关系Borweins立方θ的函数和Ramanujan艾森斯坦级数

文摘

二维Borweinθ的函数被发现的兄弟在高斯和勒让德的算术几何平均迭代工作。在本文中,获得了一些新的艾森斯坦级数恒等式( , )- - -参数化Borweinsθ的函数。

1。介绍

该系列 , ,和艾森斯坦定义如下,主要提到Ramanujan在他的第二个笔记本1]。

Borwein兄弟(2,3)建立了连续三维立方θ的函数;平行于雅可比θ的函数身份和算术几何平均迭代Guass和勒让德,他们的陈述如下 :

一个很容易验证 和 。通过使用欧拉二项式定理(2,3),Borwein兄弟发现一个表达式和无限的产品,即

在哪里被定义为

证明(5)- (7)中可以找到2,3]。Berndt et al。4]证明以下身份通过Ramanujan签名3的椭圆函数理论,即

在当前的工作,使用 - - - - - -参数引入Alaca et al。5- - - - - -7),连接获得的新艾森斯坦级数恒等式 , ,和 ;这些是sum-to-product身份的例子。用椭圆函数的经典理论和模块化度方程3,陈(8]证明(9)和(12)。此外,刘9,10]提供替代证明(9)- (12使用简单的椭圆函数)。的身份Ramanujan艾森斯坦级数重量2中发现[10,11)已经被Bhuvan证明(12]。夏和姚11)也获得了几个艾森斯坦级数恒等式,包括Borweins”包含θ的函数 , , , , ,和通过使用( , )- - -参数化。此外,2020年,Shruthi和Srivatsa库马尔(13获得新的艾森斯坦级数涉及Borweins立方θ的函数。本文分类如下。部分2需要专门的初步结果证明我们的主要结果节3。

2。预赛

Alaca和威廉姆斯(14确定的参数表示 , , ,和为 , ,和 的参数和 ,也就是说,在哪里

自 ,一个可以验证 和 。顺序的参数表示和由Alaca et al。6,7和Alaca和威廉姆斯14]为 和为 下面列出。

以下参数表征的参数和是由Alaca et al。5]。

现在,我们解释的概念 - - - - - -参数化的解释(11]。使用上面列出的身份,我们推导出表征 为 而言,和 。上述表示的 是一个多项式和 ,我们要证明在每一个是一个有理数是产品涉及或 。替换的表征而言,和在(17),然后双方(17)的功能和 。进一步将的系数双方(17),一组线性方程推导出。如果这些方程有解,然后通过使用枫木,我们解决的方程和评估价值 ,使艾森斯坦级数恒等式涉及Borweins立方θ的函数。

3所示。主要结果

定理1。一个人

证明。如果假设的情况

在各种力量的等同 两岸的上面,它是观察到

在解决上述五个方程,一个可以看到

用(21)(19)和使用(1),获得期望的结果。同样,应用这种技术,下面的身份也得到:

定理2。一个人

证明。如果假设的情况

在各种力量的等同 两岸的上面,它是观察到

上面的解决,很容易看到

用(26)(24)和使用(2),获得期望的结果。同样,应用这种技术,推导出以下身份:

4所示。结论和应用

使用该技术开发的夏和姚11),可以推出一个艾森斯坦级数之间的关系和Borwiens立方θ的函数使用( , )- - -参数化。作为一个应用程序,一个可以评估卷积金额涉及因子求和。

数据可用性

使用的数据来支持这个研究的发现包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

引用

1. s . Ramanujan笔记本电脑(2卷),塔塔基础研究所,1957年孟买。
2. j . m . Borwein和p . b . Browein”,一个立方相对应的雅可比的身份和年度股东大会,“事务的美国数学学会,卷323,不。2、691 - 701年,1991页。视图:谷歌学术搜索
3. j . m . Borwein p . b . Borwein, f . g . Garvan”一些立方模块化Ramanujan的身份。”事务的美国数学学会,卷343,不。1、形成反差,1994页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
4. 公元前Berndt、美国Bhargava和f . g . Garvan”Ramanujan的椭圆函数理论替代基地,“事务的美国数学学会,卷347,不。11日,第4244 - 4163页,1995年。视图:谷歌学术搜索
5. a . Alaca s Alaca和k·s·威廉姆斯,“二维θ的函数Borweins。”Acta速算比赛,卷124,不。2、177 - 195年,2006页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
6. a . Alaca s Alaca卷积和k·s·威廉姆斯,“评估总结和”,先进的理论和应用数学,1卷,不。1,27-48,2006页。视图:谷歌学术搜索
7. a . Alaca s Alaca卷积和k·s·威廉姆斯,“评估总结和”,国际数学论坛。理论和应用》杂志上,卷2,不。14日,45 - 68年,2007页。视图:谷歌学术搜索
8. h·h·陈,“Ramanujan立方的转换公式”,数学《剑桥哲学学会学报,卷124,不。2、193 - 204年,1998页。视图:谷歌学术搜索
9. z - g。刘,”Borweins的立方θ的函数身份和一些立方模块化Ramanujan的身份,“Ramanujan日报,4卷,不。1,3-50,2000页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
10. z - g。刘:“一些艾森斯坦级数的身份。”《数论,卷85,不。2、231 - 252年,2000页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
11. e . x w·夏和o . x m .姚明,”艾森斯坦级数身份涉及Borweins”立方θ的函数,应用数学学报ID 181264条,卷。2012年,14页,2012。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
12. e . Bhuvan”在一些艾森斯坦级数恒等式与Borweins”立方θ的函数,印度的纯粹和应用数学杂志》上卷,49号4、698 - 703年,2018页。视图:谷歌学术搜索
13. Shruthi和b . r . s . Kumar“一些新的艾森斯坦系列包含Borweins立方θ卷积函数和表达式”,非洲数学没有,卷。31日。5 - 6,971 - 982年,2020页。视图:谷歌学术搜索
14. Alaca和k . s . Williams”卷积和的评价和”,《数论,卷124,不。2、491 - 510年,2007页。视图:谷歌学术搜索

版权

版权©2021 b . r . Srivatsa Kumar等。这是一个开放的分布式下文章知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。