文摘

我们研究一种有效的数值方法求解一类非线性沃尔泰拉积分微分方程,这是一个组合的参数迭代法和谱配置方法。修改方法的实现解决了几个非线性沃尔泰拉积分微分方程。研究结果表明,开发的方法很容易实现,避免了额外的计算工作。此外,该方法是一种很有前途的近似的工具来解决这类非线性方程,为我们提供了一个方便的方法来控制和修改解决方案的收敛速度。

1。介绍

许多物理现象在不同领域的科学和工程制定使用积分微分方程。非线性积分微分方程来描述许多过程中起关键作用流体动力学、生物模型和化学动力学、人口,潜力理论,聚合物神学,放智慧凝结(见[1- - - - - -4)和引用文献在其中)。事实上积分微分方程的解析解不存在或者是很难计算的。最终的解决方案是可计算的,所需的计算可能是乏味的,或由此产生的解决方案可能难以解释。因此,它需要获得一个有效的数值解。在文学存在几种数值方法求解积分微分方程如逐次近似法,无网格方法(5),泰勒多项式(6],τ方法[4],wavelet-Galerkin方法[7),Adomain分解方法(8),同伦摄动法(9),同伦分析方法(10[],Sinc搭配11,勒让德多项式12),和泰勒搭配方法(13]。布鲁纳的专著(14)包括一个丰富的材料沃尔泰拉积分微分方程的理论和数值方法。

参数迭代法(PIM)是一个解析近似方法,它提供了线性和非线性问题的解作为迭代序列。事实上,PIM作为一个固定的点迭代法重建的变分迭代法(15]。然而,PIM患有一些限制性措施,如由此产生的积分的迭代关系可能不能进行分析。此外,PIM的实现通常会导致不必要的计算,计算中更多的时间是在重复计算系列解决方案。

为了克服这些缺点,一个有用的改善提出了PIM (16]。因此,策略,将追求在这个工作主要依赖于建立一个简单的算法,不需要繁琐的计算工作,基于改进的PIM和光谱搭配技术获得一个精确的解决方案下面非线性沃尔泰拉积分微分方程(见): 在内核 和是光滑的函数。解的存在性和唯一性(1)提出了17]。

验证了该方法的效用,给出非线性参考的一些例子,使用既定的方法解决。获得的结果与数值解。在所有情况下,目前的算法表现优异。

2。PIM的基本思想

PIM提供一个快速收敛的方法通过使用逐次逼近精确解的如果存在这样的一个解决方案;否则,可以用于数值近似。PIM的想法非常简单明了。解释PIM,考虑(1)如下: 在哪里随着房地产 当 它表示辅助线性算子对 。在(2)是一个非线性连续算子对吗和源项。

根据(15,16),我们构造以下明确PIM的家庭(2), 在哪里 与初始条件

我们也可以构造一个家庭的隐性PIM (2)如下: 使用上面的初始条件。

最初的猜测,可以自由地发现从求解相应的线性方程( 或 )和下标表示迭代。相应的近似 PIM的迭代关系将很容易获得辅助参数 。因此,可以通过使用确切的解决方案

参数的迭代公式(3)是一个递归序列 。显然,序列的限制的解决方案(1如果序列收敛。在下面,我们给出一个PIM的收敛性的证明。这里我们假设每一个 , 和一致收敛。

定理1。如果序列收敛,由参数的迭代公式(3),那么它必须精确解(1)。

证明。如果序列收敛,我们定义 它拥有 从(16)和(9)和的定义 ,我们可以很容易地获得 从(10根据()和3),我们得到 自 也 对所有 ,的关系(11)给了我们 从(12)和算子的连续性 ,由此可见, 从(12)和(13),我们得到 另一方面,在视图的初始条件 阶PIM和(9),它认为 因此,根据表达式(14)和(15),必须的精确解(1),这证明结束。

很明显,序列的收敛性(16)取决于最初的猜测 ,辅助线性算子 ,辅助参数 ,和辅助功能 。幸运的是,PIM提供我们的自由选择这些条目。因此,只要 , , ,和属性选择的序列(16)在一个地区是收敛的 ,它应该收敛于精确解。因此,收敛定理的结合和自由的选择上面的因素建立了PIM的有效性和灵活性的基石。

备注2。在PIM的收敛失败的情况下,参数的存在在(3)或(6)可以起到非常重要的作用在PIM的框架。尽管我们可以找到一个有效的地区策划每一个物理问题的解决方案或其衍生品与参数在一些点,收敛加速参数的近似最优值可以在订单确定残留误差的近似(15] 一个可以最小化(16通过实施要求) 。

