抽象性

本文关注基尔霍夫类型变异化最优控制问题Kirchhoff类型变异性解决方案的存在通过使用非线性分析技巧和变异法而确定,并产生基尔choff类型变异性优化控制问题的最佳控制结果

开工导 言

等一等 受界域 平滑边界 , 非空绑定空间分集 , 正确和凸函数

等一等 赋有规范 ,并让 并 .目标函数 定义由

本文将讨论由状态变换不平等支配的下列最优控制问题: 去哪儿 求解集基尔霍夫变异式不等性 ,查找 状态函数系统) 去哪儿 , , , 并 满足性 h连续开 ; 并存 中位数 面向所有 ; 并存 中位数 .

典型例子h华府市 .接下去h满足度 , 和变异不平等4化为Kirchhoff类型常用变异性不等性: ,查找 中位数

Kirchhoff Dirichlet问题先由Kirchhoff提出,先考虑微分方程描述跨向振动生成的字符串长度变化关于Kirchhoff类型问题物理和数学背景的更多细节,请读者阅读论文一号-3......................................通过变换方法,过去10年已经为Kirchhoff类型问题确定了多种解决办法,许多有趣的结果,例如见[一号-7......................................

变异不平等研究像4带) 相关最优控制问题由Lions提出8-10多作者从不同方面对本专题进行了广泛的研究(参参参[11-23号))最重要的方法之一是通过方程近似变异性单调运算符(在此例中,Lipschitz函数的子取法)用Moreau-Yosida近似技术用可变单值映射法接近这种方法主要归结于Barbu11引出数位生存结果并生成一阶优化系统路路12常态阻塞控制问题 变异不平等与拉普特运算符相关路路13考虑控制问题的存在和规律性 由准线性椭圆变异不平等贝古尼乌斯和伦哈特15研究阻塞优化控制半线性或双边阻塞问题Chen等[21号研究半线性椭圆变异最优控制问题Ye和Chen16研究最优控制问题的存在和必要条件 准线性椭圆屏障变异不平等周等[17建立最优控制受抽象变异不平等支配的问题并获得最优控制受半线性椭圆变异不平等约束的问题并设置阻塞使用非线性拉格朗江方法[18号研究最优控制问题 系统状态定义单调式映射Khan和Sama19号获取最优控制 多值伪名词地图准变式不平等Chen等[20码研究半线性椭圆变异分布源词最优控制问题,建立存取结果并推导优化系统解决最优控制问题中22号migorski等由运算符提供隐式阻塞问题反辨物参数公元前Laplac型中23号Khan等反向识别变量参数问题变异和准变异不平等

本文的目的是调查受Kirchhoff类型不平等支配的最佳控制问题4即问题 中案例 .本案比较复杂 自所谓的非局部术语 涉及变异不平等最优控制问题研究 受Kirchhoff类型控制初衷是确定不平等问题解决方案的存在和多重性4使用非线性分析技巧和变异法后来,作为一种应用,我们获取 解决方案的存在 最优控制问题 .

论文结构如下段内2包含一些基本定义 和初步事实内段3显示至少有两种方法解决基尔霍夫变异式不平等问题4时点适配 ,并τ满意度内段4应用所得结果研究状态变换不平等所支配的最佳控制问题4并获取问题解决方案 .

二叉初步性

等一等X级Banach空间 双轨制下定义和定理可见于,例如,[24码,25码..

定义一等一等X级成为Banach空间 持续可变功能化 公义化 )松散和下半连续函数函数化 Szulkin类型函数 表示满足宫-Smale条件 .条件短),如果每个序列 带 边界并存序列 ,中位数 内含集合子序列X级.

定义2等一等 Szulkin型功能一分 传说中临界点 if 传值C级关键点 表示关键值一即 .

定理一等一等 szulkin型函数下接if一满足 条件对 ,并发C级关键值

定理2等一等 Szulkin型函数假设(1) 面向所有 偏偏 ,并 (2)有 带 并 if I read the 条件,然后我有一个临界点 带临界值 中位数 去哪儿

等一等 函数化表示对象

假设上f级即:

可测量X级面向每一个 并持续插进t级a.e. ;

一致性几乎全部 ,去哪儿

存在常量 和函数 中位数 一致性几乎全部 ;

并存 , 并 中位数 去哪儿 正常量 .

等一等 满足条件 .表示对象

等一等 , ,并让我们介绍欧拉函数 与Kirchhoff类型变异不平等问题对应4)as

等一等 定义由一号)我们定义指标函数集 通过

记事本

很明显 szulkin型函数

注释1面向任 ,if ,并发h满足度 ,并 变差不平等性4)将变成经典Kirchhoff类型变异不平等:查找 中位数

3级Kirchhoff-Type不平等多重解决方案

同往常一样,我们表示 " 并 由强弱空间聚合 .

提案一等一等 非空绑定空间分集 .if 满足度 , 满足条件 ,并 弱连续映射接二连三关键点 联想 解决之道4)中 并 定义由16)和(b)18号),并二选一

证明很容易看到 并控 , if 关键点 ,自定义2获取 取自17),21号), and (22号)该 并4holds.

