径向振荡壁椭圆通道内的压力驱动热滑流

摘要

本文的目的是在呈现由振荡压力梯度在椭圆横截面的可变形的微通道热驱动滑流。牛顿流体的充分发展的流动被认为是和纳维滑应用的边界上。边界值问题被公式化和热疗治疗期间施加到冠状动脉的血流量，热传递现象。其速度和温度场的半解析解决方案是由里茨方法进行。振荡壁和上的血液速度和温度场滑移长度的影响进行了研究。

1.简介

实验和由于各种工程和生理应用，即，在飞机燃油系统燃油泵，电动离心泵传热和流动的流体特性在振动体是在过去几十年中极大的兴趣，相关的数值研究，脉动血流通过大型动脉和高频振荡通气期间在人肺的气体交换。

流体的往复流已经吸引了在文献中一些研究人员。在实验上，许多装置已被建立用于研究这种流动通过任一个的压降或容积泵驱动。一些装置包括一个电阻器斯塔林固定在两个刚性管之间，并放置在压力室内[1]和带氢气泡产生装置的低速循环水通道[2]。这些在不同操作条件下的实验模型中进行的研究为振荡流的主要特性提供了宝贵的信息，如减阻效应、壁切应力减少、过渡雷诺数、速度时标和压力场。

由于实验模型的限制，许多数值的调查已用目的进行，以更好地理解上的流体的流动通道壁的振荡的影响。在文献中，流体与摆动壁中的管道内的振荡流的支配方程式是连续性方程和Navier-Stokes方程受任一无滑移或滑动边界条件。各种研究认为在管道二维振荡流与充分振荡壁[3-9]，部分摆动壁[10，11]，和拉伸片[12]。包括横向（轴向）壁振荡，垂直（径向）的三个不同的方向，并且两个方向上已经被应用到模型。

对于壁的横向振动，研究了壁的全振动和部分振动。Quadrio及Sibilla [3]在绕纵向轴线的管振荡施加的直接数值模拟（DSN）来模拟湍流。由于基准湍流在固定管和匀速转动管流减阻的效果而言。减阻的最大量可以由振荡管进行诱导。徐和黄[4]研究翼展方向摆动壁的在湍流平面信道流量振荡的前两个阶段在低雷诺数使用DSN的影响。在展向和流向方向的周期性条件使用，并且无滑移条件在墙上罚款。托马斯等人。[五]应用于研究附近横向方向上振荡波状壁用于流体运动的流动速度和功率需求的摄动法。它表明，该波状壁的多个振荡频率为，更快的流体振荡和更多的功率要求。惠特克等。[6]检测了通过在轴向方向上的柔性管的能量流通过调查壁振荡的具有变化的小振幅和评估能量预算的效果，以确定自激振荡的情况下。

在壁面部分横荡的情况下，Mateescu和Venditti [10]分析了血流速度的时间变化和下壁的部分横向振荡不稳定限于粘性流动。有限差分法被应用到的问题。他们报告说，流入速度的雷诺数，振荡频率和幅度上的流动分离区域的形成的影响。Yudhistira和Skote [11]提出了一种DSN分析的局部振荡壁的在翼展方向上的紊流附面层上的效果。流量特性，包括减阻和减阻的空间发展均与之前的实验。

壁振荡的在径向方向上的影响也被认为是分析减阻。埃斯平与友国[7]与垂直振动壁研究粘性压力驱动流动的稳定性在通道和确定用于雷诺数范围内的数值解的增加壁的振荡振幅。Shupti等。[8]研究了通过将其假定为在横截面方向上正弦移动的狭窄动脉的血液二维脉动流。计算域，其中一个余弦形狭窄的外观之后发生的余弦形动脉瘤导致的域的高度的变化。布莱斯等人。[9]研究了通过圆柱形实心管的一个时间周期壁运动驱动的粘稠的不可压缩流体的轴对称流动壁振幅和雷诺数的效果。通过引入一个依赖于时间的流的功能，控制方程受在流功能涡形式的无滑移条件在圆柱极坐标得到了解决。结果表明，血流动力学取决于雷诺数和墙壁幅度。一个小的或壁振幅导致准周期字段中的时间，所述流场的中间值是时间以大振幅壁的增加的雷诺数周期性的。Adesanya和Makinde [13]研究通过填充有多孔介质不均匀壁温度的通道壁滑移的上不可压缩粘性流体的二维振荡流的效果。在过去的十年中，传热和流体流动与振荡墙上的通道，吸引了太多的研究人员。Umuvathi等。[14[[endnoteref: 15]]确定了在充满复合多孔介质的水平通道内的非定常振荡流动和换热。Jha和Ajibade [15，16]提出了两个周期性加热无限垂直平行板之间的不可压缩粘性流体的自由对流振荡流和在自由对流振荡给定的时间相关的边界条件流进行了一些有趣的结果。阿卜杜勒 - 哈基姆和Sathiyanathan [17]通过由无限垂直板限定的高度多孔介质推导了自由对流辐射不可压缩粘性流体的二维振荡流速和温度场的解析解。Sobh [18]用微扰技术研究了均匀管内具有热质传递的粘弹性流体的蠕动滑移流动。该模型被认为是食糜在小肠中的运动。解析解表明，速度、压力梯度、温度分布和浓度场取决于滑移参数、传热和传质的综合作用。

