酒精治疗中心对饮酒动力用最优控制的影响的离散数学建模

摘要

在本文中，我们提出了描述饮酒者，即潜在的饮酒者的类之间的相互作用的离散数学模型 ,适度饮酒者 ,重度饮酒者 ,酗酒的穷人 ,酗酒的富人 ,喝酒的戒烟 。我们还专注于治疗网瘾治疗中心，旨在找到最佳战略，尽量减少饮酒者的数量，最大限度地提高重度饮酒者谁参加戒毒的数量中的重要性。我们使用了三个控件代表通过媒体和潜在的饮酒教育，努力鼓励重度饮酒者参加戒毒和心理支持与随访谁戒酒个人宣传方案。我们用庞特里亚金的最大值原理在离散时间表征这些最佳控制。将得到的最优系统利用Matlab数值求解。因此，得到的结果证实了优化策略的表现。

一。介绍

成瘾是一种社会现象，是所有社会都会遭受的心理灾难。它影响到所有社会阶层和所有受教育程度和年龄组不同的人。成瘾有很多类型，如吸烟成瘾、饮食成瘾、糖成瘾、电子游戏成瘾、社交网站成瘾、手机成瘾、睡眠成瘾和酗酒成瘾。在这项工作中，我们将研究酗酒成瘾现象，这是一个已经引起心理学、社会学、精神病学和数学等多个领域研究者和学者关注的问题，试图突出这一现象背后的原因，找出有效的防治方法。

根据世界卫生组织（世卫组织）2016年的报告，酗酒每年导致300多万人死亡，约占全球死亡人数的6%。尽管酒精有致命的危害，但预计未来10年全球酒精消费量仍将增加[1个]。据世界卫生组织2018年健康报告显示，目前全球约有23亿人在饮酒，其中包括2.37亿男性和4600万女性，他们饮酒过度或严重。1个]。在一些地方，喝酒是比较常见的，如在欧洲和来在列表根据同一组织其次是俄罗斯的顶级美洲。酒精诱发的疾病，在富裕国家中存在超过穷人的。在俄罗斯，酒精的年消费一些国家人均它由18.7升，在2005年到2016年这“显着下降”感动到11.7升，可以通过执行来解释逐年减少（在纯乙醇的升计）世界卫生组织推荐等作为服务站的销售酒精饮料的禁止措施。然而，世卫组织在其报告中预计，全球的酒精消费量将上升，在未来的十年中，特别是在东南亚，西太平洋和美洲，而这种增长必将影响世界各地的死亡人数[1个]。

在摩洛哥，根据酒精与健康2018年世界卫生组织全球状况报告，摩洛哥人以下酒精消费的全球趋势。因此，我们注意到，酒的消费量下降从2010年的每个个体1.8升至1.1公升2016年男性和0.2公升2010至0.1公升2016年女性[2个]。

成瘾对饮酒有许多健康和社会后果，包括慢性疾病，胃肠道疾病，胰腺炎和溃疡的风险增加，肝脏严重损伤，大脑和神经系统，混乱的思维和记忆丧失，有害激素性能的损害，增加心脏疾病和中风，家庭问题，工作问题，社会边缘化，贫困，道路交通事故和不良道德[风险1个]。

酒精可以通过一些措施来预防，如控制和限制其销售，增加其成本，以及提供廉价的治疗。由于戒酒期间可能出现的医疗问题，治疗可能会经过几个步骤；因此，必须对饮酒者进行仔细控制，帮助他们停止饮酒。有些药物可以在吸毒者在卫生机构或在其生活在社区内的密切监督下不时地给他/她服用。心理障碍或其他成瘾会使治疗复杂化，因此，戒酒后，在团体治疗或支持小组中使用支持和随访来帮助患者再次戒酒。最常见的支持方式是由精神科医生和酗酒者提供的，他们也通过给予诸如阿卡姆普罗酯、二硫仑或纳曲酮等药物来戒酒。

