基于均衡算法的帧间CT图像重建

摘要

基于帧的正则化方法是近年来发展起来的一种稀疏表示方法，已被证明是一种有效的CT图像重建方法。然而，目前发展起来的CT图像重建方法大多是基于分析的帧方法。提出了一种新的基于帧的具有两个稀疏正则项的平衡混合模型用于CT图像重建。我们推广了快速交替方向法来求解所提模型，使每个子问题都能很容易地求解。数值实验表明，本文提出的基于平衡的混合小波正则化方法在降低重构均方根误差和提高CT图像的信噪比方面是有效的。

1.介绍

x射线计算机断层扫描(CT)图像重建是疾病诊断和研究中不可缺少的工具。然而，x射线辐射是有害的，高剂量的x射线辐射可能导致基因突变、细胞癌变等[1］．因此，低剂量x线CT图像重建越来越受到人们的关注。由于x射线CT成像质量取决于x射线剂量，减少x射线剂量会导致图像重建质量差。因此，如何降低x线照射剂量而不影响诊断是近年来研究的热点。在数学上，CT图像重建通常可以表述为线性逆问题。为探测到的测量数据，目标是找到目标图像由下式可知: 在哪里离散radon线性变换算子和为带方差的噪声．

减少x射线辐射剂量的一个策略是减少投影数据，但这种少观方法将导致数据不足。由于该策略的欠采样和系统错误，上述问题(1)从数学的角度来看通常是不适定的。因此，传统的滤波反投影(FBP)方法[2不能产生理想的成像质量。为了克服这些问题的不适性，近年来发展了稀疏正则化方法，而且这些方法可以在低视角环境下获得更高质量的图像。稀疏表示方法假设图像在某些变换域中是稀疏的。离散梯度(3.，即所谓的全变分(TV)，就是这样一个稀疏变换域来解决少视点图像重建问题。虽然基于tv的正则化稀疏域在降低辐射剂量方面是有用的[4，5]，也有一些不足之处，如楼梯效应[6，它的力量仍然是有限的[7］．因此，许多改进方法被提出，如Niu等人提出的PWLS-TGV方法[8， Liu等人提出的tv - pocs [9，以及Ritschl等人提出的方法[10］．此外，还发展了一些稀疏变换域，如基于gamma正则化的方法[11，一些非本地域[12，13，不同种类的小波框架域[14- - - - - -16]，以及一些字典学习稀疏方法[17，18］．

本文主要研究小波紧框架的稀疏表示。小波紧框架可以保证给定信号完美地表示为小波稀疏系数的线性组合，也称为完美重构特性[19］．由于分解和重构的灵活性和井的性能，基于小波紧帧的方法已被广泛应用于几乎每个图像处理分支[14，20.- - - - - -22］．近年来发展起来的CT图像小波紧帧重建方法大多是基于分析的小波帧方法。本文提出了一种新的基于平衡的方法。本文的其余部分组织如下。节2，对小波紧框架进行了必要的初步研究和理论探讨。部分3.提出了一种用于CT图像重建的平衡模型，并提出了一种有效的计算算法。本节给出了在RMSE和PSNR方面改进我们所提方法的数值模拟4．最后，对本章进行了总结5．

2.预赛

为了方便，我们首先给出了小波紧框架的一些基本定义和一些结果。详情请参阅[20.，21］．

在一维离散情况下，向量的集合 称为小波紧框架，如果每个 ， 在哪里 为内积。对应的分析运算符记为被编写为

然后, 称为小波系数。另一个操作符通常称为合成算子的是小波系数的合成，也就是说，如果为小波系数

然后 可由身分(2)．在这里, 是恒等算子。这种特性通常被称为“完美重构特性”，在某些应用中可以减少计算量。

基于酉可拓原理(UEP)条件[20.，小波紧帧通常可以由一些滤波器生成满足

在这里, 当 ；否则就是零。分段线性b样条帧是这样一种小波紧帧，它的相关滤波器是

基于小波的方法已被应用于几乎每个图像处理分支[22- - - - - -24］．二维小波紧框架滤波器可由相应的一维滤波器的张量积得到。

根据观测数据；基于小波紧帧的图像稀疏正则化处理方法可以总结为 在哪里为线性变换算子，在CT图像重建中为离散radon变换，在MR图像重建中为傅里叶变换，在图像去模糊中为卷积算子。表示-范数，最终得到稀疏解。近似为常用于实现稀疏正则化。相比之下,，是凸的，从而保证了适定性质。然后，目标图像 ．在这里，(8),也就是说, ，用于平衡目标图像之间的距离和系数．然后，根据不同的值，区分了三种方法，即分析方法 ，平衡的方法 ，以及综合方法 ．显然，这三种方法是相同的是正交的。一般来说，很难得出结论，在(8)是更好的。每种方法都有自己喜欢的图像集[25］．

对于基于平衡的方法，我们有以下结果[19］．引理1。让 和 ，分别表示小波紧框架的分析算子和综合算子;然后 成立。

3.提出的模型和方法

近年来发展起来的CT图像重建方法大多是基于分析的帧方法[16，21，26]，以及许多最先进的方法，如Split Bregman法[27，替代方向[28，增广拉格朗日方法[29来解决这些问题。基于平衡法建模的图像重建研究[25]及综合方法[30.则相对较少。由于每种方法都有自己喜欢的图像集，因此很难得出哪个更好的结论[25］．

