文摘

本文分析近似的传热传质特征二维时间流威廉姆森纳米流体的渗透延伸板嵌入在多孔介质提出了考虑磁场的影响,热辐射和化学反应。执政的偏微分方程以及边界条件减少无量纲形式通过使用合适的相似变换。结果系统的常微分方程和相应的边界条件通过同伦分析方法解决了。研究结果表明,速度,温度,浓度边界层厚度一般减少我们远离表面的拉伸板和威廉姆森参数被发现减慢速度,但提高了温度和浓度资料在地表附近。也发现,磁场强度增加,热辐射,或者化学反应速率加快传质但减慢了边界层传热率。这项研究的结果进行了比较与一些先前发表的作品在某些限制,他们在良好的协议。

1。介绍

边界层流动是指一种流在一个相对狭窄的地区附近的一个固体表面粘度的影响是显著的。边界层流动的理论是由德国科学家普朗特在1904年首次引入。另一方面,磁流体动力学领域(磁流体动力),处理速度之间的交互的导电液体和电磁场在1942年首次引入的瑞典物理学家和电气工程师阿尔芬(1]。1961年,Sakiadis [2)发起的研究在拉伸表面边界层流动,形成二维边界层方程。这些先锋作品后,许多调查人员报告各种有用的研究结果。例如,库马尔(3]使用龙格-库塔四阶方法以及拍摄技巧来分析线性温度分层的影响在稳定的磁流体动力稳定静止的环境流体对流流体的粘性不可压缩导电流体沿着拉伸板传质和磁场效应的存在。此外,Narasu et al。4)免费使用摄动技术获得解析解对流不稳定流体的热扩散和化学反应过去一个垂直多孔板与热源和滑移的影响。

为了提高热系统的热量的传递,崔和Eastmann5]介绍了纳米流体的概念在1995年和实验表明,纳米粒子的嵌入(颗粒直径小于100纳米)等传统的液体水,油,或乙二醇混合物大大增加了液体的导热系数和传热。由此产生的纳米粒子均匀分散和稳定的悬浮流体称为nanofluid基地。由于其改善传热性能,纳米流体工作液使用在许多现代工业的节能活动,节约生产成本的技术设备和先进的拯救生命的医学治疗。因此,一些研究已经进行了研究纳米流体的边界层流动行为。例如,申请等。6)预期的纳米流体的边界层流动过去一张多孔萎缩。易卜拉欣和夏克尔7]报道的数值研究非定常层流边界层流动和传热的粘性不可压缩流体拉伸板。Sekhar et al。8]研究了化学反应的影响不稳定的磁流体动力振动滑流在一个光学薄流体通过刨床通道充满饱和多孔介质的存在与温度有关的热源。海丽和Shankar9]给出的边界层流动nanofluid通过多孔介质受到磁场,热辐射,粘性耗散和化学反应的影响。阿里et al。10]Caputo-Fabrizio时间部分衍生品的概念应用于磁动流体力学广义沃尔特斯的自由对流流- b液体在一个静态垂直板。alumina-water的不稳定的磁流体动力自由对流流和单壁碳nanotube-water纳米流体在一个对称的波浪梯形外壳被工作报告等。11]。另一方面,Sathish Kumar et al。12]研究非线性热辐射的影响不稳定的磁流体动力流平行板之间。Saqib et al。13)使用拉普拉斯变换技术来获得精确解的自然对流流模型在两个垂直混合nanofluid无限平行板。其他最近的研究14- - - - - -16]各种热物理参数的影响边界层流动的纳米颗粒也被报道。

