文摘

兴趣往往是出现在了解不断变化的变量没有直接观察到的;这是在航空航天、工程控制、医学成像、数据同化。是什么,不过,时变测量数据,模型连接他们感兴趣的变量,和如何演变的模型变量。然而,模型只是近似和观测数据与噪音污染。这是一个不适定反问题。方法,如卡尔曼滤波器(KF),已经设计了提取感兴趣的时变数量。这些方法应用于这逆问题,然而,是缓慢的,计算明智,因为他们甚至需要大型矩阵乘法和矩阵求逆。此外,这些方法通常不适合一些限制条件。本文介绍了一种新的基于交替投影迭代滤波算法。实验和模拟移动使用KF炮弹和比较结果。 The new optimization algorithm proves to be slightly more accurate than KF, but, more to the point, it is much faster in terms of CPU time.

1。介绍

跟踪移动物体或物质是一种常见的优化和控制问题1)在航空航天等各领域(2,3),医学成像(4- - - - - -6,数据同化7- - - - - -9),和视频监控10- - - - - -12]。方法,如卡尔曼滤波器,设计来解决这个问题。然而,这些方法都有一个价格,对于大型系统,缓慢的在计算他们甚至涉及矩阵与矩阵的乘法和矩阵求逆。补救措施,如期望最大化过滤(EMF)算法,提出了包括当负的结果是理想的13- - - - - -16]。这里还介绍了一个新的治疗。

这部小说滤波算法本文目的,KF一样,找到一个估计 , ,对未知问题的建模的两个线性空间状态方程, 误差向量有 和 ;后者的协方差的误差建模的过渡来 。 和 分别是均值和协方差的噪声向量 。假设和噪音是白色的,这样的错误 在哪里从上下文是单位矩阵与顺序已知;表示的方阵 在其主对角线和否则。两个矩阵和认为是对角线。然后数值检测新算法解决重建问题出现在对象跟踪。

跟踪移动物体(或移动物体)拥有大量未知变量和一些给定数据,如航空航天、医学成像、或数据同化是一个不适定反问题。这种病态性进一步夸大了获取数据的物理退化引起的噪音。过滤算法,本文中给出的,因此非常适合的工具。

本文的其余部分组织如下。部分2描述了随机建模的进化和投影空间。状态演化和空间线性模型是应用新方法的基础。然后一节3评论KF,介绍了新的滤波算法。新滤波器的应用跟踪移动物体被部分覆盖5。部分6移动跟踪对象的模拟和数值实验细节使用KF和新的过滤器;这些证实了这种新算法的有效性在收敛性和CPU时间。部分7本文通过总结发现关门。

2。问题公式化

2.1。移动对象的随机模型

介绍了一种新的滤波算法。不失一般性,它说明,追踪移动物体的一个例子。它可以应用到任何实例KF在哪里和由两个线性状态空间方程建模时使用(3)和(9)。例如,光子的数量(4,6是未知的这两个方程。

说明新算法,跟踪研究了移动对象在这里探测器,如雷达或摄像头,测量随着时间的推移他们的位置。目标是估计他们的位置、速度和/或加速度,一下子,鉴于一些噪声测量他们的位置。卡尔曼滤波器可以平均测量数据的噪声,平滑这些随着时间的移动对象的轨迹在空间(11,17]。过滤是一种广泛使用的方法在工程一个过滤算法,如KF,减少信号的噪声,同时保持有益的信息。在KF的案例中,一个进程/进化模型和测量方程用于估计未知。注意,未知向量两种状态方程(3)和(9)在这个说明的例子包括位置、速度、加速度的运动对象。

速度和加速度可以很容易地来源于这个职位。人只能找到感兴趣的位置,由此可以很容易地推导出速度和加速度;但是,在速度和加速度有助于构建的状态演化(3)。此外,有超过位置未知增加了更多的组件,因此增加的大小来说明算法的问题。

