具有均匀和指数增长形式的污染源浓度的解析解和数值解

抽象

污染运动的研究是解决水质问题的重要基础，几乎在每个国家都具有重要意义。本研究利用一维对流扩散方程中包含衰减项和放大项的数学模型，提出了流动污染的运动。我们假设沿河增加了两种污染源：均匀和指数增长项。利用拉普拉斯变换得到了非定常状态的解析解，并利用有限差分技术进行了数值求解。用相对误差值比较解。在解析解和数值解之间，结果是可以接受的。改变沿河污染物增加率的数值( )和指数污染源项的任意常数( )来解释浓度增加的行为。结果表明，随着浓度的增大，其浓度逐渐增大和，指数增长的污染源是一个适合的模型沿河流的增量污染行为。结果以图形化的方式呈现和讨论。这一工作可应用于其他物理情况所描述的平流-弥散现象所受的影响，这些增加的源浓度。

1.简介

区域水资源的主要问题之一是水污染。这个问题的根源在于社区的扩大，工业工厂的增加，以及农业农场的增加。河流将水和营养输送到周围的地区，这就是为什么受污染的水对人类健康产生影响，并成为全球疾病的主要原因。污染源是指未经处理的点源污染物和非点源污染物。点源污染是指污染物从一个离散的位置或点排放到河流，如工业或住宅废水。衡量水体污染量的指标是生化需氧量(BOD)。在本研究中，假设污染物主要是生化废物，并使用来自泰国一条特殊河流的参数，如Pimpunchat et al. (2007) [1,2]。

在泰国，塔钦河是该国污染最严重的河流之一。它有一个不断扩大的生化需氧量。农业显然是影响沿河BOD浓度的最重要的BOD负荷来源，其次是水产养殖、养猪场、水稻种植和农工业。以往关于大庆河水质的研究发现，大庆河下游水质恶化，几个主要参数均超过了国家地表水水质标准和分类限值。主要水质问题为溶解氧含量低、氨氮含量高、粪便大肠菌群数量多、浊度高、有机质含量高。河流水质的恶化影响了泰国湾的水质和自然资源。(3.- - - - - -5]。数字1显示了2011年至2018年第三季度（4月至6月）对BOD的监测；它是根据区域环境办公室5开发的移动应用程序获得的原始数据绘制的[6]。It indicates that BOD concentrations repeatedly exceeded the Class 4 BOD standards (2-4 mg/L) throughout the river [7,8]。了解污染的运动是控制和预测河流水质有用。用于在水质（例如，BOD）污染物改变传输的评估中，对流 - 扩散方程（ADE）是常用的。ADE是从在河流施加到质量体积单元的质量平衡的偏微分方程（PDE）。该解决方案包括两个解析解和数值解，基于所述模型的并发症。拉普拉斯变换技术已广泛应用于发展到ADE分析解决方案。其中ADE已在分析被用于之前的作品包括M.Th.求算Van Genuchten和W.J.阿尔维斯（1982年），谁在各种条件[呈现一维对流弥散溶质运移方程的解析解9];Kumar等人(2010)利用拉普拉斯变换技术获得了一维半无限多孔介质中与时间和空间相关的溶质弥散的解析解[10]；S.Savovic'和A.Djordjevich（2012），用有限差分法描述了半无限介质中变系数一维对流扩散偏微分方程的数值解[11];Pimpunchat等人研究了河流污染的数学模型，提出了一个简单的模型，并提供了一些稳态水流的解析解[1,2]。

在这项研究中，目标是通过考虑在一个维度，其包括衰减并增加来源方面对流 - 扩散方程提出的污染物浓度的非稳定状态的解决方案。增加来源是假定污染物除了沿河的速度进行分析：在两种情况下，一致增长和指数增长形式。我们近似任意常数：指数增长的污染源术语，用于预测浓度运动的行为。利用拉普拉斯变换方法得到解析解，并与显式有限差分方法得到的数值解进行相对误差比较。