一些数学研究者将饮酒现象的传播与传染病的传播作了比较。因此，数学家们做了大量的工作来了解饮酒的动态，减少其对饮酒者和社会的危害，并尽量减少上瘾饮酒者的数量。例如，霍和王[三]开发了在狂饮宣传方案效果的非线性数学模型，他们表明，意识方案在减少酒精问题的有效措施。马等人。[4个]将酒精中毒模型化为一种传染病，并用最优控制方法研究了其具有感知程序和时滞的数学模型。Wang等人。[5个]提出并分析非线性酒精中毒模型和使用的最优控制易感个体和被感染的个体之间的相互作用阻碍的目的。霍等人。[6个]提出了一个新的社会流行病模型，通过媒体报道来描述酒精中毒，这被证明是促使人们戒酒的有效途径。霍宋[7个在他们的研究中，把酗酒者分为两类:承认酗酒者和不承认酗酒者，他们提出了一个酗酒问题的两阶段模型，考虑了饮酒者从易感人群向承认饮酒者的转变。Adu等人[八]中使用的非线性数学模型，研究饮用疫情动态;他们把他们的人口分为四类：不喝酒 ,重度饮酒者 ,饮用者接受治疗 ,回收饮酒 。他们讨论了不饮酒和地方性平衡的存在和稳定性。其他数学模型也被广泛用于研究这一现象(例如，[5个,9个–12]）。

此外，以往的研究大多集中在连续时间建模上。在本研究中，我们将采用离散时间模型，在离散时间（日、周、月、年）收集统计数据，并在离散时间内完成部分患者的治疗和疫苗接种。因此，用离散时间模型描述这些现象比连续时间模型更直接、更方便、更准确，而且使用离散时间模型可以避免函数空间的选择、解的正则性等数学复杂性。因此，差分方程似乎是描述流行病模型的一种更自然的方法。此外，微分方程的数值解使用离散化，这鼓励我们直接使用差分方程。离散时间模型的数值探索是相当直接的，因此可以很容易地被非雅典人实现。

除了这些工作，我们将研究一个数学酒精模型的动力学其中包括以下补充:（一世）离散时间数学建模（ⅱ）一个隔间代表穷人酗酒者谁参加公网瘾治疗中心，这可买不起精良的设备和优质的诊疗服务，特别是在发展中国家和这些人没有经济能力去私立机构谁的数（三）一个隔间代表丰富的酗酒者谁加入有特殊设施，提供先进的治疗和个人谁拥有足够的经济能力参加这些中心私人成瘾治疗中心的数量（四）酗酒引起的死亡率δ

该模型的饮酒者类别分为六个部分：潜在饮酒者 ,适度饮酒者 ,重度饮酒者 ,丰富的酗酒者谁参加私人戒毒 ,加入公共戒毒中心的酗酒者 ,喝酒的戒烟 。在本研究中，我们力求找到最佳战略，尽量减少饮酒者的数量，最大限度地提高富人与穷人酗酒者谁加盟网瘾治疗中心的数量。

为了达到这一目的，我们使用与三种控制相关联的最佳控制策略：第一种是针对潜在饮酒者的意识计划，第二种是鼓励富人去私人治疗中心，而穷人则去公共治疗中心，三是对暂时戒酒者的随访和心理支持。

本文的结构如下。中科三，我们提出我们描述饮酒的类离散数学模型。在第4个和5个给出了该模型的最优控制问题，给出了最优控制存在性的一些结果，并在离散时间内利用庞特里亚金极大值原理刻画了这些最优控制。数值模拟在章节中给出6个. 最后，我们对论文进行了部分总结6个。