各种问题已经进行了研究滑流，并在信道热传递，但不包括振荡壁的影响。Wiwatanapataphee等。[19]研究瞬态振荡压力驱动的在使用Ritz法椭圆横截面的微通道滑流和传热。结果表明滑移长度和对速度和温度分布的微通道的纵横比的影响。Mohyud声浪等。[20]研究了在发散和会聚用变异迭代和参数的方法的变化信道纳米流体速度和温度滑移的影响。然而，一些尝试已经研究了在信道与壁振荡在径向方向上的脉动流，和大多数研究都忽略了滑动状态，该压力梯度的振荡特性，并且在流动通道的热传递。

近年来，人们对建立可靠的热滑流模型以描述热治疗过程中的冠状动脉血流传热现象颇有兴趣。在癌症治疗过程中，温度在42℃至45℃范围内可以杀死肿瘤细胞而不影响正常组织。由于热疗可能导致不正常的血流和血凝块，了解复杂的血流和热传递现象在人冠状动脉振荡壁是重要的最有效的治疗。本文用振动壁的椭圆通道内受驱动压力流体的流动和传热来预测冠状动脉内循环流动的行为。研究了振幅和滑移长度对速度场和温度场的影响。结果与文献中已有的结果进行了比较。

2.控制方程

在本节中，我们提出了一个数学模型来研究在与摆动壁的椭圆形通道滑移流动和传热的行为。基于完全展开流的假设下，该问题因此通过由所述Navier-Stokes方程的系统的（以下边界值问题（BVP）管辖1）和能量方程（2)须符合初始条件(3）及边界条件（4）和（五）。

Navier-Stokes方程：

能量方程：

初始条件：

边界条件： 哪里 和 分别是速度场和流体温度场;是压力; ，和分别是，密度，粘度，导热性和流体的比热;是热通量;和 ，分别表示滑移长度和壁面切向速度;表示对流热传递系数;和是均匀的外部温度。

我们还认为，在流动方向与压力变化没有漩涡流动19]，即 哪里是平均压力。

在这项研究中，压力梯度是通过方程规定（8）的基础上壁变形，即 哪里 和 是它们是频率的函数的信道横截面的半长轴和短轴 ，振荡的振幅 ，和时间 ，和 ，和是常数。

将式（7）和（8）插入方程系统（1）和（2）产生以下BVP： 受初始条件（3），边界条件（五），和

在方程（9） 是的功能 ，和 。为了确定壁速度 ，我们考虑在横流方向上的信道的正弦运动。让方程的变化（11）半长轴和半短轴的定义，分别由

由椭圆的参数方程，我们有，在其周边，

哪里 。

因此，壁速度可由下式​​确定

3. Ritz法

要申请解决上述BVP丽思方法（9），（10），（11），我们首先近似的解决方案功能和以下列形式[19]: 哪里 是平均速度， ，和 其中 在横截面面积根据 ，和 ，和 水压直径是由 同

在方程（15）和随时间变化，我们假设和相对于坐标在中心 是固定的，即， 和的变化率和相对于坐标在边界壁上被定义为 和 。随后，的变化率和相对于坐标在流体域可以表示为

从方程(15）， 我们获得

在方程（16)，两个参数包括 和 是固定的。然后,我们得到 哪里 是热参数的变化率。

将式（15），（16），（17），（18），（19），（21），（22）代入方程（9）和（10）， 我们获得 受初始条件 和两个边界条件

在方程（24） 和 是由 哪里 。

为了简化问题，我们考虑在一个横截面流 ，和 在瞬间的时间。然后，我们解决了BVP（23），（24），（26）的功能 和 通过应用二次极小化使 哪里 和分别是双线性和线性形式[21]。

