解决Falkner-Skan方程用矩阵形式的切比雪夫系列

文摘

Falkner-Skan方程的解的数值方法,这是一个非线性微分方程,提出了。方法已经被删除派生半无限域问题的有限域,然后扩展所需的近似解元素的切比雪夫系列。使用函数的矩阵表示及其衍生品,问题是简化为代数方程组在一个简单的方法。从计算的角度来看,结果是在良好的协议与在发表作品。

1。介绍

常微分方程是重要的工具在解决实际问题的能力。一些自然现象是由常微分方程模型,使用在几个领域,如物理、工程和生物(1- - - - - -7]。

Falkner-Skan方程出现在层流边界层的研究表现出相似性。相似的解决方案的二维不可压缩层流边界层方程Falkner-Skan方程是众所周知的。F-S方程是一个一维非线性两点边值问题,没有封闭的解。问题是由 在哪里和常数和质数表示分化对吗η。给出相关的边界条件

解决方案(1)和(2)的特点是 。

这个问题的数值处理被许多作者解决,即Lakestani [8),Parand et al。9[],El-Nady和Abd Rabbo10,11),Cebeci和凯勒12],Na [13],Asaithambi [14],Asaithambi [15],Elgazery [16],Ganapol [17]。这些技术主要用于拍摄算法或不变嵌入。Chebshev搭配矩阵法(18)提出了非线性微分方程的数值解。该方法在18)将非线性微分方程转化为矩阵方程,它对应于一个未知的切比雪夫系数的非线性代数方程组,通过切比雪夫搭配点。该方法在19)将非线性微分方程转换为非线性代数方程组与未知的切比雪夫转移系数,通过Chebyshev-Gauss搭配点。这个系统的解决方案收益率的切比雪夫系数函数的解决方案。该方法对初值和边值问题是有效的。

本文的目的是开发一个基于切比雪夫系列的高效方法更简单,比其他现有算法简单。使用矩阵表示法的切比雪夫系列、非线性微分方程转化为代数方程组,可以很容易地解决。目前的方法的重要性来自于它的简单,它不需要猜的价值 。

2。切比雪夫系列

任何连续函数f(ξ在间隔0≤ξ≤1可以用切比雪夫系列如下20.]:

级数展开(3)是fast-converging,就是一个很好的近似得到的一些术语。因此,方程(3)是近似的 +符号意味着1在哪里^圣术语必须减半一个_r常数是决定以获得最好的健康。

移位的切比雪夫多项式满足递推关系 和正交性条件 对于一个已知函数在哪里 ,的系数

同时,函数的导数可以扩展在切比雪夫系列保持一个递归函数的系数之间的关系及其衍生品。一阶导数表示在切比雪夫系列(20.]

系数满足递归关系

类似地,米^th导数是写成 在哪里 ,1≤r≤N- (米- 1)。

2.1。矩阵表示函数和函数的导数

任何连续函数f(ξ)间隔0≤ξ≤1及其衍生物可以用切比雪夫系列的一个矩阵形式如下:

first-order-derivative系数在方程(10)可以写成的原始函数系数{一个_我}使用矩阵符号如下: (在哪里一个)是一个上三角矩阵N×N。

矩阵的元素一个_ij被定义为

矩阵的形式(一个]N例如= 5

从方程(13),它是指出first-order-derivative系数是书面的N系数{一个_我},(我= 1,2,…N)的函数f(ξ)。代表所有函数系数的{一个_我},我= 0、1、2、…N,我们添加一个新的左栏为零矩阵中的条目(一个),新矩阵称为(一个01]。因此, (在哪里一个01)N×N+ 1和需要;为N= 5,表单

二阶导数系数{可以写成函数的系数一个_我}使用矩阵符号如下: (在哪里一个02)N−1×N+ 1。(一个]₋₁₋₁是矩阵一个删除最后一行和最后一列后)。⁻¹(一个01]矩阵(一个01]后删除第一行。

的一般形式米^th微分系数{可以写成函数的系数一个_我}使用矩阵符号如下: 在哪里米导数的顺序,一个]_{1−米1−米}矩阵(一个删除最后一个(后)米−1)行和(米−1)列。⁻¹[][]矩阵后删除第一行。 (在哪里T_r)是一个行矩阵的元素T_r(ξ)。注意,在矩阵形式的第一项T_r)必须减半。

现在,考虑的一般微分方程非m^th秩序。

扩大切比雪夫系列中的每个词后,上述微分方程可以写成

强制函数系数p_r可以使用方程(评估8)。将像切比雪夫多项式的系数条件,由此产生的N+ 1−米代数方程可以写成矩阵形式使用方程(16)和(21), 所有矩阵方程(24)相同的顺序(N+ 1−米×N+ 1)。对于所有衍生品低于最高阶导数,第一个N+ 1−米行选择,以满足方程(24)。为了能够解决方程(24),米需要额外的方程。提供的这些附加方程边界条件问题。

2.2。矩阵表示的功能的产品

如果f(ξ),(ξ)是两个连续函数表示为截切比雪夫系列 这些功能的产品可以用切比雪夫系列 在哪里

{c_r}{的系数可以写成一个_我}系数只使用矩阵符号如下: 在哪里r= 0、1、2、…N+米,我= 0、1、2、…N,{c_r}是一个列矩阵N+米+ 1×1,H是长方形矩阵N+米+ 1×N+ 1,{一个_我}是一个列矩阵N+ 1×1。