2.模型公式

我们提出一个离散模型形容人口的动态和饮酒的传递。人口分为记6节车厢第页, ,和问。

所提出的模型的图形表示显示在图1个。

该模型的数学表示由非线性差分方程的系统的： 哪里 ,和 。

车厢第页包含谁代表个人，其年龄在青春期和成年期，并可能成为饮酒者的饮酒者的潜力。该舱增加记招聘率乙并通过与适量饮酒者的有效接触而减少出生率和自然死亡μ。据推测，潜在的饮酒者可以通过在婚礼、毕业典礼、周末聚会和年终庆祝等社交场合与适度饮酒者进行有效接触，从而获得饮酒行为，成为适度饮酒者。换句话说，假定获得饮酒行为类似于获得疾病感染。

车厢米由适度饮酒者组成，他们在某些活动和场合中以一种受控制的方式饮酒，或以一种对他们的社会环境不明显的方式饮酒。潜在的饮酒者转变为适度饮酒者会增加饮酒量率和那些谁的速度暂时戒网瘾酒精 。当适度饮酒者成为以一定的速率重度饮酒者该舱下降以及自然死亡率 。

车厢小时包括酗酒的人。随着大量饮酒者数量的增加，这个隔间变得更大当他们中的一些人以一定的速度戒酒时，这种情况就会减少并通过率也降低(是速度酗酒者加入私营医疗中心），并通过率也降低(是速度酗酒者参加公共治疗中心）。此外，该舱由自然死亡降低μ由于过量饮酒导致疾病致死 。

车厢代表重度饮酒者谁加入酒精成瘾的公共处理中心，这可不能提供先进的处理和由设备和低质量短缺标记服务，特别是在发展中国家的一些国家，而且它也包含谁没有个人财政能力来加入私人中心。该舱增加的速度并以谁已经在公共治疗中心接受治疗，其代表个人以及自然死亡率μ。

车厢包含了大量的酗酒者，他们利用他们的经济潜力加入私人戒酒中心，这些中心往往设备齐全，提供优质服务。这个隔间按比例增加并以它代表了在私人治疗中心接受治疗的个人，也代表了自然死亡率μ。

车厢问包括谁退出临时和永久饮酒的个人。它与谁已在酒精成瘾治疗中心在利率受到的待遇招募个人增加和 。这也增加了在速度那些不去治疗中心戒酒的人，由于自然死亡和死亡率的降低θ（代表谁退出临时饮水饮水器和恢复到适度饮酒）。我们注意到，是喝的临时戒烟谁在时间步长移动到适度饮酒的比例千。

总人口规模在时间千表示为与 ,它应该是恒定的。

3.最优控制问题

所提出的控制策略的目的是最大限度地减少重度饮酒者的数量并最大限度地丰富酗酒者的数量还有酗酒的穷人 ,谁加入酒精成瘾的私人或公共治疗中心，和饮酒的永久戒烟者的数量在那段时间步骤社区至 。在意识计划中花费的成本也要最小化。

为了实现这些目标，我们引入了三个控制变量。第一个控制代表了宣传方案的努力，以保护潜在的饮酒者不要被饮酒。第二控制措施提出，使重度饮酒知道酒精成瘾的私人和公共处理中心，并鼓励他们参加这些中心的努力。我们注意到，控制功能代表谁将会在私人戒毒中心和部分待处理的重度饮酒者的比例那些留下重度饮酒类谁将会在公众网瘾治疗中心接受治疗。第三控制表示对暂时戒酒者的后续努力和心理支持，以保护他们不重返饮酒的状态。

因此，受控数学系统由以下差分方程组给出： 哪里 ,和 。

最小化目标函数的最优控制问题由 其中参数 ;和分别选择意识项目成本、激励项目成本、随访成本和心理支持成本的相对重要性进行权衡。

目的是找到最优控制， ,和 - ， -这样 哪里是一组由下式定义受理控制

的充分条件为最佳控制的存在 对于问题（2个)以及(三)来自以下定理。

定理1。存在最优控制 这样 受制于控制系统(2个）用初始条件。

证明。由于状态方程的系数是有界的和有时间步有限数， , , , , ,和 是一致有界的所有 对照组 ;因此 是有界的 。以来 为界， 是有限的，并且存在一个序列 这样 和相应的状态序列 ,和 。因为有有限个一致有界序列，所以存在 和和使得在一个子序列， , , , , ,和 。最后，由于系统的有限维结构(2个）和目标函数 , 是具有相应状态的最优控制 ,和因此 已完成。