探测器是利用移动物体的位置。然后建模如下问题。让 , 是一个指数序列的采集时间,未知的总数探测器的总数在时间 。的变量 和 表示包含未知的状态向量的对象和测量数据的移动 时间,分别。未知数包括2 d或3 d组件的位置,速度和/或加速度。的输入向量中有一个组件的位置、速度和/或加速度在时间吗 。观察结果 是随机向量。的输入向量中测量移动物体的位置注册的组件探测器期间 。此外,每一个观测取决于只有。序列 与未知时变转移矩阵满足马尔可夫性质 。也就是说,目前的状态只依赖于前一个根据以下线性方程: 在哪里在建模误差随机向量的过渡来与等于零,协方差矩阵 。

2.2。例子

理解这个线性进化模型,考虑以下基本以一个恒定的时间增量2 d的例子 。假设移动对象的状态向量 在哪里和的水平和垂直分量的位置,分别以相应的速度组件和和加速度组件和 。也就是说, , ,和 基本与恒定加速度运动学方程 方程(5)- (7)可以用一个矩阵形式,

2.3。假设

让是链接的数量未知的位置在收购期间对检测器 。时变矩阵定义的 被称为投影或观测矩阵。这个矩阵占测量向量之间的关系和状态向量 。观察/测量和状态向量的线性相关方程 在哪里 和 分别是均值和协方差的噪声向量 。

例如,考虑的例子2.2的状态向量是大小6。两个噪声测量, ,也就是说,水平和垂直位置的组件,是已知的。然后 矩阵是

请注意,这只是一个说明的例子非常小的尺寸; , ,和有大小 , ,和 ,分别。在实践中,数以百计的尺寸,成千上万,甚至更多。

最优找到的数据 ,演化矩阵 ,和观测系统矩阵在每个时间步 。方程(3)和(9)是特定情况下的状态方程形式更一般的过滤问题18,19]。实际的模型是一个线性动态系统的分析过滤解决方案是由KF [20.]。

协方差矩阵和被对角误差以及噪声被本文采用白色的三个假设。一个假设或多个不满意,prewhitening过程(13)可以用来使一般设置之一。

3所示。过滤和重建

该指数了,不管它是所需的便利。例如,在每个实例的时间 ,的状态向量 ,数据向量 ,和矩阵被称为是吗 , ,和 ,分别。移动对象的问题发现 线性方程的解 在哪里 , 是给定的向量和观测系统观测数据矩阵,分别。向量 代表了加性噪声记录数据 。一种新方法,基于交替投影凸集和KF相比,介绍,但是,首先,回顾KF遵循。

3.1。卡尔曼滤波器

KF更新(13,20.)如下:给定一个无偏估计的状态向量 ,之前的估计完全基于活动动态 估计将表单(例如,引用(6]) 和在(13)的协方差估计的活动在时间和 ,分别。如前所述,参与矩阵的大小(13)和(14)的数百、数千甚至更多。因此,KF的主要缺点是所涉及的矩阵与矩阵的乘法(13)和(14参与()和矩阵求逆14)。已经有人尝试去纠正这两个缺点;见,例如,(18,19为更多的细节。新滤波器的目标是各式各样的,但没有实施nonnegativity如(13,14]。它的目的是找到一个替代算法KF,过滤掉错误从动力系统建模和噪声的数据。它将确保时间正则化,并将最优递归估计。此外,它不需要过去的测量数据的存储,使用矩阵与矩阵的乘法,或者需要任何矩阵求逆。此外,它不需要计算,更新或存储任何协方差矩阵。KF的目标然后保持性质而改善要求更多。新方法是一个迭代中的每个递归步骤操作,仅涉及矩阵向量乘法。这应该处理的问题,大量的变量,如在航空航天。

4所示。交替最小化预测

的方法来解决线性状态方程(3)和(9)是通过求解第一,在本节中,正则化问题(16),包括一个正则化参数 。一旦方案在解决问题(16),(3)和(9)放在一起,在每个时间步 ,在一个正则化问题(30.类似问题()16使用一个正则化参数)在每个时间步长更新 。至于变量的问题(16),它被替换的状态转换时间向量(3)和(12)。这个解决的过程(3)和(9本节中)使用方案开发完成的部分5。因此,介绍了正则化问题和解决。