的元素h_ij的矩阵H可以写成

因此,方程(28)的形式

3所示。应用程序Falkner-Skan方程

本节的目的是解决Falkner-Skan方程(1)和(2)用切比雪夫数字系列矩阵形式。再次,为了解决这个问题,半无限物理域[0,问题是截断有限域[0,l),l是一个足够大的数量。Falkner-Skan方程(1)可以用无量纲形式

相关的边界条件(2)是用无量纲形式编写的

扩大f(ξ)(N+ 1)切比雪夫来说,我们得到N+ 1未知系数。现在,使用矩阵符号函数,函数的衍生品,和功能的产品和应用矩阵乘法,方程(31日)可以写成一个代数方程组的矩阵形式如下: (在哪里哈是系数矩阵的一阶导数,(乙肝是系数矩阵的二阶导数,{f_我}是切比雪夫函数的系数f,{β_r}的切比雪夫系数β从方程(8)。

最高阶导数方程(33订单3),所以代数方程的数量N−2和3边界条件在ξ= 0和ξ= 1,导致N+ 1方程N+ 1未知数,这可以很容易地解决。是指出,所有的矩阵方程(33订单(的)N−2×N+ 1)。

3.1。边界条件

幸运的是,它相对容易代表任何边界条件的功能扩展切比雪夫系列。中给出的边界条件(32)可以写成 (在哪里TR0]是一个矩阵的行N在ξ= 0,+ 1 Chebeychev条款(TR01]是矩阵的一行NChebeychev条款ξ= 0时,TR11)矩阵的一行NChebeychevξ= 1。注意:切比雪夫的第一项条款必须减半。

3.2。过程的解决方案

目前的算法包括以下过程:(一)它始于一个相对较小的值l作为半无限域的初始值。(b)方程组(33)和(34同时找到解决速度剖面 。(c)l不断增加了吗 。如果连续两个值来完成这个任务相差约1E−6。图1显示的结果和 。

4所示。结果与讨论

Falkner-Skan方程有两个系数和 。相对应的解决方案= 0被称为恒流,这些对应> 0被称为加速流动,这些对应< 0被称为减速流。身体相关解决方案只存在−0.1988 <≤2。如果= 1/2,= 0,它被称为Blasius流;如果= 1,=½,它描述了Homann轴对称停滞流,如果= 1,= 1,它描述了Hiemenz流,如果= 0和= 1,它叫做Pohlhausen流,如果= 2,= 1,它代表Homann的问题,描述了稳定流动边界层沿表面驻点附近的革命。有时,专门指Falkner-Skan方程= 1。

Falkner-Skan方程解决了使用提出了切比雪夫系列的矩阵形式不同的值和 。指出,解决方案是稳定和收敛甚至不到十小数量的条款。最后,在所有解决方案中,切比雪夫的数量条款N= 20。表1比较初始斜率获得使用本方法中获得的值(17)通过使用基于麦克劳林级数表示的高度精确算法。看到现在的方法提供了相同的精确度。

需要指出的是,l对解决方案有很大的影响。结果表明,系统方程(33)和(34)有一个解决方案与高水平不同的半无限区间值的准确性l如表所示2。

上述不同的流动速度剖面得到使用目前的技术和龙格-库塔4^th顺序的方法并提出了以下数据。

图2显示了Blasius流的速度分布=½和= 0。图3显示的速度剖面Homann轴对称停滞流= 1,=½。图4显示了Hiemenz流的速度分布= 1,= 1。很明显,目前的解决方案有一个很好的协议,龙格-库塔获得的4^th顺序的方法。所示的解决方案不是一个单一的解决方案,但它是一组解决方案不同的长度和给相同的值如表所示2。

图5显示了Pohlhausen流的速度分布= 0和= 1。很明显在这个图的解决方案通过龙格-库塔4^th方法是不同的l3.25几乎相等,仍然是收敛的,直到目前的解决方案l= 6.98476,这意味着目前的解决方案是强大的。这个注意是有效的所有值和= 0。

图6显示问题的速度剖面Homann描述稳定流动的边界层沿回转曲面的驻点附近= 2,= 1。如前所述,目前的解决方案有一个很好的协议,龙格-库塔获得的4^th顺序的方法。

的值和最大的l针对每种情况。

为= 1, ,两个家庭的解决方案。一个家庭的解决方案对应于向前流动,另一个对应于反向流如图7和8。

增加的步骤l是0.05,连续两个值之间的误差是1E−2。

精炼Δl= 0.001,采用连续两个值之间的误差是1E−6,结果在图所示9和10。

5。结论

在目前的研究中,基于切比雪夫级数展开技术应用于确定的近似解Falkner-Skan (F-S)三阶非线性微分方程。非线性微分方程已被转化为一个代数方程组,给出了矩阵形式。这个方程组很容易解决矩阵反演,通过假设初始值对切比雪夫系数,重复这个过程,直到正确的值是在可接受的误差。提出的新技术非常简单,适合计算机实现。这种方法的优点之一是,解决方案是直接表示为代数方程组,解决了使用计算机程序没有任何计算工作。

比较目前的结果公布的结果表明优秀的解决方案的准确性。得出结论,目前的技术是一个精确的工具在处理Falkner-Skan (F-S)方程与高水平的准确性。

这种技术可以被认为是一个强大的工具来解决线性和非线性微分方程定义在一个有限的范围内。

数据可用性

所有的数据和分析都可以共享的研究人员在发表论文。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

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