文摘
我们认为time-fractional Benjamin-Ono (BO)方程的Riemann-Liouville (RL)导数应用对称性分析(LSA)说谎。首先利用延长定理调查其相似度向量,然后利用这些发电机将time-fractional波方程的非线性常微分方程(NLODE)分数阶,我们完成解决方案利用幂级数方法(PSM)。
1。介绍
谎言对称方法提供了一个有效工具,推导的解析解非线性偏微分方程(NLPDEs) [1- - - - - -4]。近年来,许多作者研究了非线性分数微分方程(NLFDEs)因为这些方程表达许多非线性物理现象和动态形式物理、电化学和粘弹性5- - - - - -9]。
Time-fractional民盟源于古典NLPDEs取代与分数阶导数的时间导数。方法应用于NLFPDEs exp-function,推导出解析解扩张,部分su-equation对称方法,和更多10- - - - - -19]。
这里一维Benjamin-Ono方程考虑如下(见[20.): 事实上,波方程描述一维内波在深水中。我们认为LSA的分析解决方案通过使用PS扩张time-fractional波方程: 部门2,Riemann-Liouville分数阶导数的一些基本性质所示首先然后fpd的李群方法。在部门3中,李群time-fractional波方程(反馈)和对称性降低决心。在部门4中,我们获得重新安排的反馈方程(2通过PSM)。第五部门,我们研究级数解的收敛性。我们结束我们的工作部门6。
2。符号和描绘
2.1。谎言NLFPDEs对称还原方法的描述
我们现在主要的符号和定义,检测NLFPDEs的对称性。
在这里,time-fractional NLFPDEs 假设无穷小向量的形式 无穷小的李群参数转换(8,21,22有公式 在哪里 , ,和是转换的无穷小的变量 ,分别为,被认为是一组参数;我们将它等于1。的显式表达式和 ,我们考虑无穷小的延长,由吗
和 在哪里在[8)指定为
定理1。方程(2)的同时,一群单参数的转换(5)与无穷小发电机X当且仅当相应的无穷小适用条件: 在哪里 和是第二个无穷小的延长发电机吗 。
定义2。长时间向量证明了 在哪里是因变量的数量,是独立变量的数量, ,和PDE涉及衍生品的订单 。条件(21- - - - - -23)是由
引理3。这个函数 是一个不变的解决方案(3)当且仅当(我)
引理4。的扩展无穷小(24,25)利用分数阶导数部分RL定义(11)是由 在哪里
记住,
3所示。减少Time-Fractional Benjamin-Ono方程
我们使用LSA找到相似解决方案1 d time-factional波方程(1)。假设(2(下)是一个不变的5),所以 因此, 满足(2)。应用第二延长(2),对称不变方程 替换的值(6),(7)和(12)(16)和隔离系数偏导数和权力的 ,我们有 解决了确定方程,我们得到 在哪里和是常数,为简单起见。我们把它们的值等于1。所以,(2)有两个向量场,可以生成其无穷小对称。这些谎言向量是如下:
案例1。(19),我们有 解这个方程, 把 到(1),我们得到 在哪里 。
例2。为在(20.),我们有 这是特征方程。通过求解,结果相似变量形式 变量变换如下: 在哪里是一个函数在一个变量 。我们使用(25)改变(2)部分的颂歌。
定理5。转换(25)降低(2非线性飘流)如下: 利用Erdelyi-Kober (EK)分数导数算子20.]: 在哪里 和
证明。利用RL分数阶导数的定义(25),我们得到 假设 , 。因此,(30.)成为 应用EK分数积分算子(28)(31日),我们有 为简单起见,我们考虑 , 。我们也发现 因此,我们有 重复 次,我们有 应用EK分数微分算子(27)(35),我们得到 用(36)(32),我们得到 因此,(2)降低分数阶颂歌如下:
4所示。方程的显式解Time-Fractional Benjamin-Ono使用PSM
分析解决方案通过PSM (26]。我们假设 区分(39)两次关于 ,我们得到了 和 用(39),(40)和(41)(38),我们有 比较系数(42)当 ,我们获得 当 ,级数系数之间的递推关系 使用(44)的系列解决方案(39)可以表示为用(43)和(44)(39): 在替换使用相似性变量(25),下面的显式的解决方案(2)
5。收敛性分析
为了满足收敛性测试,比有很多种测试,比较,商测试。解决方案的收敛方程(46)将呈现如下。我们修改(46)如下: 方程(47),利用γ函数,显示 对于任意的那 在哪里 。现在我们假设PSM的另一种形式: 通过比较这两个系列中,我们可以观察到 , 。因此,本系列 的强级数(47)。所以,我们发现 考虑一个隐式功能系统有关如下: 自分析在附近吗 ,在哪里 ,和 。然后,该系列 分析在 这是验证利用(27)和本系列的收敛半径属于积极的领域。这表明(46)是收敛的
6。物理性能方程式的幂级数的技术。(46)
表达和方便概念物理特性的幂级数解,显式的3 d绘图解决方案方程(46)是绘制在图1- - - - - -4在 利用适当的参数形式。景观视觉真实的部分(46)可以在3 d绘图数据证明1,2,3,4,分别。
7所示。结论
谎言点对称的性质(1 + 1)维time-fractional Benjamin-Ono方程被认为是与Riemann-Liouville分数导数。这里将使用这些对称性fpd NLFODEs。封闭的解决方案是由使用PSM过去。解决方案的准确性展览大会。相当大的帧走近了获得明确的解决方案。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。