文摘
一个显式表示广义阿贝尔积分方程的解,在那里是Riemann-Liouville分数积分,莱特的函数,构造。
1。介绍
考虑方程 在哪里,,,部分integrodifferentiation Riemann-Liouville运营商的订单吗,定义如下:
合适的函数,(1),和,;也就是说,亚伯第一类积分方程(见[1]) 可能是反向的公式吗 (见[2])。为,,,,,(1)具有以下形式 亚伯第二类方程,及其解决方案可以由Hille-Tamarkin公式吗 (见[3),也可以写成 在这里, 是米塔格-莱弗勒函数。
方程的类型(1)与理性的参数被认为是在4,5]。第二类广义阿贝尔积分方程进行了操作方法(6]。为一个更完整的调查结果与阿贝尔积分型方程和分数阶积分和微分方程及其应用,我们指的是(6- - - - - -8]。
在本文中,我们获得一个表示的解决方案(1)。结果覆盖两种情况下,第一类方程的解决方案(第二类),()。解决方案是建造的赖特的功能。应该注意的是,(1)可以减少第二类广义阿贝尔积分方程,和开发的方法6可以申请)(1)。这提供了另一种方法来研究下的方程。
2。预赛
现在,我们回忆起几个属性部分运营商的集成和分化和下面所需的特殊功能。
以下三个关系是有效的: 为和或和; 为和,; 为和或和(例如,看到2]和[9,2.1节)。
通过,我们表示的拉普拉斯卷积函数和:
操作符可以用卷积的形式
使用(11)和(13)和考虑的结合律和交换性卷积,得到 在哪里,, 与和。的关系 是一个特定的情况下(15)。
回想一下,莱特的功能 满足的关系 (见[10])和 为关系(19)可以证明逐项的应用公式(11赖特的)表示函数作为一个系列(17)。结合(18)和(19),我们得到
3所示。辅助的结果
在这里,我们调查的性质函数的一个积分方程的解决方案(1)将建成。
考虑到功能 (见[11]), 接下来,函数的参数和参数(21)满足
备注1。这个函数是独立分布的参数但只取决于他们的总和。事实上,让和函数的值相应的设置和,同一套,,, 让 然后,使用(15)和(19),我们得到
引理2。如果 然后 积极的常量和独立的和。
证明。使用莱特函数的渐近公式(参见[10]),我们有 在哪里和积极的常量独立吗和。如果我们回忆的定义(21),我们得到 使用(14),我们获得(28)。
引理3。如果,然后
证明。如果,然后结合(15),(19)和(21),我们得到
现在,让,。从评论如下1,(21),我们可以把一个参数这样。因此,在平等的观点
公式(19),的关系
我们可以看到,
这就完成了证明。
引理4。这个函数满足的关系
证明。从(28)和(36),我们得到
在哪里
和和积极的常量独立吗,,。的关系
这适用于和,(39)收益率(37)。
关系(38从()之前28),(31日),并定义(36)。
引理5。让,为,。表示, 然后,该函数积分方程的解决方案吗
证明。让 使用(20.),(21)和(31日)和牢记的话1,我们得到 因此,在视图的(36)和(42), 平等的考虑 和(14)的关系(46)收益率(43)。
4所示。主要结果
定理6。让,为,,存在一个函数这样。然后,(1)有一个独特的可积的解决方案,为每一个可以表示如下: 在哪里被定义为(42)。
证明。让的解决方案(1)。考虑到(16)和(43),我们得到
或者,在视图的(13),
应用算子这个等式的两边,牢记(9),我们获得(48)。
现在,我们证明了一个函数被定义为(48)是一个解决方案(1)。让,。考虑到功能
牢记(16),(38)和(42),我们得到
使用(33),(37)和(38),我们得到
这和关系(37)考虑在内,我们可以得出这样的结论:该函数绝对是连续的,
为,
使用(10)和(54),我们得到
然后,它遵循
这就完成了证明。
注7。让,,为。在这种情况下,(1)将会出现像(3),我们得到的 此外,它遵循的平等 ,如果,,,,,然后 因此,公式(48)正值(4)和(7)的情况下(3)和(5)(即。,因为和),分别。