本文提出了一种新的约束平衡模型CT图像重建方法，具体如下: 在哪里为氡变换算子，从扫描仪获得的数据，和为小波紧框架。然后，重建图像 ,在那里为(的解9)．与(8)，增加的项 进一步将解正则化，避免了小波紧框架带来的吉布斯缺陷。一般来说，参数选择小于参数．事实上,更大的将导致结果图像的整体平滑。近年来，针对基于平衡的模型，发展了一些有效的算法，如近线性化交替方向法，其中对具有一个正则项的模型，采用增广函数二次项的线性化[31］．

接下来，让我们研究我们提出的基于平衡的模型对应的灵活迭代算法。我们也可以使用快速交替方向方法来解决我们提出的基于平衡的模型。交替方向法的相应收敛性分析可诉诸于[32，33］．通过引入 ，约束极小化问题(9)可以改为以下无约束的:

实际上,(10)相当于以下内容: 在哪里 和是参数。在这里，我们省略了这些参数与(10)．

在这里,我们选择 为计算方便。然后，根据引理1，(11)相当于以下内容:

然后通过交替方向法，求解最小问题(12)可以分解为以下四个子问题:

对于第一个子问题，根据KKT条件， 可以很容易地用著名的共轭梯度法求解。一方面，附加项 在(12)可以进一步正则化解;另一方面，我们可以从解决方案中看到u子问题(13)参数能否进一步克服操作者的病态在CT扫描。在此基础上，总结了本文提出的基于均衡小波紧帧方法的CT图像重建算法1．

4.数值模拟

在这一节中，我们给出了两个数值研究来说明我们所提出的格式的良好性能。我们比较了我们提出的混合正则化方案 在(12)与传统的FBP算法和只有一个正则项的FBP算法 通过我们提出的基于平衡的帧算法。在接下来的两个仿真中，我们采用分段线性b样条紧框架作为变换算子。为了评价重建图像的质量，使用如下均方根误差(RMSE)和峰值信噪比(PSNR):

在这里,和分别表示重建图像和原始图像，和和表示图像的大小。一般来说，RMSE越小，重建质量越好，PSNR越高，越接近原始图像。亦可采用其他评估准则，例如“SSIM”[34］．当 ．在这些实验中，我们使用GPU(图形处理单元)来加速计算和以便更快地重建[35］．在下面的模拟中，投影视图是平均分布的不考虑探测器偏移。所有实验均在64位操作系统、2.90 GHz处理器的PC机上使用Matlab 2009进行。此外，经过大量的模拟，我们发现参数应该比参数小得多吗,因为大将导致重建图像的整体平滑。的参数当噪声和投影视图变化不大时，可设置为5或6。噪声越强，参数越大应该使用。接下来，我们将展示两个具体的例子。例4.1。我们使用如图所示的“NCAT”1(一)评估所提出的模型和算法。近年来，“NCAT”已被广泛应用于医学成像技术的评价。的重建和FBP法(图2(一个))的投影视图分别为0.2701和69.0921。数据2 (b)和2 (c)50个投影视图的复原结果是否分别由一个正则化模型得到 和两个合法化 在(12)，基于我们提出的平衡方法与算法参数 ．对这些参数进行了优化。共进行23次迭代，耗时约3.6 s。的值和分别为0.0271和89.0138，对应的一个正则项平衡算法分别为0.0305和87.9635。我们可以看到，在RMSE方面，加入正则化项后，误差降低了12.5% ．具有两个正则项的平衡算法比相应的只有一个正则项的平衡算法重构质量更好。

由于器件缺陷或低暴露剂量，噪声往往是不可避免的。我们在NCAT的投影数据中加入1%的噪声相应的重建和FBP法(图2 (d))分别为0.2751和68.8931。相应的重建和分别为0.0338和87.1018，对于两种正则化项均衡算法(图2 (f))和0.0362和86.2801分别为一个正则化项平衡算法(图2 (e))．因此，在有噪声和无噪声的环境中，采用两项正则化的平衡算法可以获得更好的重构质量和．例4.2。Shepp-Logan图像“SL”是我们的第二个测试图像，如图所示1 (b)．我们在不同的观点下评估算法。相应的重建和FBP法，40个投影视图(图3(一个))分别为0.5906和64.8555。相应的重建和FBP方法，50个投影视图(图3 (d))分别为0.5726和65.1283。显然，FBP算法在低视角投影的情况下引入了条纹伪影。数据3 (c)和3 (d)40个投影视图的模型经过一次正规化后的恢复结果分别是 在(12)和两次正规化 在(12)，基于我们提出的平衡方法与算法参数 ．每个参数都进行了优化。的值分别为0.0780和0.0759。的值分别是82.1841和82.6393。图中显示了具有50个投影视图的重建结果3 (e)和3 (f)．的值分别为0.0581和0.0557。的值分别为84.2616和85.9924。在不同视图下，本文提出的混合正则化方法的RMSE和PSNR都得到了改善，从而获得了更令人满意的重建结果。这两种基于平衡的图像重建方法都比FBP方法得到了更理想的结果。

5.结论

本文提出了一种基于平衡的双正则项小波CT重建模型。我们研究了基于交替方向法的混合模型的快速算法。仿真结果表明，该方案在降低均方根误差和提高PSNR方面具有明显的优越性。该方法具有很好的灵活性，也易于推广到其他图像处理问题。

的利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

作者的贡献

周伟峰与项华是共同第一作者，贡献平等。

致谢

山东省自然科学基金项目(no . ZR2015PF001);山东省科技计划项目(no . 2015GGX101020);中国博士后基金项目(no . 2015M570594);青岛科技大学人才创业基金(010022670)。

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