1929年,威廉森(17)注意到,有一些液体流动显示粘性和弹性,现在叫假塑性流体。然后他提出了一个方程,叫做威廉姆森模型,验证实验表现出剪切稀化或假塑性性质。pesudoplastic流体的边界层流动极大的兴趣是由于在挤压等行业中的应用聚合物表,乳液涂表像摄影电影,解决方案,融化的高分子量聚合物等(18]。2013年,纳迪姆et al。19)提出了一个二维边界层方程的建模威廉姆森流体流动的过去的一个线性和指数拉伸板。这些先锋作品后,许多研究人员一直在报告有用的结果威廉姆森纳米流体的边界层流动和传输机制与各种热物理的影响。例如,纳迪姆和侯赛因(20.]分析了威廉姆森纳米流体的流动和传热机制。辐射和化学反应的影响磁流体动力威廉姆森稳定边界层流动的流体通过多孔介质对水平线性拉伸板的纳米颗粒被萨•调查数值et al。21]。他们也研究这些影响威廉姆森nanofluid滑流在拉伸板嵌入在多孔介质(22]。最近,Reddy et al。23]研究了磁流体动力边界层流动与传热传质,威廉姆森nanofluid拉伸板变厚度和可变热导率下的辐射效应。许思义et al。24]分析了威廉姆森纳米流体的边界层流动过去在一张拉伸热辐射效应的存在。Shawky et al。25)还研究了磁流体动力流的传热传质威廉姆森纳米流体通过多孔介质在拉伸板。易卜拉欣和Gamachu26]利用光谱Quasilinearization方法检查非线性对流流威廉姆森nanofluid过去的径向拉伸下表面电场的应用。

然而,最好的作者的知识,没有研究报道时间的解析解威廉姆森纳米流体的边界层流动渗透延伸板嵌入在多孔介质与磁场的影响,热辐射,和化学反应。因此,出于上述的工作,本研究试图填补这一领域的现有差距。为此,Bibi的工作等。27)是广义的方式流模型已经被考虑热辐射的影响,延长化学反应和介质的孔隙度。此外,分析解决方案获得通过使用一个有效的方法,即同伦分析方法。

2。流分析和数学公式

在这项研究中,磁场的影响,热辐射,化学反应在一个不可压缩的二维非定常边界层流动和粘性威廉姆森nanofluid加热渗透延伸板嵌入在多孔介质被检查。假设磁雷诺数很小的液体金属和部分电离的液体;和极化的影响的指控是不考虑。因此,感应磁场与磁场应用相比可以忽略不计。也认为,从狭缝流生成的拉伸均匀渗透和半无限平板一端固定在狭缝和嵌入在一个光学厚的多孔介质,如图1。

笛卡儿坐标系统被使用的方式x设在沿拉伸板,y设在表是正常的,原点位于狭缝,在该地区流动被认为是。现在,假设表开始拉伸和横向延伸不均匀的速度, ,在哪里一个和c是积极的常量与维度(时间)⁻¹的基本方程,然后平衡质量,动量,能量,纳米颗粒体积分数流的问题可以用向量表示形式如下。

2.1。连续性方程

质量守恒定律的连续性方程 在哪里微分算子和吗V流速度矢量。

2.2。动量守恒方程

Navier-Stoke方程的线性动量是由之间的平衡 在哪里nanofluid的密度;t是时间;年代是柯西应力张量;μ动态粘度系数;J电流密度;B是外部磁场;的相互作用产生的洛伦兹力与流体的速度应用磁场;和多孔介质的渗透率。

2.3。能量守恒方程

没有热源/水槽,粘性耗散,和焦耳加热效果,为传热是由能量守恒 在哪里定压比热容;和的比热容nanofluid和纳米粒子,分别;Tnanofluid是温度;κ热导率;是布朗扩散系数;是热迁移扩散系数;环境温度;和辐射热流。

2.4。纳米颗粒浓度守恒方程

均相化学反应,纳米颗粒的浓度方程体积分数 在哪里C纳米粒子体积分数,利率和分别表示的破坏性和建设性的反应速率。

为了减少动量(2),威廉姆森本构方程采用柯西应力张量的定义在[28]: 在哪里p是压力;我是单位张量;和是一个额外的偏应力张量 在哪里和限制在零和无限的剪切率,粘度分别;威廉姆森的材料常数液体;首先是Rivlin-Ericksen张量;和是剪切速率跟踪 。在这里,对于psedo-plastic液体,我们考虑和这给了 使用二项展开式,我们得到的