提议2等一等 非空接合闭合子集 .if 满足度 , 满足条件 ,并 弱连续映射 绑定集接下去 强制感 原封 并受下界约束 ,去哪儿 定义由一号和) 定义化18号)

证明通过 ,Hölder不平等性 去哪儿 并 正常量
自 受界化,并存 ,中位数 正因如此 去哪儿 正常量
通过 ,有 等一等 .by16),18号),23号), and (25码),我们有 表示 取自26),我们获取 强制化 受下界约束 .证明完全

3号提案所有条件都进提案2满足接下去 满足 条件定义一号.

证明等一等 中位数 受界化并存 带 并 发件人17),可以指出很容易获取 .通过建议2, 强制化后 界定 .Sobolev嵌入定理时 假设进子序列 自 .
原位 微闭 .设置 内28码并组合21号),我们有 正因如此 由Hölder不平等和条件 ,For , 注意 原型 ) 界定 并h满足度 ;by29)–(32码),我们有 正因如此 内 .

定理3等一等 非空绑定空间分集 .if 满足度 , 满足条件 ,并 弱连续映射 绑定集并存 ,等为每一类 ,Kirchhoff类型变异不平等4)有两种解决办法 ,满足 .

证明注意条件 并 ,有 表示出 去哪儿 上标 .让我们定义 去哪儿 上标 .接下去 去哪儿 体积单元范围 ,并 定义内 .正因如此 正常量源码37号)下下文假设 .故此调用25码和条件 , 去哪儿 正常量
通过 并32码)和(b)36号)我们有 去哪儿 定义内 .注意 ,取自16),18号),38号), and (三十九)该 by35码),我们获取 正因如此 故此存在 ,中位数 通过建议2函数 受下界约束通过建议3函数 满足 条件详解正因如此 部分实现全球最小值 受定理4.很明显 下一步,我们将证明第二个临界点的存在 山传递定理2)
通过条件 任选 ,并存 ,中位数 取自 面向所有 , 发件人45码)和(b)46号),我们获取所有 和a.e. , 通过条件 并 ,获取 并存正常量 即为全体 , by47)和(b)49号Hölder不平等和Sobolev嵌入定理 并 ,有 去哪儿 正常量
记事本 等一等 并 .注意 .取自50码)该 很明显 并 通过建议3和定理2中,有临界点 联想 我们注意到 不可小题大作 通过建议一号,我们得出结论 并 Kirchhoff类型变异不平等的两个解决方案4)取自44号)和(b)54号)该 .证明完全

by定理3...

定理4.等一等 非空绑定空间分集 .if 满足度 并 , 弱连续映射 绑定集并存 ,等为每一类 ,Kirchhoff类型变异不平等20码)有两种解决办法 ,满足 .

4级优化控制由Kirchhoff-Type变异式不等

本节关注对最优控制问题存在最优控制结果 .

莱马一号假设 满足度
可测量X级面向每一个 并持续插进t级a.e. ;
存在正常量 中位数 去哪儿 .

后函数化 定义由 连续性

证明等一等 顺序插进 ,中位数 原封 .自 满足条件 并 ,运算符 发自 至 连续性因此,我们有 原封 .证明完全

emma2假设 华府市 并几乎全部 , 直通方位 ,并存正常量 中位数 去哪儿 .后函数化 定义由 微低半连续性

证明等一等 顺序插进 ,中位数 原封 .自 华府市 并满足条件 并 , gaea 并 双空间 )注意对 , 即凸形并发 原位 ,从上文提到的不平等中取取限制 证明完全

定理5等一等 非空绑定空间分集 .假设这一点 满足条件 , 满足条件 , 满足度 , 弱连续映射 系界集 并 满足Lemma所有条件一号和Lemma2..并存 ,等为每一类 ,存在最优控件 优化控制问题 .

证明发自定理3中存在 ,等为每一类 , ,去哪儿 求解变量不平等集4)
等一等 高山市 )最小化问题序列 中位数 何地成本函数 定义由2)
原位 ,有 我们称 受界化实战 受界化, 受界化等一等 内63号)获取 去哪儿 正常量原位 并h满足度 , 受界化
自 并 反射空间, 并发子序列 .免失泛性,我们可以假设 原封 .正因如此 内 并 内 原封 .自 并 弱闭合集 并 .let 内63号)获取 自f级满足条件 并τ受界化, 接者发自65码)和(b)66号),我们有 自 受界并h满足度 , 注意 内 原封 ,并有 by68号)和(b)69),我们得到 正因如此 内 原封 .by63号),我们有 也就是说 .记事本 自 内 原封 并嵌入 连续紧凑 ) 内 原封 .由Lemma一号和Lemma2, 连续并 微低半连续性正因如此 也就是说 最优控制问题 .证明完全

定理6.等一等 非空绑定空间分集 .假设这一点h满足条件 ,f级满足条件 ,并 弱连续映射 绑定集等一等 , ,并 ,用于某些常量 并 ,去哪儿 .并存 ,等为每一类 ,存在最优控件 优化控制问题 .

证明第一,我们声称 微低半连续性事实上 弱低半连续规范 微低半连续性
等一等 .接下去 内 并 内 .自 ,自Sobolev嵌入定理 紧凑嵌入式正因如此 内 并 内 .自 微低半连续性 微低半连续性和定理中提供的其他证据相似5,我们得到了我们的结论

数据可用性

未使用数据支持此项研究

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突

感知感知

作者感谢裁判对改善论文的宝贵评论研究得到了中国自然科学基金会的支持(1171319和119713399)。