作者在13,14,21]研究了正则化问题。本文认为以下类似的问题, ,使用欧式距离来代替: 新的滤波算法处理欠定的和超定的情况。此外,一个迭代方法,框架内交替预测,。

首先,定义了两个凸集的 - - - - - -维的向量类似于[是做什么21- - - - - -24] 的集和非空的,关闭,凸在吗 。回忆的函数在(16); 也定义为 扩大最右边的表达式(18)。 交替投影最小化方法如下。首先从一个初始估计 。然后,取得迭代, 。然后执行以下两个步骤:

步骤1。最小化 关于得到 ,在凸集是哪一个 。

步骤2。最小化 关于得到 。相应的在凸集吗 。
序列收敛于一个极限 ,这是估计我们正在寻找。这个迭代方案应用于手边的问题在执行步骤1使用(19): 然而 这 ;因此 ,在哪里 ,导致 开始猜测 ,更新表达式 现在,一步2执行使用(19): 因此, 因此, 这导致了更新公式, 更新公式(22)和(26)可以在只有一个结合: 在哪里 。开始猜测 ,序列收敛于一个极限 ,所需的估计是哪个 。让我们运用以上更新公式(27跟踪移动物体的问题。

5。应用程序移动对象

这里的目标是解决线性状态方程(3)和(9通过使用找到的部分)4。如下。误差和噪声协方差矩阵在跟踪移动物体的问题建模为对角矩阵非负条目;指节2.1。也就是说, 在哪里是单位矩阵;从上下文和维度是已知的 。以防 ,例如,只要把矩阵通过和使用而不是 。在情况下 在表达式(29日), 而不是使用 ( )。

回想一下,目的是找到一个估计 , ,对未知问题的建模的两个线性空间状态方程(3)和(9)。

最小化的功能在每个递归步骤是 在哪里 。请注意, 自 ,这使得相同的功能是最小化(16)。

现在只要使用变量的变化,在交替的第2步预测滤波器(APF)算法5.1之后,回想一下,预测状态向量是 。迭代的方法,基于交替投影和更新由公式(22)和(26),或者结合公式(27在每个时间步) ,使用。聚类点将估计的状态解决了使用(3)和(9)。因此以下APF算法。

5.1。交替的预测滤波算法

(1)解决的线性状态方程问题(3)和(9),从一开始并设置 。为 执行以下步骤。(2)假设递归步骤时间 完成;变量的变化 (3)得到 ,开始 。(4)使 (5)做 。(6)计算 (7)更新下估计公式 ,在哪里序列的聚点吗 。

观察到两个步骤和可以组合成一个步骤被做过(27)。 注意如何迭代在(33)是由两个凸组合的比例。分子的凸组合预测 ,相关系数是相同的 在问题(16),只依靠进化模型和相关的APF迭代计算相同的系数在问题(16),仅仅依靠观察模型。分母也是一个凸组合;这是更新后的向量的权重因子估计。APF不涉及任何矩阵与矩阵的乘法或任何矩阵求逆。它是迭代的,只涉及矩阵向量乘法,不需要计算,更新或存储任何协方差矩阵。

颞正则化参数定义良好的,值在0和1之间什么时候不同1 - 。如果 在每个时间步 ,这 ,然后是在(33)。即观察完全被丢弃在某种程度上,只依靠进化模型。这个失败的目的使用探测器的全部威力。当 在每个时间步 ,预测的在步骤不需要在步骤 。事实上使用(33), 因此,在上面的更新(34),Landweber迭代(25)在静态情况下检索。当然,选择 意味着 或者简单地 。也就是说,过渡的协方差矩阵方程(3)是非常巨大的,这意味着没有信心在进化模型。换句话说,被丢弃的进化状态变量。只有观察在寻找有意义的吗 ,然后一个静止状态,因为它应该。

6。数值实验

数据可用性。模拟数据用于支持本研究的结果描述如下。APF算法5.1这里给出在线性情况下,验证移动物体而修改的设置的例子2.2有一个相当大的规模问题。为了实现这一目标,APF算法应用于有一个例子 不同的移动对象从相同的位置以相同的速度随着时间的推移而变化。