4.表征的最优控制

我们应用的庞特里亚金的最大值原理离散形式[13–18]. 其核心思想是引入伴随函数，将差分方程组附加到目标函数上，从而形成一个称为哈密顿函数的函数。该原理将目标函数的寻优问题转化为具有初始条件的状态差分方程的寻优问题，从而使目标函数逐点寻优（相对于控制）。

现在我们有汉密尔顿函数在时间步长千，由定义 哪里是差分方程组的右边(2个)的时间步进状态变量 。

定理2。给定一个最优控制 和解决方案 , , , , 和对应的状态系统的[13]，存在伴随的功能 , , , , ,和满足下列公式： 相对于在时间横截性条件T型: 此外,为 ,我们得到最优控制 作为

证明。哈密顿量在时间步长千是（谁）给的 为 ,伴随方程和横截条件可以通过使用庞特里亚金的最大的原则，在离散时间来获得，在[给定13–18]使得 为 ,最优控制 , ,和可以从最优的条件来解决 因此，我们有 通过在边界在控件中，很容易获得 , ,和在形式（10）。■

5.数值模拟

在本节中，我们将用数值方法来解决我们的最优控制问题模型。在这里，我们得到从国家和伴随方程最优系统。所提出的最优控制策略是通过求解包括六个差分方程和边界条件的最佳的系统获得的。最优系统可以通过使用迭代方法来解决。使用初始猜测为控制变量， , ,和 ,状态变量， ,和问，解决了向前和伴随变量为是否在时间步上向后求解和 。如果状态和伴随变量的新值与以前的值不同，则使用新值进行更新 , ,和 ,重复这个过程直到系统收敛。

模型的数值解（1个）被利用Matlab用表的状态变量的以下参数值和初始值来执行1个。

我们首先介绍模型的解演化(1个）而没有在图表示对照2个。

数字2(一个)显示适度饮酒的人数在开始时增加，但随后明显减少。这一减少导致从一开始就增加了大量饮酒者的数量，并且接近了我们在图中看到的462.30的给定值2 (b)。最后，图2 (c)和图2 (d)和图2（e）表明贫富酗酒者对酒精成瘾治疗加盟私人和公共中心和减少饮酒的戒烟者的数量和方法一定不能接受的价值观。

为了显示酒精治疗中心对人口饮用动力学的影响，我们提出有关参数的影响，一些数字 , , ,和上系统（1个）。

数字图2（f）研究表明，当加入戒毒所的酗酒者人数减少时，酗酒者的人数就会增加。同样，我们在图中观察到2（G）当加入戒毒所的酗酒者人数增加时，戒酒者的人数也会增加。

从这两个图，网瘾治疗中心的重要性在降低重度饮酒者的数量，从而增加了饮酒的戒烟者的数量明显的。因此，我们需要作出努力，引进这些中心的人，并鼓励重度饮酒者加入他们的行列，这是通过以下的目标显示。

5.1条。第一个目标：保护和防止潜在的饮酒者陷入酒精成瘾

为了实现这一目标，我们只适用于控制 ,即，意识，信息和潜在的饮酒教育课程，使他们知道这种现象的风险和所产生的健康和社会的损害的落实。数字3(一个)显示适度饮酒的人数从231.16人减少（没有控制 )到124.59(有控制) )在拟议的计划的结束和酗酒者的数量从462.29减小（无控制 )到249.02（与对照 )在所提出的控制策略的端部（参见图图3（b）). 另外，我们在图中观察到图3（c）那是谁戒酒增加，达到值429.78人数（与控制 )情况比较时，有没有控制，5.68，在该策略的结束。因此，我们的目的已经达到。

