,也就是说,一个解决方案。这个特定的解决方案被称为一个不变的解决方案(泛化相似的解决方案)。对称,诱发不变的解决方案,,使我们获得以下限制。从(10),
与,。从(12),我们得到
因此,
我们考虑在哪里。通过这种方式,
而
获得以下解决方案
比较结果的获得一个(5]。注意,如果(自相似的框架里奇标量总是不同(14]),,然后
因此
在任何情况下,当,然后
因此
因此,所谓的承认幂律模型,特别是自相似的解决方案。
我们已经表明,不同的价值观和我们得到不同的模型。注意这个情况(通常)已经研究[5]。
3所示。模型
作为上述理论的具体情况我们可以研究所谓的模型。这种模型所描述的动作: 在哪里里奇标量,拉格朗日问题是在上面的模型中。通过定义 ,引力场方程来源于操作(23)(1]: 在哪里里奇标量,爱因斯坦张量。场方程的跟踪阅读 在哪里应力能张量的痕迹。
我们推断可以获得函数的形式为了使铁承认自相似和幂律的解决方案(规模因素)。例如,在FRW对称的框架已经知道如果比例因子遵循幂律(见,例如,(19])。在本节中,我们这个结果扩展到所有比安奇类型以及Kantowski-Sachs模型通过两种方法。第一个,直射变换方法使我们能够确定,唯一承认函数的形式正是兼容的自相似性的假设。第二个,通过研究跟踪方程的李群方法证明函数的唯一可能的形式吗根据幂律规模因素的假设。
3.1。共线问题的方法
定理2。自相似性的假设下,独特的形式承认的功能是。
证明。我们可以定义一个有效应力能张量如下:
它允许使用标准的爱因斯坦方程只需用有效的代替液体量,所以我们要计算吗
在哪里代表一个类似的向量场。我们计算每个组件的李导数的有效应力能张量。(1)因此,在组件,,
指出,我们只能够获得这两个量之间的关系和,但是我们没有决定他们的特殊形式。(2)
。第一项是,也就是说,
我们可能改写下列形式:
我们可以写成
自,。现在考虑到这一事实收益率,那么方程
的解决方案是
与其他组件,,我们只获得限制规模因素。(3)
,也就是说,
我们想强调的是,这一项依赖于度量,即规模因素,所以,我们主要是获取限制规模因素。然而,第一个组件,
现在,考虑到,然后我们可以改写如下:
的解决方案是
例如,如果我们设置从上面的结果(),因此,我们的结论是,到达
现在,如果我们考虑到这一点(从物质领域的守恒方程)和的结果(28),我们到达的结论。
这就是定理的证明,因为它是必需的。
自自相似性的假设可能是强有力的约束函数的形式在下一节中,我们研究的假设下幂律解决方案规模因素的函数可以采取不同的形式。为此,我们下一步研究跟踪方程通过李群方法。
3.2。李群方法
定理3。幂律的假设下解决方案规模因素,独特的形式承认的功能是。
证明。通过研究跟踪方程(25),我们改写如下:
我们已经建立
与,也就是说,他们是常数,。
的通解(39)是
在哪里
注意,如果在(39)我们组,然后
这意味着(如在标准的情况下)。
我们将确定未知函数的形式为了使菲斯(24)- (25)承认幂律的解决方案。通过研究(39)通过李群方法,那么标准的谎言pde过程带给我们得到以下系统:
例如,对称,,导致不变的解决方案,让我们得到下面的限制功能。从(47),我们得到
的解决方案是
与前面的结果一致。
完成这个证明,我们想强调,如果一个人试图找到一个对称的不变量解决方案正值解决方案吗,从假设,例如,,那么很容易确认它不验证(46)。
我们可以得出了同样的结论,只是重写跟踪方程在一个适当的方式,通过考虑功能之间的关系和(例如,。通过这种方式,(39)的收益率 并考虑到 ,,那么它可以重写在以下方式: 我们已经确定了,因此,我们可以写。我们发现一个特解的三阶颂歌是下一个: 诱导的对称,这是一个与前一个一致的解决方案。请注意,。
4所示。结论
我们学习了自相似假设下修改后的引力模型以及其具体情况模型到达的结论如果承认幂律模型,特别是自相似解决方案,(见定理1)。同样,我们已经表明,所谓的模型,承认幂律和自相似的解决方案(见定理2和3)如果。这个结果正好与前一只获得了FRW对称性(研究弗里德曼方程)。在这项工作中,我们已经表明,这一结果也适用于任何比安奇类型下幂律下的自相似性的假设以及规模因素的解决方案。
确认
作者想感谢f . Navarro-Lerida阅读和批评这项工作。作者也非常感谢所有的裁判有价值的意见和建议。