文摘

二次规划与区间变量是由二次规划区间系数获得最佳解决方案以区间形式,最佳点和最优值。在这篇文章中,一个两级的编程方法是用于解决二次规划与区间变量。二级程序编程是将二次规划模型与区间变量转换成一双经典的二次规划模型,即最好的最佳和最优问题。解决最好和最差最优问题的过程也是构造区间形式获得最佳的解决方案。

1。介绍

经典的二次规划需要假设系数值肯定是已知的。但在现实世界中,往往不能肯定决定系数值。不确定的系数值可以使用区间估计基于区间分析理论是由摩尔(1]。它也被称为间隔二次规划。特殊的特征区间的系数和变量是二次规划区间形式的目标函数和约束条件。经典的二次规划是由将在目标函数和约束系数转换为区间形式叫做间隔系数二次规划。如果系数和变量在区间形式的目标函数和约束条件都是,它被称为二次规划与区间变量。

研究讨论了区间系数二次规划的刘、王(2),和李为牛羚[3],Syaripuddin et al。4]。所有的研究都受到线性规划与区间系数Shaocheng[在前面已经讨论过的5),这个和斋月6],Kuchta [7]。研究二次规划与区间变量的灵感来源于线性规划区间变量已经被Suprajitno讨论和穆罕默德8]。研究区间系数二次规划也已扩展到非线性区间编程由江等。[讨论9吴],[10,11],Bhurjee和熊猫12]。

两级编程是一个数学程序,用于将间隔编程模型转换为一双经典的编程模型与特色,即最好的最佳和最坏的最优问题。文献[6)使用两级编程求解线性规划的间隔系数,而[2,3)使用两级编程求解二次规划的间隔系数。参考文献(2,3,6]能够构造的区间解最优值,这是由结合的最佳值最好的最优区间形式优化问题最严重。然而,不能构造区间形式的最佳点。文献[8)提出了程序获得最佳解决方案以区间形式最佳点和最优值。文献[8)系数和变量定义在区间线性规划形式和构造解决方案通过使用两级编程方法与一些额外的程序获得一个间隔的解决方案。文献[9]提出一个方法来解决非线性区间编程,将不确定的目标函数和约束转换为两个确定的目标函数和约束。两个确定的目标函数和约束制定成一个优化问题通过一个线性组合与单一目标函数法和罚函数法。基于求解非线性区间的编程方法和区间分析方法,江et al。13)提出一个方法来解决不确定结构编程同时Zhang et al。14)提出一个方法来解决不确定性建模和时间为时间结构可靠性分析。

论述了二次规划的解决方案与区间变量使用两级编程方法,着重于如何获得最优解的区间形式,最佳点和最优值。有三个步骤来获得一个最佳解决方案的区间形式。第一步是定义系数和变量在区间间隔形式二次规划模型。第二步是将区间变量的二次规划模型转换成一双经典的二次规划模型。最后一步是构建间隔解决方案的过程中典型的二次规划模型,模型通过添加新的约束有无界解为了限制可行区域。增加新的约束的目的是确定模型的解决方案或有界的解决方案。

本文由七个部分。部分2讨论了区间算术运算。部分3介绍了二次规划的一般形式与间隔系数。部分4介绍了二次规划的一般形式与区间变量。部分5讨论了过程将二次规划模型与区间变量转换成一双经典的二次规划模型并介绍了经典的区间解算法的二次规划模型。部分6讨论了一个例子来说明如何运用概念解决了二次规划区间变量和部分7提出了一些结论。

2。区间算术

的基本定义和属性区间数和区间运算可以看到在摩尔1],Alefeld和赫兹伯格[15],汉森(16]。

定义1。一个封闭的真正的间隔 ,用 ,是一个真正可以完全定义的区间数 在哪里和分别被称为上确界和下确界。

定义2。一个真正的区间数 被称为退化,如果 。

定义3。如果 和 ,下面的规则是有效的。(1) (添加)。(2) (减法)。(3) , (乘法)。(4) , (部门)。

定义4。给定两个间隔 和 ,该值 是中点, 是半角。

一些想法的比较中可以看到两个间隔Alefeld和赫兹伯格15),长安汽车和Kuctha17),Klatte et al。18森古普塔,et al。19],Kuctha [7]。在这里,我们只会提出一种方法,讨论Maleki et al。20.)如下。

定义5。给定两个间隔 和 ,然后 当且仅当 。

为了使定义的有效性5声明 当且仅当 在满足下列条件之一时是有效的。(我) 。(2) 。

3所示。二次规划与间隔系数

线性规划问题的一般形式区间系数定义如下: 与 , , , , ,是半负定,所有区间数的集合在 。

模型(2)- (2摄氏度)是由(3]。这种模式的特点是,任何目标函数和约束系数区间。文献[3)使用两级编程方法来解决二次规划利用区间系数。所以我们定义的解决方案(2)- (2摄氏度)如下。最优解的区间与区间系数二次规划的解决方案只能建立在最佳值,而不能构建最佳点的间隔。

4所示。二次规划与区间变量

线性规划问题的一般形式区间变量定义如下: 与 , , , , ,所有区间数的集合在 ,和是半负定。

约束 ,(3 c)非负约束。间隔乘法的性质与非负约束相关讨论如下:(1)让 区间系数和让 , ,是积极的区间变量( ),然后有三个可能相关的方程系数的值:(我)如果 ,然后 ,(2)如果 ,然后 ,(3)如果 ,然后 。因此,如果 ,然后 (2)让 区间系数和让 , 与 , 两个积极的区间变量,那么有三个可能的方程,相关系数值:(我)如果 ,然后 ,(2)如果 ,然后 ,(3)如果 ,然后 。因此,如果 , ,然后

