框架不兼容混合有限元素法

抽象性

本文建议为平行管道上不兼容混合有限元素提供新补丁条件,并提供一个框架实现汇合并引入新家庭不兼容MFE空间满足新补丁条件数值实验显示新MFE显示最优顺序融合 并 -不等系数案例各种问题规范

开工导 言

有限元素法在许多领域取得了巨大成功,并已成为解决偏差方程的强工具一号-3..有限元素法的主要思想是使用有限维空间根据某种变异原理近似给定空间精确解法有限分解法可基本区分相容方法和非相容方法当有限元素空间为求解空间子空间时,方法被称为适配在本案中,真求法和有限元素法之间的误差受FEM空间与Cealema给定空间之间的距离所约束同时,不兼容有限元素空间不包含在精确求解使用空间中故需估计异常性造成的额外错误

在有些情况下初级变量有限元素方法不产生令人满意的结果,例如扩展系数大跳转的椭圆问题有时,其他量如达西速度和多孔介质流压成为主要兴趣变量在这种情况下,偏爱混合有限元素法(MFEM)。自1970年代后期首次推荐以来开发了许多混合有限元素法4-6..混合法思想是将速度引入新变量并改变给定方程成方程系统通过离散系统,我们可以同时计算两个变量,速度和压力并期望更精确速度MFEM多次应用,如多孔媒体问题7,8和化学工程九九..

不符合同方法已广泛研究拉格朗江有限元素迄今所有已知混合有限分量空间都与空间包含于 ,定义为矢量函数空间 .自然会问是否有与MFE空间不兼容的对应方hiptmair10调查不符合MFE空间条件但是,在条件建议中,它们只显示次优趋同高阶不兼容MFE空间家庭11数位示例显示最优求和排序但没有分析

本文建议新条件,不兼容MFEM可实现最优趋同并引入另一组不兼容MFE空间满足此条件作者最知道,有最优顺序的不一致性元素未由其他人推荐

论文组织如下:下一节介绍模型问题内段3,我们引入不兼容混合有限元素空间 并加新补丁条件框架趋同解析解析4.内分数实验5.

二叉模型问题

给定 ,简单连通Lipschitz多行域与连通边界 ,二阶椭圆问题 去哪儿 假设一致确定并受约束并 函数自定义 .写分方程混合系统 我们使用达西定律 .并重写问题一号混合形式如下:

表示出 并 常用Sorbolev空间显性规范之后,我们有以下变式表2:查找 中位数

方便介绍,让我们

接应点问题3)和(b)4可简单表达如下: 中位数 去哪儿 表示内产品 .i-sup条件持有时问题6i)有独特求解12..

3级不兼容混合有限空间

MFEM的主要思想是解决问题6过本地定义有限维空间它们的构造依赖三角 联想 .等一等 并 分治大全 并发式 由单侧长度划分获取 .

建构不兼容MFE空间 ,需要

即空间函数 本地化 内非 过三角 .正常构件跨内分界缺乏连续性,产生不一致性近似值但仍需要本地达标

面向任何域 内 或 ,let 空间全度多元 并 或 多位度空间小于或等于 ,分别在变量中

3.1.补丁条件

第一,我们回想出已知的批量条件类型: 相邻两个元素的共同面 并 . 去哪儿 外单元正常向量hiptmair使用此条件并假设连续插值并显示次优误差估计10..并不足以保证持续插值的存在,而持续插值是求近似值所必须的带假说H级保有 不足以判定整个域的持续插值 .事实中,如果存在插值,则(H级容留 ,表示空间一致性 .因此,研究不兼容MFE时,我们需要强补丁条件,但不够强,无法实现 空间完全兼容

推荐新补丁条件H级2:面向所有垂直面孔 并全部 ,有

面向横向表情 并全部 ,有

表示上端时间顺序 离散速度连续跨横向间界 ,跨垂直间界时段持续达 唯一

现在,我们介绍一个新的不兼容MFE表示对象 数列集 除有表单者 For .

