文摘
众所周知,不同类型的一个辅助方程的精确解产生新的类型的精确行波解非线性方程。本文通过符号计算,原始的新的解决方案辅助方程的一阶非线性常微分方程sixth-degree提出了非线性项获得Kawahara方程的新的精确解。借助于原始辅助方程的解决方案,可以解决其他一些身体上重要的非线性方程组构建小说精确解。
1。介绍
在过去的几十年中许多寻找行波解的近似方法提出了非线性演化方程或发达而且修改。解决各种演化方程被发现由一个或其他的方法。参考文献(1- - - - - -24内)和引用引用一些这方面的成就。在这些方法中,当前的方法之一是所谓的辅助方程法(20.- - - - - -24]。该方法的技术包括非线性演化方程的解决方案,这样的目标解决方案非线性演化方程可以表示为一个多项式的线性无关的初等函数满足一个特定的常微分方程的一般命名为辅助方程。最近,确定非线性演化方程的解决方案,许多已经利用各种辅助方程的精确解(20.- - - - - -32]。
简洁的观察表明,新的辅助方程的精确解可能伪造原始精确行波解的非线性方程。因此,它是非常重要的发现新的辅助方程的精确解。
在本文中,我们将研究的后果的选择辅助方程确定的非线性演化方程的解决方案在考虑和寻求更多类型的新精确解的非线性微分方程满足一阶非线性常微分方程与sixth-degree非线性项。
2。辅助方程法和一些评论
我们假设给定的非线性偏微分方程在表单 在哪里是一个多项式的参数,包括非线性条件和最高位衍生品。
然后使用转换,一个可以减少(1常微分方程) 现在,我们寻求的精确行波解(2)通过辅助方程的方法。
正如众所周知,大多数精确行波解(4- - - - - -24非线性演化方程的假设得到精确解可以表示为一个有限扩张的线性无关的基本功能。获得线性无关的初等函数的一个常用方法是假设他们是适当的代数或微分方程的解决方案是完全可以解决的。
因此,它是很自然的问以下问题:什么类型的有限扩张或什么样的函数可以用来构造新的行波解?
因此,解决(2),让我们假设精确解可以表示为简单的扩张的形式 在哪里,是常数,确定后,函数是一个适当的函数,收益率新的行波解和被定义为辅助方程的解。
现在,让我们记住这个过程寻找未知系数,,在那里。用辅助方程为给定的非线性方程,将每个系数的力量为零收益率一个代数系统。因此,所有系数可以确定通过解决代数系统和参数是一个正整数,可以由平衡的最高阶导数项和最高权力非线性项(3一般)。
在大多数辅助方程方法,函数被定义为一个辅助常微分方程的解决方案。即使可以构造更复杂的类型的许多辅助常微分方程精确解,也遇到一些困难。因此,出现以下重要的问题:我们如何找到一个各种各样的辅助方程的精确解?不幸的是,这个问题的答案不是唯一的,不同辅助作者利用常微分方程是完全可以解决的。
例如,镍(25)利用非线性微分方程 作为一个辅助常微分方程变换(2)多项式方程,,,分别。消失在多项式系数,和分别导致方程这部分确定系数,,,,在(4)。我们认为镍优先(4)由于分析可解性。因为,惠塔克和沃森26显示解决方案(4)可以表示的维尔斯特拉斯的椭圆函数。
同时,风机(27)开发了一种新的直接代数法寻求额外的类型的进化的新精确解非线性微分方程可以表示为多项式在几个基本或特殊函数满足一阶非线性常微分方程与四级非线性项 在哪里,是常数。方法已应用于发现许多各种类型的精确行波解非线性方程组(27- - - - - -29日]。Sirendaorejii [21]和Abdou [30.]利用(5)的情况下,。也许,它是重要的指出的选择情况下,也就是说,,允许一阶非线性常微分方程的解析解与镍的四级非线性项。这个属性的四级非线性项的非线性常微分方程用于大型(20.,23),例如,对于这种情况在[21,22)的情况下(5),发现许多各种类型的精确行波解非线性方程。