因此，BVP（23），（24），（26）等效于以下系统 哪里

我们现在来近似函数 和 作为的线性组合已知功能 和 如下： 同

将式（32）代入方程式（29）和气势 产生方程的以下线性系统： 同

同理，代入式(33）代入方程式（三十)和设置 给 同

因此，问题被归结为找到系数和通过求解下面的线性系统（35）和（37）。最后，速度和温度字段由表示

4.数值例子

为了描述壁变形的滑移在微通道中的流动的效果和热传递，我们选择冠状动脉的具有长半轴的长度的椭圆形横截面的计算域 和短半轴 如表给出1。主要/次要半轴的平均长度取决于液压直径的变化的椭圆。在这个研究中，between 0.108 cm and 0.231 cm corresponding to the typical size of the coronary artery [22并选择与人类心跳模式相对应的振荡频率和周期。但是，由于数据的缺乏，我们无法找到实际的振幅值和滑移长度 。

心跳诱导冠状动脉动脉壁的血液和振荡运动的振荡压力梯度。为了研究振荡血流量，血液被假定为具有特性的不可压缩的牛顿流体，如表2。

数字1表示振幅径向壁和压力梯度的变化与壁振荡从模型获得 和频率 。值得注意的是，在墙中扩大 ，和所述壁中收缩 。在其中最高负压力梯度存在的时间 ，径/短径的扩张是最大的，即 和 。在另一方面，在其中最高正压力梯度存在的时间 ，径/短径的收缩是最小的，即 和 。

数字2说明了轴向速度在第一个全波周期 ， ，振幅 ，频率 ，和一个滑移长度 。期间壁扩张时期的速度降低， ，和墙体收缩， ，但在壁扩张时期增加， 和墙体收缩， 。在流动通道已经观察到振荡壁运动和遵守对流动模式的影响。

为了研究振动壁和滑移长度对温度场的影响，我们在截面上绘制了温度曲线及其轮廓线 在波周期。在图3，可以观察到温度在0.1和1.05℃之间变化wave cycle for the slip length of 0.05 and oscillation amplitude of 0.03 cm.

随着频率的增加，壁由随振幅振荡响应。为了研究振荡幅度的影响， ，对速度和温度场，我们选择的值between 0.01 and 0.05 cm and select the investigated point at the center of the elliptical cross-section 。结果表明，在膨胀期间，如图图4（a），有振荡幅度和速度之间的线性关系 作为振荡幅度的增加上升速度和有在收缩期间增加的速度的，但是在相反方向上的流体移动，如图图4（b）。值得注意的是，振荡幅度的增加上升流的压力梯度的最高水平，因而提高流体流速。得到的结果与其他[好协议7，14]。

数字五表明滑移长度对温度场的影响。滑移长度的三个值其中选取0.005、0.05、0.07进行调查。结果表明，温度随滑移长度的减小而升高。此外，滑移长度的增加使流体流动速度加快。这引起了观察到的血液温度下降。这些结果与[18]得到的结果一致-[20]。

此外，我们通过改变分析振幅和滑移长度的平均温度场的影响between 0.01 and 0.05 cm and0.005和0.07在三个不同的波的周期，包括之间 ，和周期。据发现，平均温度成反比振荡振幅和滑移长度如图图6（a）和图6（b）。此外，观察到的平均温度是在较高波周期越高。

5。结论

本文研究的椭圆微通道与径向振荡壁流体和传热的压力驱动流。基于这样的假设不存在旋流，壁振荡和压力梯度被规定，并且打滑状态和热对流的边界上施加;我们提出了一个数学模型来调查壁振荡和滑移长度对在冠状动脉的速度和温度场的影响。结果表明，滑动长度具有热疗治疗期间对血液流动和传热一个显著效果。壁振荡也具有在所述流动通道中的血流模式和温度分布的主要影响。

数据可用性

用于支持本研究的结果的数据被包括在补充材料中。

利益冲突

作者声明，本论文的发表不存在任何利益冲突。

致谢

第一作者要感谢泰国科学成就奖学金(SAST)的全力支持，以及泰国73170 Nakhonpathom省Phuttamonthon市萨拉亚Mahidol大学研究生院的部分支持。

补充材料

一个补充资料是，枫码，可在https://github.com/Nattawan1992/Thermal-Slip-Flow/issues/1。（补充材料）

参考

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