2。材料和方法

2.1。的控制方程

采用一维单空间模型模拟河流的非定常流动描述从源头到下游的距离。数量，如污染物或氧气浓度，只允许沿河流长度变化，并被视为均质跨河流截面。这一假设符合多宾标准[12]。我们用一个单一的量来测量水污染;污染物的浓度 (公斤米³)被认为随时间而变化(天)。这与Pimpunchat等人提出的水污染方程2.1的形式相同。[2]. 浓度随位置的变化率和时间表示为 在哪里是Heaviside函数 这个等式是标准和Chapra被开发[13]。我们认为，其中的污染物在废物的形式被喷射的河流。据推测，这些污染物使用溶解氧 关于各种生物化学和生物降解过程。污染物排放到河流是在恒定的速率 , 是河流的横截面积，污染物在水中的扩散系数是多少方向,是在水流速方向,是污染物的降解率系数。为了方便起见，所有参数，例如 , , , ,和 ,保持时间和空间上的恒定值。分析被认为是可以忽略不计的情况 ,在两种情况下，污染源都在增加 而成倍增加污染源 ,用方程式表示(3.)和(4）， 分别 在哪里是指数污染源项的任意常数。污染源方程的指数增长形式(4）假定通过时，称为文件发现，他钦河的下游污染比上游，这是由地理引起的，包括来自分支河流到河流各种贡献以及来自猪和水稻种植的增加废水更高[4- - - - - -6]。数字2概述方程式所述污染源的物理系统(3.)和(7)。

让域是所谓最初无溶质，从而，初始条件是

在域的原点边界条件由源浓度均匀增加考虑。在无穷远的浓度梯度被认为是零。然后，用等式（相关联的边界条件3.)在半无限域中如下：； 在哪里为原点处的源浓度。

2.2。分析技术

给定一个函数 为所有人定义 假设是有界的，拉普拉斯变换考虑到as参数可应用于方程(8)[14,15]; 在哪里称为变换变量。将拉普拉斯变换应用于方程(3.)和(4)然后，我们得到

方程的初值和边界条件的变换(5),(6)和(7）给出 和

求方程的解(9)和(10)通过使用初始和边界条件。方程式(11),(12)和(13）提供其在拉普拉斯域溶液，其可被写为 在哪里 , ,和 。

2.3。数值方法

在这一节中，我们介绍了数值技术，为了使用显式有限差分技术，使用了时间的前向差分格式和空间的中心导数。因此,方程(3.)和(7)的有限差分形式可以写成 在索引和指离散的步长大小时间步长 ,分别。初始条件（4)和边界条件(5)和(6)的公式(3.)和(7)可以用有限差分形式表示为;

3.结果和讨论

3.1。分析解决方案

方程的解(14)和(15)通过对复变函数方程(16)。

应用位移定理及卷积定理[16，则为污染源均匀增加的解析解 是 以及污染源呈指数增长的解析解 是 在哪里 。

3.2条。稳态解

稳态解由方程(20.)和(21)通过限制 。因此，该州的污染物浓度

下游污染物浓度限值由 因此，给

这个极限与Pimpunchat等人得到的结果相同。[1]。

3.3。解析和数值模拟

通过重新排列方程组获得数值解(16)和(17)；那么，数值解必须满足 在哪里 为均匀增加污染源 污染源呈指数增长。这个和网格必须被选择 以确保稳定。

本研究中使用的参数值与Pimpunchat等人相同。[1]： （米）²一天¹), (m的一天¹), （米）²), (天¹)，和 (公斤米³)。数字3.通过不同的距离步长显示污染物浓度随污染物添加率的变化情况在时间 天。它开始于 来 (公斤米¹一天¹)，左侧的子图显示以方程(20.)，右边显示由式(21)。指数污染源项的任意常数( 天¹)为污染物总加成率沿河减少5% ( ),约。在相同的位置 ,用不同的项加入污染物的结果表明，右边的子图的浓度小于左边的子图的浓度。浓度随时间的增加而明显增大 ; 增加增加。这两种浓度的速率在源污染源附近迅速增加，而在远处缓慢增加。由方程(6，设无穷远处的浓度梯度为零;当距离足够长时，污染物浓度收敛于正常数。浓度不变的距离范围发生在下游;均匀增加污染源的加法比指数增加污染源的加法短。