的实验是用不同的大值 ,状态向量的未知数的数目 ,比较结果KF的准确度和效率。事实上,这种比较的目标是双重的。首先,它保证了APF的KF算法给出了类似的结果;这是比较两种算法的输出质量的准确性。第二个比较APF和KF的CPU运行时间效率。KF算法在其常规/经典配方。此外,矩阵参与这说明性的例子很稀疏。两种算法APF和KF,这里使用,不使用此稀疏属性减少运行时间。因此,这种方法显示和比较两种算法的能力,在更一般的情况下,包括当矩阵可能不是稀疏。

的 设置不同的值的测试完成 。的模拟摄像机探测器测量的位置与一些错误而不是速度,所以 。作为演化矩阵 的大小 。这个矩阵是 的值在 在矩阵中的位置是任意的;它的唯一目的是确保速度随时间变化。未知的 状态向量表示为 和投影/测量矩阵 ,在哪里的大小 ,是 实验运行的初始状态向量的大小在哪里 m和 米/ ;两个值和是任意的,所以呢 高斯噪声的测量数据是模拟过程中(39)。它重要常数和任意加速度,accel = 0.6米/ ,添加到每个位置测量,所以 randn1在哪一个 标准正态分布的随机向量。当前的更新速度 作为 当前的然后根据更新吗 的状态向量在(41)中定义的更新与ProcessNoise (39)和ProcessNoise等于零;没有发现明显的变化。数据或测量在时间模拟状态向量,没有包含速度,最后一个组件与一个额外的高斯噪声 DataNoise在哪一些任意值和randn2是吗 标准正态分布的随机向量。至于KF,协方差矩阵设置等于什么与 和 ;很小的进步对KF精度方面的注意。回想一下,我们 ;选择这个正则化参数取决于信任放在每个的状态空间方程。表中给出的例子1有 。结果呈现在图1100岁以上使用参数总结在表1。

三条曲线在图1相应的平均吗 的位置。后者代表模拟移动对象,使用KF重建位置,并使用APF算法重建的位置5.1。的平均位置仅用于策划和比较的错误。不采取平均时间间隔 ,而是平均的 在每个时间步 。采样间隔没有影响产生的平均水平。

模拟之间的相对误差和重建曲线平均在30%左右。运行两种算法取决于大小的CPU时间和时间步的大小 。作为增加和/或APF和KF的增加减少,时间;然而APF KF要快得多。事实上,APF与大小比KF快25倍 未知的状态向量和时间步长 年代,对应于 ,在100年代。

7所示。结论

小说APF过滤算法,应用到线性的情况下,提出了;它可以实现在航空航天等领域。它还可以被应用,例如,需要随时跟踪移动物体,如在大型医学影像和数据同化系统。实验运行比较APF和KF的精度和计算机的速度。重建质量曲线是相同的两种算法,虽然APF执行略优于KF。更重要的是,APF比KF快25倍,秒而不是分钟。KF的情况,APF算法过滤掉错误从动力系统建模和噪声的数据。两种算法确保颞正规化和输出最优递归估计。然而,APF不使用任何矩阵与矩阵的乘法运算,不需要任何矩阵求逆。此外,APF不需要计算,更新或存储任何协方差矩阵。 This is not the case for KF regarding these last three properties. Indeed, these three properties are at the heart of making APF take much less CPU time compared to KF, so that APF is very suitable for large scale systems such as the ones in aerospace. APF could be used in any discipline which has used, for instance, KF or in any field that is interested in time-varying variables such as financial risk assessment/evaluation and forecasting or control. The results substantiate the efficiency of this novel APF algorithm.

命名法

:	时间参数
:	最大的价值
:	移动物体的位置矢量
:	进化从位置矩阵定位
:	测量数据向量
:	相关的系统矩阵来
:	期望值的一个向量
:	一个向量的协方差矩阵
:	误差矢量建模的过渡来
:	协方差的
:	噪声矢量的测量
:	协方差的 。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。