威廉姆森流体模型的细节可以在找到17]、[29日),(19]。

光学厚的流体,能量(3)也可以减少应用Rosseland扩散近似的辐射热流 在哪里意味着吸收常数和吗是斯蒂芬玻尔兹曼常数。如果流内的温差很小,然后我们可以扩大在泰勒级数 ,经过忽略高阶项的

因此,热通量可以近似为

假设一个含时磁场是应用于y方向,最初的磁场强度和吗 。然后利用边界层近似,我们改写上面的守恒定律在二维笛卡尔坐标通过方程给出的纳迪姆和侯赛因20.),比比et al。27] 在哪里 速度分量吗x和y分别为方向;是运动粘度;σ是液体的电导率;热扩散率;和有效的热容比纳米颗粒和普通的液体。

的边界条件值的速度,温度,纳米颗粒浓度作为在比比et al。27]。

在y= 0, 当 , 在哪里表示表面速度,温度,纳米颗粒浓度,分别;大众传播在板的表面;一个和是最初的和有效的拉伸率表,分别;是速度的恒定值;是常量值;和温度和纳米粒子浓度的环境价值,分别。

为了简化的数学分析,以下介绍了相似变换: 在哪里η是无量纲相似变量;是无量纲流函数;和和分别是无量纲温度和纳米粒子体积分数。

如果我们选择流函数 等,速度相关组件和 ,然后连续性(11)是相同的满意。计算所需的关于新的相似性变量的偏导数η和替换的值到方程(6)- (8),调节系统的偏微分方程简化为以下组常微分方程: '′表示分化对在哪里η;是代表威廉姆森的韦森伯数参数;不稳定参数;磁参数;孔隙度参数;热辐射参数;普朗特数;是布朗运动参数;是热迁移参数;施密特数;和是化学反应参数和分别表示破坏性和生成化学反应率。还利用相似变换方程(17),方程的边界条件(15)和(16)可以减少 在哪里是吸( )或注射( )参数。

从工程的角度来看,它是有用的检查表面摩擦系数的影响 ,当地努塞尔特数 ,和舍伍德数边界层的速度、温度和浓度,分别。

表面摩擦系数被定义为 在哪里是在透水表面剪切应力。威廉姆森的液体,它是由

替换,这给了 在哪里是当地的雷诺数。

当地的努塞尔特数是一个无量纲的传热系数定义为对流和传导传热率的比值 在哪里 传热的热流测量的表面渗透延伸表。因此,通过替换这给了

另一方面,当地的舍伍德数被定义为对流和扩散传质速率的比值在表面是由哪一个 在哪里是在表面质量流量。因此,我们得到

3所示。解决方案的方法

同伦分析方法(火腿),廖于1992年首次提出,是一种相对较新的和强大的分析方法,展示了伟大的效率在过去的几年里。基于同伦在拓扑的概念,方法为我们提供了极其伟大的自由选择不同的解表达式,我们可以选择一个接近我们的解决方案更有效率。1997年,廖推出一个非常有用的参数,称为convergence-control参数,用或 ,它提供了一个更方便的方法来确保收敛火腿的解决方案和调整解决方案的收敛率和地区。