3所示。一个光谱搭配PIM

一般来说,PIM解决非线性参考的应用会导致不必要的、重复的计算。不必要的和重复的计算可能会或可能不会导致更快的收敛。而且,由于PIM提供解决方案作为迭代的序列,其连续迭代可能非常复杂,由此产生的积分迭代关系可能不能进行分析。在本节中,我们将克服这个缺点的原始PIM解决(1PIM)提出一个光谱搭配。稍后将本文所示,该方法实现起来将会非常简单,节省时间和计算。

考虑到基函数多项式的学位 令人满意的 (注意,对移位的切比雪夫节点 和 ) 未知函数和一系列截断多项式近似。的多项式 插入的点 , ;也就是说, ,在那里 和 。插值多项式的值的一阶导数在节点 ,积分的值定义的节点 ,在那里沃尔泰拉积分矩阵(18,19]。

一般来说,为了解决问题(1)使用光谱搭配方案,插值多项式需要满足的方程内部节点。插值多项式的值在内部节点 是 和导数值 。初始条件,包括插值多项式可以由使用公式 ,在那里表示最后一行的 单位矩阵。

的插值多项式满足的非线性见(1在每个内部节点),搭配方程 应该满足。替代分化和整合矩阵关系到方程(19),我们得到 在哪里 。现在,鉴于(3)和的定义和 ,用微分和集成矩阵关系,我们将有以下明确PIM解决(1),被称为光谱PIM (SPIM): 为简单起见,我们选择在哪里 。如果我们定义 , , ,然后我们将有以下显式迭代关系寻找解向量 : 这里的向量被定义为

在使用上面的SPIM算法中,我们首先选择最好的初始近似满足初始条件。为此,我们可以确定的初始近似解 或 。因此,从最初的近似 ,我们可以使用递推公式(22)直接先后获得为 。

4所示。测试问题

在本节中,我们将演示SPIM运用方法的有效性三个非线性NVIDs。所有的数值计算已经完成了MATLAB R2014a和终止当前迭代满足 ,在那里的解向量th SPIM迭代。

例1。考虑下面的非线性见(20.]: 与初始条件 。在这里我们的目标是解决上述沃尔泰拉人口方程的价值 。本文使用该方法,即。,(22),我们可以选择 探讨有效的地区的解决方案获得通过显式光谱PIM算法(22) (24), ,我们试图绘制曲线关于 ,如图1。根据这条曲线,很容易发现的有效区域 。调查通常是方便有效的PIM通过这种类型的曲线。
根据图1可以看到,它的明确的光谱PIM 和 (即使对于大)不是一个收敛的方法解决(24)。的辅助参数框架的显式光谱PIM可以起到非常重要的作用。正如上面提到的,我们可以找到一个近似最优值从(16),估算剩余误差在一系列的值 ,的价值最低的残余将近似最优 。图2显示了近似最优值明确光谱PIM ,也就是说, 有两个小数位数。
图3 (b)显示了显式光谱PIM的绝对误差 和 。数值的行为和明确的光谱PIM解决方案的这个例子 和 呈现在图3(一个)。

例2。考虑非线性见以下: 与初始条件 和精确解 ,(21]。
探讨有效的地区的解决方案获得通过显式光谱PIM算法(22) (26),这里我们绘制曲线关于 ,如图4。
图5显示了近似最优值时显式光谱PIM ,也就是说, 有一个十进制数字。
图6显示了显式光谱PIM的绝对误差 和 。

例3。考虑下面的非线性见(22]: 在哪里 与初始条件 并给出相应的精确解 。
探讨有效的地区的解决方案获得通过显式光谱PIM算法(22) (27),这里我们绘制曲线关于 ,如图7。
图8显示了近似最优值明确的光谱PIM当 ,也就是说, 有一个十进制数字。
图9显示了显式光谱PIM的绝对误差 和 。

5。结论

在本文中,我们提出了一个新的应用程序的光谱参数(PIM)迭代法求解一类非线性沃尔泰拉积分微分方程(参考)。这个新方法很容易实现和应用于非线性参考时是准确的。光谱PIM的数值结果与精确解比较,优秀的协议。这可以证实的有效性提出了光谱PIM作为一种适当的方法来解决这类非线性参考。

数据可用性

使用的数据在我们的手稿来支持本研究的结果包括在本文中。此外,读者可以访问数据支持结论的研究指(DOI或其他持久化标识符)引用的手稿。

的利益冲突

m . h . Daliri Birjandi、j . Saberi-Nadjafi和a . Ghorbani宣布没有利益冲突有关的出版。