在本文中,我们寻求的解决方案(2)拟设的(3),满足以下新的辅助方程sixth-degree非线性项,也就是说, 在哪里是真正的常数。情况下1- - - - - -8报告辅助方程的新的解决方案(68岁以下)sixth-degree非线性项的情况下,包括解决方案包括贝塞尔函数和兰伯特函数和一个可以使用这些新解决方案寻求精确行波解非线性方程。
案例1。如果 然后
例2。如果 然后
例3。如果 然后
例4。如果 然后
例5。如果 然后
例6。如果 然后
例7。如果 然后
案例8。如果
然后
值得注意的是,通过选择特定的值,(6)提供了许多类型的特殊解决方案。由于空间有限,我们省略这些结果;相反,我们确认以下言论。
因此,在拟设(3),参数是一个正整数,可以由平衡高阶导数项和最高的动力非线性项(2)。的最高学位可以通过计算
因此用(3)和(6)(2),将所有的权力的系数和得到的方程为零,几个代数方程将获得。然后解决这些符号计算系统代数方程的枫木,并结合(3)和辅助方程(6),我们可以得到准确的解决方案(1)。
3所示。精确行波解
在本节中,我们将结合辅助方程法和原始的辅助方程的新的解决方案(6),6度非线性项考虑新的解决方案的广义非线性克莱因戈登方程作为一个测试问题,许多研究人员(20.,21,24]。
Kawahara方程 在哪里非零的任意常数。方程(24),建议首先Kawahara 1972年,发生在浅水波浪理论和扮演着一个重要的角色在许多物理现象的建模,如等离子体波和磁声。使转换,一旦对和集成,(24)成为 从(23),我们有。因此,拟设收益率 和可能是确定的情况下1- - - - - -8。
现在,为了方便起见,我们只给典型的两种情况下的计算的实用目的,其余的可以用类似的方式决定的。
例1。我们首先考虑6度非线性的辅助方程,即
在这种情况下1- - - - - -8。解决方案(27)
我们相信,在文献中一个新的解决方案。
因此,用(26)和(27)(25),让每一个系数,为零,我们获得
解决系统(29日枫13的援助,我们可以确定系数:
用上述系数拟设(26与解决方案()28)的辅助方程,我们得到的一个新的解决方案Kawahara方程:
的图像(31日)说明选择系数值在图1。
例2。接下来,我们考虑auiliary与6度非线性方程,即
在这种情况下1- - - - - -8。解决方案(32)
我们相信,在文献中一个新的解决方案。
用(26)和(32)(25),让每一个系数,为零,我们获得
解决系统(34枫13的援助,我们可以确定系数:
用上述系数拟设(26与解决方案()33)的辅助方程,我们得到一个新的解决方案Kawahara方程:
4所示。结论
是看到,关键的想法获得新的行波解非线性方程组构建不同类型的给定辅助方程的解决方案。在本文中,辅助方程的精确解与6度非线性(6)是 在哪里是真正的常数,用于构造克莱因戈登方程的解决方案(32]。使用这些解决方案,我们已经成功地获得了一些新的精确Kawahara方程的周期解。为了比较,值得注意的是,吴等人在20.]和Lv等人[23)利用(5),在[Sirendaoreji21)和张成泽(22拟设)应用仅覆盖,最多四阶非线性项在辅助常微分方程,因此他们的解决方案是有限数量的订单。
在这封信中,我们获得了辅助方程的精确解与sixth-degree非线性(6不同的情况下(见例)1- - - - - -8)。因此,我们的方法提供了额外的新的解决方案在解决方案获得通过第四阶辅助方程,从理论上讲,我们的一些解决方案可能配合吴等人的解决方案(20.),Sirendaoreji (21],张成泽在[22),Lv等人在23),某些情况下Yomba [24)对某些参数的选择我们作为练习。
然而,众所周知,不同类型的产生新的辅助方程行波解许多非线性问题。因此这也是我们未来的工作。提出的方法可能会导致寻找新的精确行波解其他非线性问题。