定义一等一等 子空间 中位元素 并 由单元替换 .
我们注意到该元素相似[11,但DOF数逐项减少2
接二维 华府市 .面向 ,有 ,去哪儿 内存33个未知数,比RTN空间少3个5中文本不变一号)
定义自由度需要辅助空间等一等 子空间由元素类型组成 : 中位元素 并 由单元替换 .
面向任 ,自由度面向 带单元正常 并置内 详解如下: 数条件 .开始分析元素 显示元素不可解

定理一矢量函数 单由自由度确定14)–(17)

证明我们首先注意到维度 华府市 ,这也是自由度数因此,只要证明如果所有条件为零,便足够 .自 垂直脸部,15)隐含 面向垂直脸部之后,我们有 选择 内17显示 .正因如此 .
现在考虑 .我们注意到 偏偏 并 .自由度16)隐含 发件人14),我们证明 ,和我们做

定义2标量变量定义 维度 华府市 .同时,我们知道 自 ,无法保证双线性表单 并 make逻辑函数 .定义大空间扩展 .等一等 设备化 带规范扩展 : 面向 ,设备化 -规范化现在,我们有MFE问题对应6:查找 中位数 很容易显示双线性表单 并 满足下列估计 偏向正常量 并 .
给定典型盒元素 ,边界 由六块平面组成,我们辨别成二类:横向平面 垂直平面 .我们定义插值运算符 通过 之后,我们有下列emma

莱马一号if 插值 ,那时我们有

证明第一,让我们 .之后,我们知道 面向水平脸 并 垂直脸部 .同时,我们也看到 自 并 ,通过定义 和那 并使用29)–(31号),我们有 等一等 运算符 至 定义由 ,面向所有 并 .类似定义 通过 面向所有 并 .
验证离散问题稳定性25码),我们放 通过定义和事实 ,我们看到 ,通向下列母

emma2有 偏向正常量 独立 .
由Lemma一号下注条件可用标准技术显示12..

莱马3有

定理2问题(25码)有一个独特的解决办法

证明后结果摘自Lemmas2并3和Babu Ka-Brezzi理论

4级错误估计

证明方法趋同 我们需要估计近似误差 一致性误差自 并 多元度 ,很容易获取下近似误序 :

证明一致性错误比较难延后处理

获取误差估计时,我们需要以下定理基本写入10,但我们包括它完整性

定理3等一等 位解法6和) 离散解析法25码)获取下列误差估计

证明专断性 ,任由 e 接下去 满足度 正因如此 ,并有以下从强制性不等性(Lemma)2)的) 上 并25码: 任选 .我们知道双线性表单都受约束从中获取 正因如此 发件人35码)和(b)38号),我们也有 by42号)和(b)43号),我们有以下估计 使用第一个方程25码),我们知道 接下去 发件人35码)获取 加入估计数44号)和(b)47)获取 去哪儿 常量只依赖 ,并 .
现时,我们陈述一致性错误假设 证明误差估计

定理4.假设下列规律性持有:解决办法 数组6)满足 , ,并存常量 中位数 if(A.1)满足后,下列估计持有量

证明直接从定理3假设(A1)和36号)
现在,我们证明(A1)案例 .案例 左开

证明(A.1)通过分片集成我们看到 等一等 连续插值 中位数 并 .依补丁条件H级2(a)H级2(b)) 受Cauchy-Schwarz不平等和插值属性约束 类似地,我们可以绑定 原封 并发不平等54号)和(b)55号),我们有 通过划分 并取自子宫 ,获取

5级数值结果

本节使用新元素报告数值实验的一些结果 .我们表示,期望与相关定理最优汇合率4华府市 时间 并 .问题解决2单元立方体 .数值实验按划一三角法执行 受大小立方体 , .我们考虑两个例子 系数 交叉界面不连续在每个例子中,压力变量(单速度)归并 相形之下 )每一分区报告 -压力变量错误 -错误速度变量表一号并2.我们看到,我们为两个例子求得最优汇合

实例1我们选择 For 并 For .函数 选择精确解法上报 -压力变量错误 div-error速度变量表一号.我们看到两个变量最优趋同

实例2分治 八进制 , 并 图解2)来 四个底层区域 并 四大区域 .
系数 由提供 并 ,去哪儿 并 .表格报错2.重现两个变量最优趋同

6级结论

MFEMs解析椭圆方程得到积极研究,因为近似达西速度与近似移位变量一样重要迄今提议的MFEMM大都基于一致性方法,即所有向量函数空间都包含在 .反之,不一致性方法MFEMs很少研究本文建议一个新的补丁条件,即不符合同MFEM最优并发并发并发框架并引入新组不兼容MFE空间 满足此条件并提供数值实验支持分析

数据可用性

数据集生成和/或分析当前研究期间可应合理请求从相关作者处获取

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突

感知感知

第一作者得到昆山国立大学研究基金支持第二位作者得到了韩国国家研究基金会2017R1C1B5017646资助的教育部赠款支持当前工作在很大程度上归功于Profe做点什么 Do.Y.康市