在(3)- (3 c),目标函数的系数和变量和约束的二次规划模型被定义为区间形式。这个模型是由模型(2)- (2摄氏度)。二次规划模型与区间变量定义区间形式获得最优解,最优值和最优点。(描述的问题3)- (3 c)是通过使用一个两级编程方法对解决区间乘法的性质的非负约束。

下面的定义是用来确定最优区间的解决方案。定义的概念来源于Maleki et al。20.]。

定义6。任何一组满足的约束(3 b)一个可行的解决方案的问题(3)- (3 c)。让是所有问题的可行的解决方案。我们将说 是一个最佳的解决方案如果 对所有 ,是一个最优值问题的解决方案。

5。两级编程

两级编程是一个数学程序用于两级间隔编程模型转换成一对一级经典的编程模型。在本节中,我们将讨论的定理将用于二次规划模型与区间变量转换成一双经典的二次规划模型。

二次规划的最大化与区间变量,最好的最优问题属性的最佳版本的目标函数和约束函数的最大可行的面积,而最坏的最优问题性质最严重的版本的目标函数和约束函数的最小可行区域。讨论如何获得最大和最小可行区域的约束二次规划和区间变量包含不等式小于或等于(≤)中可以看到下面的定理。

定理7。如果区间不等式的约束与 ,然后是最大的可行区域,最低可行区域。

证明。让有间隔的不平等不平等与 , , 。基于(4),为任何特定的解决方案 , ,我们有 因此,如果在一个区间向量 ,那么我们就有 所以同时必须满足所有可能的版本的间隔不平等。因此, 此外,根据(4),为任何特定的解决方案 , ,我们也有 因此,任何特定的解决方案,满足区间的不平等也会满足 因此,

讨论如何得到最好的和最差的版本的目标函数在区间变量的二次规划中可以看到下面的定理。

定理8。如果 是目标函数 ,然后 , , 。

证明。我们有 和 。基于(4)和(5),我们得到 和 显然我们获得以下表达式:

基于定理7和8,我们获得一双一级特别特色经典二次规划模型,如下所示。(一)最好的最优: (b)最优:

最优解以区间的形式是通过构造区间获得解决方案过程在经典的二次规划模型。如果有一个无界的解决方案在一个经典的二次规划模型或在这两个模型,然后添加一个新约束对模型以限制可行域。本程序的目的是确定一个解决方案是无限或有限。间隔的解决方案过程中讨论以下算法。

算法9。
步骤1。用区间变量的二次规划模型转化为一个经典的二次规划模型。(一)确定最大和最小可行区域约束函数(b)确定最佳和最坏版本的目标函数(c)构造两个经典的二次规划模型(a)和(b)模式1:最好的优化问题目标函数:最好的版本的目标函数约束:最大可行区域model 2:最坏的最优问题目标函数:最糟糕的版本的目标函数约束:最低可行域

步骤2。确定解决方案模型1和模型2。

步骤3。检查解决方案。(一)如果模型1和模型2没有可行域,然后停止。模型没有解决方案(b)如果模型1和模型2是无界的,达成了一个解决方案,继续步骤4。如果他们是有限的,那么选择一个模型,该模型有一个无界的解决方案。接下来,用新的替换约束约束的组合约束模型1和模型2,我们有新的模型

步骤4。创建一个间隔的解决方案。

二次规划的最优解区间变量是通过创建区间获得解决方案如下。(一)设置最小上界值间隔最好的最优解决方案的问题(b)设置下确界值区间最优问题的解决方案

如果解决方案是一种区间形式,然后停止。如果不是一种间隔,然后给noninterval下确界值的解决方案,这样我们有时间间隔退化。

6。数值例子

考虑下面的例子区间系数的二次规划(3]。

根据(3),模型的最优值的解决方案(17一个)- (17 d)是 最好的最优问题 , , 和最优问题 , , 。此外,(12解决(17一个)- (17摄氏度通过引入一种新方法。在这种方法中,间隔编程模型定义的编程模型参数的函数。这是获得最佳点 , 和最优值 。

摘要二次规划模型与区间变量只是为最大化问题定义,所以任何最小化问题将转化为最大化问题。简单的程序将一个最小化问题转化为最大化问题是通过最小化问题的目标函数乘以1,反之亦然。

模型(17一个)- (17 d)被认为是与区间变量和二次规划转化为最大化问题提出如下。 基于算法9,我们发现的解决方案(18一个)- (18 d)如下。

步骤1。创建两个经典的二次规划模型,即最好和最差的优化问题。
最好的最优问题
模式1 最优问题
model 2

步骤2。模型1和模型2的解决方案如下。
在这种情况下,它是发现,模型1有一个无界的解决方案和model 2有一个有限的解决方案。

步骤3。创建一个新的模型的模型有一个无界的解决方案。
最好的最优问题
新模式1 最优问题
model 2 新模式1的解决方案 , 和解决方案的model 2 。

步骤4。区间解通过设置上确界和下确界值的解决方案,这是(我) , ,(2) , 。(i)和(ii)我们用区间变量得到二次规划的解决方案如下:(我)最优点是 和 这满足的定义5。(2)最优值 或相当于 最小化问题。最佳点和最优值覆盖解决方案(12)在最佳值是一个十字路口的解决方案(3]。

7所示。结论

本文提出一种两级编程方法求解二次规划与区间变量。两级编程过程是将二次规划模型与区间变量转换成一双经典的二次规划模型。区间解过程一双经典的二次规划模型,提出了通过使用算法9。系数的定义和区间变量二次规划模型中有一个特定的利益,所以它的最佳解决方案是在区间形式的最佳点和最优值。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

第一作者要感谢印尼的研究、技术和高等教育提供一个金融奖学金和研究。