现在,实现火腿在这个问题上,我们选择初始近似形式

然后我们选择辅助线性算子 随着房地产 ;在哪里 积分常数是由边界条件决定。

我们也选择了非零辅助功能

最后,基于常微分方程(12)- (14),非线性运算符可以定义如下: 在哪里 ,和 的同伦近似 ,和φ分别满足 与被称为嵌入参数。

根据廖,可以构造相应的零阶变形方程

显然,当 ,方程的解决方案(25)- (27) ,和 。同样的,当 ,方程的解决方案(25)- (27)是由 ,和 。也就是说,作为嵌入参数问增加从0到1,同伦的解决方案 ,和 变化不断从已知的初始近似 ,和未知的精确解 ,和 ,分别。现在,如果这种不断的变化足够光滑,然后扩大 ,和 在泰勒级数问如下:

正如廖(30.),上面的同伦级数的收敛性依赖于辅助参数 ,和 。假设这些参数是正确选择的系列方程(28)- (30.)收敛 。然后使用的变形 ,和 ,同伦系列解决方案 在哪里和被称为“米阶同伦衍生品。在这里,我们需要这些衍生品来满足边界条件:

重要的是要注意,方程(31日)- (33)为我们提供精确解之间的关系和初始近似。

为了得到系列的条款在方程(28)- (30.),我们首先定义向量满足边界条件(43),

区分零阶变形方程(25)- (27)米次对问,然后设置最后得到的方程除以 ,我们得到了所谓的米阶变形方程给出的 在哪里单位阶跃函数,

双方采取的逆线性算子的高阶变形方程(35)- (37),我们获得以下迭代公式:

这些方程可以解决递归地一个接一个在所有前面的函数系列。也就是说,对于每个 ,一个可以生成系列的条款和相应的部分和连续近似的订单。

即使初始近似的正确价值观,辅助线性算子,以及辅助功能已经选定,火腿系列解决方案仍然包含辅助参数 ,和区域收敛,可能影响精度和速率近似的解决方案。也就是说,我们仍然有很大的自由选择辅助参数的值。所以它仍然选择适当的值 ,和保证收敛的火腿的解决方案。2003年,辽30.]表明,火腿的解决方案将收敛于精确解的地区的部分和函数的图形或他们的头几个衍生品在一些参数 ,被称为 - - - - - -曲线,本质上是水平的。即间隔最小的物理量的变化意味着最好的间隔convergence-control参数的选择。

为了便于计算,HAM-based Mathematica包,BVPh 2.0由赵和廖已在2013年使用。这个包最近被许多研究人员成功地应用Farooq和Zhi-Liang [31日];Demir et al。32];和Bano et al。33]。使用的包的详细信息,我们建议读者参考赵和廖34]。

从图可以看出2这一 - - - - - -曲线几乎是水平的范围

也就是说,这些时间间隔的有效区域含收敛于精确解的解决方案。所以,从这些间隔可以捡起任何价值给我们流问题的近似解。通过比较结果在其中的一些可能的值的参数,可以选择一个最优的参数值的近似解将收敛的整个地区η。更准确地说,convergence-control参数的最优值可以通过最小化的平均平方剩余误差控制方程在20火腿近似表示,如图2(b)。现在,使用BVPh 2.0包在20点火腿近似,convergence-control参数最优值被发现

这些价值观和价值观在本研究利用除非另有规定。

很明显从表1增加条款的数量降低了平方剩余错误和导致级数收敛。

4所示。结果和讨论

在本节中,我们提出并讨论了数学分析的主要结果威廉姆森纳米流体诱导的非定常边界层流动的渗透延伸板嵌入在多孔介质的磁场,热辐射和化学反应。特别是,各种热物理参数对速度的影响,温度和浓度资料研究,提出如下。

因为有许多理论上和实际上重要流场和运输不稳定现象,可以由于突然运动的表面,我们开始我们的结果呈现不稳定的影响参数的分析我们的流动问题。

结果在图3解释说,速度梯度、温度和浓度概要文件减少边界层中的不稳定参数的函数。这是由于这样的事实,作为不稳定参数增加,速度拉伸的表也能减少导致更少的热量和质量的传递单nanofluid在边界层区域。