5.2条。第二个目标：增加酗酒者加入戒酒中心的人数

为了实现这一目标，我们只使用控制 ,i、 鼓励酗酒者了解并加入公共和私人治疗中心。在数字中图4（a）可以观察到，有在重度饮酒者与对照相比的情况下的数量的减少显著当没有控制的降低达到，其中在该控制策略的结束。数字图4（b）结果显示，加入公共治疗中心的贫穷酗酒者人数从6.91 (无控制 )以59.70（有控制权 )而加入私人治疗中心的富裕的酗酒者从7.06人（没有控制）增加了到233.72（与对照 )在所提出的控制结束时（参见图图4（c））和图图4（d）表明，谁戒烟戒酒不控制人数减小并趋近于的值 。5天之后，略有增加似乎与控制 。这种增长是不够的作为谁戒酒变成适度饮酒者的人数。为了改善这种结果，我们可以添加一个表示后续饮用的临时戒烟另一个控制。

5.3。第三个目标:鼓励酗酒者加入酒精成瘾治疗中心，并对戒酒者进行跟踪调查

为了达到这个目的，我们使用控件和 ,即鼓励酗酒者了解和参与公共和私营医疗中心和跟进饮酒的临时戒烟。谁在该策略的端点连接公共治疗中心从增加6.91（不控制），以32.17（与对照）贫困重度饮酒者的数量（见图图5（c））。数字5个（d）表明，丰富的酗酒者谁参加在该策略的最终从7.06私营医疗中心增加（无控制），以125.92（与对照）的数量。饮用图的戒烟者的数量5个（e）由5.68显著增加（无控制）到430.11（与对照）。通过使用这些控件，上述目标已经实现。

5.4。第四个目标：预防，治疗和随访的沉迷个人

为了实现这一目标，我们使用的控件 , ,和 ,即。,awareness programs for the potential drinkers, encouraging heavy drinkers to know and join public and private treatment centers, and follow-up for the quitters of drinking. Figure图6（a）可见，适度饮酒者的数量减少，从成立之初通过启动 。另外，图图6（b）结果表明，重度饮酒者的数量从早期开始增加，但随后从462.29人（无对照组）减少到65.81人（有对照组）。加入私人和公共治疗中心的富人和穷人的酗酒人数增加了和2.98 ,分别（见图图6（c）和图6（d））。数字6（e）中清楚地示出了在饮用的戒烟的数量从5.68到550.63的增加（无控制）（与对照）。其结果是，设定的目标之前已经实现。

我们注意到贫富重度饮酒者的数量（和 )当我们应用三种控制时减少 相比仅使用控制 。这种减少是由于控制的积极作用在车厢第页和控制上（临时戒烟），其防止饮用的临时戒烟返回到饮用。所以，即进入车厢的个体数，和 ,减少。因此，应用三个控件的组合比一个控件更有效。

六，结论

在这篇研究论文中，我们引入了一个关于饮酒的离散模型，目的是最小化饮酒者的数量，并最大化加入私人和公共酒精成瘾治疗中心的富人和穷人的数量，然后是戒酒者的数量。与之前的一些模型不同，我们考虑了私人和公共成瘾治疗中心对酗酒者的影响。结果表明，这些中心对酒精中毒的动态有实质性的影响，并能极大地影响饮酒的传播。因此，敦促人们了解并加入私人和公共戒毒中心戒酒是至关重要的。我们也提出了三个控制，分别代表意识计划，鼓励和跟进。我们应用控制理论的结果，并设法获得最优控制的特征。数值仿真结果表明了所提控制策略的有效性。

数据可用性

支持本研究结果的学科数据已存入网络资料库(http://networkrepository.com/profile.php）。

利益冲突

作者宣称，有兴趣就本文发表任何冲突。

参考

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