文摘
本文的目的是延长使用同伦摄动法(HPM)研究解决方案,一些重要的广义非线性偏微分方程(pde)等费雪方程对流项,Sharma-Tasso-Olver(国标)方程,和Fitzhugh-Nagumo (FN)方程。
1。介绍
本文的主要目的是应用同伦摄动方法的帮助下符号计算获得下列非线性方程组的近似解。
费雪方程的对流项作为一个基本的生物种群动态或化学动力学数学模型。解决方案显示了指数增长抵消非线性阻尼(阻尼率成正比)。费雪方程的形式 受
费雪方程研究了许多作者使用不同的方法如双曲正切法(1和变分迭代法2]。
Sharma-Tasso-Olver(国标)方程是一个很好的例子显示孤子融合的解决方案。它的形式 受
副大臣的直接法3)和扩展的双曲正切法(4)被用来解决国标方程。
Fitzhugh-Nagumo (FN)方程是一个重要的非线性反应扩散方程,通常是用来模拟神经冲动的传导;也使用它在电路理论中,生物学、种群遗传学的面积。FN方程的形式 受
FN方程研究了通过改进正弦余弦方法(5)和Exp-function方法(6]。
2。同伦摄动方法的调查
为了说明该方法的基本思想,我们考虑下面的非线性微分方程: 与边界条件 在哪里是一个通用的微分算子,是一个边界算子,是一个已知的解析函数,域的边界吗。操作员可以分为两个部分,这是和,在那里是线性的,是非线性算子。因此,(7)可以写成:
廖在[7]构造同伦,满足 相当于 在哪里,,称为嵌入参数,是一个初始近似解(7)满足边界条件。显然,从(10)和(11我们获得 和不断变化的过程从0到1,就是的从来。在拓扑中,这叫做变形和被称为等位的。应用摄动技术,我们可以先使用嵌入参数作为一个小参数和假设的解决方案(10)或(11)可以表示为一个幂级数如下:
设置提供的解决方案(7)
研究方法的收敛,重写(11)以下形式: 应用逆算子,两边(15),我们得到 用(13)的右边(16),我们得到以下形式:
确切的解决方案可能是通过使用(14)
系列(14在大多数情况下)是收敛的。然而下面的建议已经由他(8),发现非线性算子的收敛速度。(1)的二阶导数关于必须小,因为参数可能是相对较大的,也就是说,。(2)的规范必须小于一个级数收敛。
更多关于这个方法和说明性的例子,读者可以参考以下文章(9- - - - - -17]。
3所示。费雪方程的对流项
考虑对流项的费雪方程如下: 受
通过对同伦摄动技术,建设同伦(19)是 或 在初始近似。假设的解决方案(19)的形式
用(23)(22),比较相同程度的的系数,我们获得以下线性方程:
解决这个系统,我们获得以下解决方案,,等等:
确切的解决方案(19)是
(一)
(b)
(一)
(b)
(一)
(b)
4所示。Sharma-Tasso-Olver方程
考虑Sharma-Tasso-Olver方程如下: 受
通过对同伦摄动技术,建设同伦(28)是 或 在初始近似。假设的解决方案(28)的形式
用(32)(31日),比较相同程度的的系数,我们获得以下线性方程:
解决这个系统,我们获得以下解决方案,,等等:
确切的解决方案(28)是
4.1。
的行为和如图4的地区和。绝对误差精确解之间的差异和HPM的八阶近似解给出了在表2。
(一)
(b)
4.2。
在这部分,我们考虑并比较其与上面的情况。图5显示了这个比较。一个可以看到的情况解决收敛速度比。
(一)
(b)
5。Fitzhugh-Nagumo方程
考虑到Fitzhugh-Nagumo (FN)方程如下: 受
通过对同伦摄动技术,建设同伦(37)是 或 在初始近似。假设的解决方案(37)的形式
用(41)(40),比较相同程度的的系数,我们获得以下线性方程:
解决这个系统,我们获得以下解决方案,,等等:
确切的解决方案(37)是
图6显示的最佳选择是,提供解决方案,收敛速度比其他选择。当,FN方程减少Newell-Whitehead(西北)方程,这是一种重要的非线性反应扩散方程,通常是用来模拟神经冲动的传导,也用于电路理论、生物学、种群遗传学领域的数学模型。
(一)
(b)
的行为和如图7的地区和,当。
(一)
(b)
绝对误差精确解之间的差异和11阶近似解给出的HPM NW方程给出了表3。
6。结论
摘要同伦摄动方法已被用于寻找费雪方程的近似解,Sharma-Tasso-Olver方程,Fitzhugh-Nagumo方程。HPM提供高度精确数值解我们的问题他们也不需要大型计算机内存和离散化的变量。小参数的近似有效不仅仅是也是较大的,可以任意选择初始近似未知常数。
小尺寸的计算相比,所需的计算规模特征法和快速收敛性证明同伦摄动方法更可靠,介绍了求解非线性偏微分方程的显著改善。