图中显示了用拉普拉斯变换技术和有限差分技术得到的解析解和数值解的比较4由步长大小 和 。浓度值显示在纵向区域 不同时间的km （蓝线）， (绿线) 分别(红色线)。用公式(25)载于附表1. 相对误差在原点附近较大，然后减小为正值。最大相对误差百分比与解析解和数值解符合得很好；当 小于0。05% ,约。当距离足够长时，浓度值收敛为正常数，使相对误差逐渐减小为正常数。另外，100个网格点的污染物浓度如图所示5. 该图显示了通过表面阴影增加浓度的不同程度。

3.4。容量近似

污染的日负荷取决于新增污染物的术语还有河流的长度 。当然，以防万一浓度增加，如图所示3.。数字6说明污染物浓度的行为( )按变化( )与tc15和tc13水质采样点的观测数据进行比较。之所以选择这些监测站，是因为它们位于河流的中下游，BOD标准值成倍增加(2-4毫克/升)。通过这种方式,以末端浓度模拟延长一倍。在此基础上，利用这些数值对两个站点之间的污染物日负荷进行估算 , ,按均匀增量法计算，日负荷约为2160公斤，但按指数法计算，日负荷小于90%，按表法近似计算2。通过这个模拟，我们可以提供相同的速率以污染源呈指数增长的解析解作为描述沿河增量污染行为的合适模型。

3.5。变量系数

在我们的模型中，运输的介质具有均匀的分散和速度。要申请我们的模型在空间与时间相关系数的情况下，因此可以用变量的系数为蓝本

让 , , 和 (10]。该模型适用于沿均匀流的时间相关弥散。通过这些转换, 或 和 (曲柄(1975));然后,方程(26)简化为我们的模型方程(3.) 在哪里和是常数，在这些常数中，可以使用与本工作相同的拉普拉斯变换技术获得解析解。

此外，该模型还可以应用于非均匀流的空间相关色散 被认为与 而不是与…成比例 。方程中的两项(26)，得到: 和 ,在哪里是无量纲的,是非零实常数占速度和分散由于不均匀性变化[10]。从先前的变换，我们将有另一个空间变量 那么等式（26）简化为

求方程的解析解(27），进一步的研究可以在此工作和先前的工作进行10]。式中截面积的另一种情况(3.)随位置变化 ,我们可以得到想要的公式为 利用拉普拉斯变换技术也可以得到解析解。

四。结束语

通过考虑在1-d对流 - 扩散方程污染物浓度的非稳定状态的解决方案是通过使用拉普拉斯分别变换技术与所述显式有限差分技术，用于分析和数值解，提出。该模型是由均匀增加，并呈指数级增长的形式考虑污染物除了沿河的速度呈现。浓度的趋势是随时间和空间，这是由污染物除了沿河的速度扩大影响 。很明显，下游浓度的极限按指数递增的形式都小于递增的形式以均匀递增的形式，这是新增污染源行为的结果。在现实中，这个模型适用于有污染源随位置变化的河流，如泰国的Tha Chin河和Chao Praya河，其下游的污染源高于下游的污染源。案例河流的污染源将从中心向末端扩散，导致污染物浓度不断增加。任意常数给出并说明了显着的比较指数增长形式的来源的行为。本研究的解决方案可以通过改变的值来预测添加污染物对河流所有来源污染物最大容许负荷的影响和 。这些结果可以应用于许多物理情况下描述的前进-分散现象，并作出决策，以支持规划和管理的河流水质问题。

数据可用性

这项研究的结果来自分析和数值技术。我们没有使用原始数据。

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

第一作者感谢科技曼谷北部Mongkut国王大学对她的研究哲学博士期间的财政支持。最后，作者想表达他们的感谢匿名审稿非常有益的建议和意见而导致原稿的改进。

参考

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