文摘
收缩理论认为两个任意系统轨迹之间的融合。在本文中,我们介绍了部分收缩理论的扩展收缩理论分析耦合相同的分数阶系统。它可以,也适用于研究网络的同步现象各种结构和任意数量的系统。我们使用局部收缩理论获得准确和全球结果分数阶系统的同步和antisynchronization。
1。介绍
自荷兰研究员、克里斯蒂安·惠更斯发起同步现象的研究世纪(1],许多研究人员的各个领域,比如数学(2- - - - - -4,机器人5),电子产品(6)、神经科学和生物学(7,8),调查了耦合振子耦合系统之间同步的稳定性。由于稳定控制理论的意义(9)和同步现象,提出了许多技术来检查这个属性(10- - - - - -12];这些包括收缩理论是最近的一个工具用于分析非线性系统的稳定性和收敛性行为在状态空间形式13- - - - - -15]。在他的论文中,Soon-Jo涌专注于多个动力系统的同步使用收缩理论与应用程序合作可替换主体系统的控制和同步的拴在编队飞行等相互关联的动态。他用收缩理论证明非线性控制律稳定single-tethered飞船也可以稳定任意大圆形阵列的拴在航天器,以及一个由三个航天器组成的内联配置(16]。
部分收缩的方法被调查的动力学耦合的非线性系统,基于收缩分析。部分收缩理论扩展收缩理论包括融合的具体属性和它给出了一个通用设备为研究系统的稳定性。它特别适合同步行为的研究。在他的论文,王伟(音译)使用部分收缩理论,研究了非线性网络系统的同步行为(17]。
在过去的二十年里,科学家们利用分数微分方程模型的一些物理现象。分数阶微积分的近代历史和状态空间表示,可以参考(18]和[19),分别。由于其重要的角色在工程和现代科学20.,21),研究分数阶系统的稳定性(FOSs) [22和自由/开源软件的同步吸引了大量关注6,8]。在这篇文章中,部分收缩方法是调查的动力学耦合的自由/开源软件开发的,强调自由/开源软件同步的研究。
本文的其余部分组织如下:在部分2收缩理论的总结,介绍了部分收缩理论自由/开源软件。节3理论阐明了研究自由/开源软件的同步,然后分析研究广义同步网络的任意数量的非线性自由/开源软件。示例说明了这个概念。
2。分数阶系统的收缩和部分收缩分析
基本上,据说是非线性时变动态系统承包如果初始条件指数被遗忘,也就是说,如果系统的动力学不依赖于初始条件和所有轨迹收敛名义运动指数。的部分收缩收缩的理论扩展了应用理论自由/开源软件的一个网络。在扩展,融合系统的特定属性。
2.1。收缩理论
自由/开源软件的收缩理论的基本定义是总结和细节中可以找到23]。
首先,考虑整数阶系统 在哪里和是 分别为状态向量和向量函数。假设 是连续可微的,(1)给出了关系 在哪里是一个虚拟位移之间的两个相邻轨迹的系统(1)。的变化率的平方距离两个轨迹被定义为
定理1。如果矩阵是所有解轨迹一致负定,系统(1)将指数收敛到一个轨迹,无论他们的初始条件。
证明。参见[13]。
定义2。对于给定的系统(1),一个地区 的状态空间被称为收缩(semicontraction)地区,如果矩阵统一负定(半负定)。
注意,通过矩阵 ,被均匀负定意味着对称矩阵G的一部分(也就是说, )是负定;换句话说, 我们的意思是地区,一个开放的连接设置。
考虑现在,一个安全系数: 在哪里和像这样的整数阶系统,显示的分数阶导数秩序 。Riemann-Liouville部分运营商在本文中被用作主要推导工具 , , ,被定义为23] 的运营商是定义在 通过 为 和被称为Riemann-Liouville分数积分算子的秩序 。为简单起见,左边的上标和下标被省略了,被认为是Riemann-Liouville吗为了分数导数算子假定存在,并且是连续的。
定理3。假设 。此外,让 和 。然后,
证明。参见[24]:29页。
注意,条件意味着一定程度的平滑度和这一事实, , 足够快。
假设条件的定理3持有。通过应用(两边5),一个可以写 因此,收缩条件系统(5)规定如下23]。
定理4。如果矩阵 是所有解轨迹一致负定,系统(5)和指数收敛于一个单一的轨迹,速度,无论初始条件。
证明。参见[23]。
定义5。对于给定的安全系数(5),一个地区 的状态空间被称为收缩(semicontraction),如果矩阵统一负定(半负定)。按照惯例,和系统(5)被称为收缩功能和承包制度,分别。
值得一提的是,如果 ,然后保证全局指数收敛。
注6。考虑线性定常(LTI)安全系数: 应用(两边10),一个可以写 考虑到以上两个相邻轨迹方程和虚拟位移他们之间的收益率 变化的速度的平方距离两个相邻轨迹之间的系统(10)是由 考虑 我们有 所以,LTI系统(10)收缩(semicontracting)在 统一负定(半负定)。
2.2。部分收缩理论
部分收缩理论研究中首次引入的网络同步(25];自那时以来,它已被证明在许多领域的适用性和灵活性。现在,自由/开源软件的部分收缩的理论,这是这项工作的基础,介绍了。