磁场的影响未知函数的特定的问题如图4。它表明,磁参数的增加提高了温度和浓度资料,但降低了速度梯度。

这个结果同意与磁场强度的增加这一事实往往会增加拖力抗拒流体粒子的运动和边界层产生热量。

威廉姆森的粘弹性参数的影响流场可以用韦森伯数进行描述如图5。

结果在图5显示附近的速度梯度减小拉伸板韦森伯数增加。温度和浓度的增加而增加在边界层。

孔隙度的影响流问题的研究,提出了图6。

图6表明作为介质的孔隙度增加,温度和浓度边界层资料也增加。另一方面,附近的发现速度梯度减小拉伸表面,增加离表面与介质的孔隙度增加。这是由于这样的事实:越来越多的价值有抵抗流动的倾向。

结果在图7显示,热辐射增加温度上升,但减少了浓度配置文件。这是因为增加的热辐射的nanofluid事业提供更多的热量的增加温度和热边界层厚度。此外,这个参数没有显著影响流体流动的速度梯度。

化学反应发生在nanofluid流结果转换边界层的物种。化学反应的影响参数的浓度分布剖面图见图问题8。

结果在图8显示生成的浓度剖面增加化学反应和减少破坏性的化学反应。这是真的因为生殖和破坏性的化学反应发生,纳米颗粒在流体的数量正变得越来越小,分别。

我们可以看到从图9,速度梯度、温度曲线和纳米粒子的浓度减少注入参数的函数。

它可以观察到从表2所有的表面摩擦系数,努塞尔数和舍伍德数增加的功能一个。同时,可以最大化通过增加表面摩擦系数 ,或γ;努塞尔特数系数是通过减少增加 ,或生成化学反应参数γ。它也表明,增加或γ或减少提出了舍伍德数的系数。

我们进一步验证我们的解决方案,通过比较他们与先前发表在一些有限的情况下工作。如果 ,然后我们分析近似皮肤摩擦系数, ,一些不稳定参数的值一个可以与一些先前的研究结果如表所示3。

表中给出的比较3显示所选的参数值,的值确定在本研究与先前发表的一些作品优秀的协议。

5。结束语

在这项研究中,同伦分析方法(火腿)已经成功地应用于获得分析系列解决方案威廉姆森纳米流体诱导的非定常边界层流动的渗透延伸板嵌入在多孔介质的磁场,热辐射和化学反应。火腿的融合解决方案确保通过逐次迭代, - - - - - -曲线,平方剩余误差分析。结果也验证了的有效性进行比较与先前的结果在某些限制的假设,发现优秀的协议。各种相关的热物理的影响参数对无量纲速度、温度、浓度和概要文件检查,结果总结如下:(我)由于流体流动引起的拉伸,速度、温度和浓度边界层厚度一般减少我们远离表面的表。(2)流的速度梯度的问题是发现不稳定的递减函数参数、磁场强度、注入参数。附近也减少拉伸表面与介质的孔隙度增加和韦森伯数。(3)边界层的温度曲线可以增加通过增加磁场强度,孔隙度的媒介,热辐射或韦森伯数。这个概要文件也可以增加减少了注射参数或参数不稳定。(iv)纳米粒子的浓度剖面可以增加边界层通过增加磁场强度,韦森伯数、介质的孔隙度,或生成化学反应。这个概要文件也可以通过减少不稳定参数增加,破坏性的化学反应,热辐射或注入参数;(v)动量传递的速度可以通过降低磁场强度,增强的主要介质的孔隙度,化学反应,或不稳定参数;它也可以减少减少热辐射的影响。(vi)传热速率可以加速通过增加不稳定参数或通过减少介质的孔隙度,热辐射或破坏性的化学反应。(七)传质速率也可以增强通过增加热辐射,建设性的化学反应,或不稳定参数。它也可以促进减少热辐射的影响或破坏性的化学反应。

数据可用性

参数变化的数据用于支持本研究的结果中包括这篇文章。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。