定理7。考虑一个安全系数 及其辅助系统 收缩对y。然后原始x系统的轨迹验证每一个光滑的特定财产辅助系统验证。
证明。两个虚拟y系统的解决方案 和解决方案的特定属性。鉴于虚拟系统承包、解决方案收敛于解决方案的特定属性。
定义8。最初的安全系数(16)据说是部分收缩。
推论9。的凸组合 , ,合同以一个共同的轨迹 ,是收缩。
证明。考虑到凸组合 有一个共同的轨迹(例如,一个常见的平衡), 和 。考虑到承包辅助系统 有两个特解x和 。因此,系统的所有轨迹收敛轨迹 。
备注10。虚拟承包系统的概念可以应用于控制问题。例如,考虑一个非线性分数阶控制系统: 假设它是期望达到的状态 ,使用的控制输入 这样 现在,它足以感染辅助系统: 有两个特解x和保证收敛的x 。
3所示。耦合的分数阶系统
让 。考虑两个相同的系统 搭配在一起,单向(单向)耦合方式,以耦合的力量吗 。
定理11。如果函数 在(24)收缩,两个系统(23)和(24)将同步。
证明。一个特解的第二个系统 ,第二个系统作为虚拟系统萎缩。因此,和收敛,将同步。
示例12。考虑两个耦合相同的分数阶金融系统(26]:
和
与
因此,
和
在这个例子中,
,表示利率、投资需求和物价指数,分别。积极的常量
,
,和储蓄金额,每投资、成本和商业市场的需求弹性(见[26])。
该系统
是线性的。与参数
,
,
的系数矩阵在
统一负定,所以呢
萎缩和两个耦合的分数阶的国家金融系统将同步(图1)。
的话13。定理的推广11一个网络的自由/开源软件以开放的链结构 有相同的同步条件,对于系统(23)和(24)。
定理14。考虑两个相同的系统搭配在一起,双向(双向)形式的耦合方法 在这样一个系统,如果 是承包,那么和是同步的。
证明。从耦合系统,我们有 定义 并考虑以下辅助系统: 有两个特定的解决方案, 和 。考虑到 收缩,辅助系统的收缩。因此,和 ,两种解决方案的辅助系统,融合在一起。
研究人员给出不同的定义同步在不同的上下文中。在这项研究中,同步或完成同步的不同状态的同步系统收敛于零;也就是说, 。在的情况下相位同步的区别,各种状态的同步系统收敛于一个常数向量或甚至一个周期状态而不是零。类似地,antisynchronization或反相同步被定义为 。
定理15(同步)。考虑在任意两个系统耦合的方式。如果有收缩功能, ,这样 然后和将同步。
证明。让和是两个耦合系统的轨迹。定义 ,因此, 假设辅助系统如下: 由于收缩函数h,辅助系统是收缩。因此,解决方案的辅助系统收敛指数,和解决方案,这是真的 和 。
备注16。(1)定理11和14是两个定理的特殊情况15。事实上,在定理11,
,在定理14
。
(2)网络系统与一个完整的图形结构
同步状态的条件定理14。
(3)网络包含与所有对称振子,也就是说,网络中每个系统耦合的所有其他人,
如果
是收缩,整个网络的同步是保证。
示例17。强制杜芬安全系数(27)如下:
这是混沌参数值吗
,
,
。利用耦合函数的网络三个相同的杜芬自由/开源软件的收益率
和
在哪里耦合强度;的值
和
被选择。
因此,
选择
,
的系数矩阵
是半负定;因此,
是semicontracting和相位同步发生。我们可以看到在图2给定系统的轨迹已经同步常数不同。如果
,
的系数矩阵统一-定吗
收缩,因此,完成同步发生。我们可以看到在图3给定系统收敛于彼此的轨迹并完成同步发生。但是,选择
和
的系数矩阵是正定
不是承包,如图4,两个耦合系统发散的。
定理18。如果向量函数 在 收缩, ,然后 将收敛于零。此外,对于每一个初始条件,除了零,会有antisynchrony之间和 ,如果系统 有一个稳定的极限环。
证明。从(46)和奇怪的 ,我们有 因此,从定理15,得出结论和互相收敛指数;换句话说,和达到antisynchrony。
示例19。两个非受迫性杜芬系统 和 与参数 , ,消极的耦合强度 (而不是兴奋性耦合抑制耦合)和分数阶 antisynchronized,因为 是奇怪的 ;此外该系统 产生一个稳定的极限环;因此,对于非零初始条件, 和 将振动和达到antisynchrony。如图5,非受迫性杜芬系统给定的参数和两个任意初始点, 和 ,达到antisynchrony和求和的状态(antisynchronization)误差收敛于零。图6代表着稳定极限环 对于非受迫性杜芬系统有三个任意初始点 , , 。
4所示。结论
我们使用局部收缩方法来表达和证明的条件达到同步和antisynchronization两个自由/开源软件。与以前的方法相比,基于线性化,结果这是准确的和全球性的。我们也使用部分收缩的方法来研究网络与各种结构和任意数量的系统。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
作者的贡献
所有作者的贡献同样写这篇文章。所有作者阅读和批准最终的手稿。