分析和最优控制水源性疾病模型的干预策略:一个现实的案例研究

文摘

制定一个数学模型来获取水源性疾病传播的基本动力学的假设下均匀混合。的重要的数学特征模型确定和分析。扩展模型通过引入控制干预策略如疫苗、治疗和水净化。控制模型的数学分析是用于确定的好处有这些控制干预策略。利用最优控制理论来确定如何减少疾病的传播与最低成本。验证了模型使用一个在海地的霍乱疫情。

1。介绍

水源性疾病,包括霍乱、甲肝和戊肝,贾第鞭毛虫、隐孢子虫,轮状病毒是全球人的严重的健康问题之一。这是在发展中国家尤其如此,缺乏干净的水。不安全的水供应,恶劣的卫生条件和恶劣的卫生条件是水传播疾病的主要原因1]。根据世卫组织(2),全球大约有11亿人无法获得可靠的水源。每年约有700000儿童死于腹泻造成的不安全的水和卫生设施不良(3]。水源性疾病的患病率可以控制通过获得安全水,尤其是在发展中国家提供足够的卫生设施,和更好的卫生习惯(1]。水净化等控制措施、接种疫苗和治疗的感染者是最有效的方法减少这些疾病的传播(4- - - - - -6]。在这项研究中,我们调查的影响,这些类型的控制措施在减少水源性疾病的传播。

即使有控制措施的可用性,负担能力往往是最大的障碍,许多社区在疾病流行。水源性疾病的传播往往与贫困、有限的资源和低社会经济地位(2,7]。最优控制理论可以有效的方法来减少疾病的传播与最低成本(4,8]。在这项研究中,我们考虑最优控制理论探讨如何减少水源性疾病的传播与最低成本。

影响的动力学的一些基本因素水源性疾病包括卫生(9),不同的传播途径10,11)、水处理工作(12,13)、病原生态学以外的人类宿主(14),气候因素或季节性的波动15- - - - - -18),和异质性疾病传播(19,20.]。了解这些因素交互影响的动态水传播疾病挑战,使水源性疾病的动态复杂。一些理论研究已经考虑到这些因素来提高水传疾病的理解动力学和随后调查可能意味着减少疾病(7,11,19,21- - - - - -26]。尽管这些研究在改善水传疾病的理解做出了巨大动力,水传疾病动力学和控制理论研究还不完善。在这项研究中,我们考虑数学模型研究的动力学和控制水源性疾病。研究结果补充现有文献中结果的动力学和控制水源性疾病。

本文的其余部分组织如下。节2水源性疾病模型,支撑的基本动力学,提出了进行分析。确定控制措施的好处有多个控制模型(同时控制实施)提出和分析部分3。节4、最优控制分析是用来研究如何减少疾病的传播与最低成本。验证了该模型的使用它来研究部分在海地的霍乱疫情5。我们讨论我们的研究结果得出本文的部分6。

2。水传播疾病模型和分析

在本节中,我们提出一个水性疾病模型是动力学为均匀的人口没有任何控制干预措施。这个模型的分析是必要的,作为一个比较理解的影响控制干预策略包括在后面的部分。

2.1。制定Control-Free模型

我们认为先生的扩展标准模型的假设下,持续的人口规模通过添加一个隔间病原体的浓度在一个蓄水池11,27]。通常,整个人口被划分到敏感 ,受感染的 ,和恢复个人这样 。个人进入易感类通过出生的速度 。敏感的人感染水传播疾病的速度通过接触受污染的水 。直接叫人传输并不认为因为water-to-person传输已经被证明是水源性疾病的主要路线传输(6,23,28]。感染者病原体在水里的速度自然和恢复速度 。水中的病原体是自然生成的速度和衰减速率 。自然的人类死亡发生的速度 。与这些假设我们获取模型 在哪里 病原体的自然衰变率的水库。请注意,我们的模型(1)的形式被认为是天山和收入11]研究多个水源性疾病的传播途径。区别在于,他们认为感染是通过直接叫人产生和间接water-to-person联系人。我们的方法只考虑感染通过间接water-to-person接触尤为相关的水性霍乱等疾病的威胁,主要是通过受污染的水传播。

的定性分析模型(1),我们认为由无因次版本 在哪里 , , , ,和

所有参数实际上被认为积极和初始条件如下: 所有的解决方案模型(2)被认为是在可行域 正不变量和模型解的存在性和唯一性(2在这个地区。因此,模型(2)提出了数学和流行病学 。

2.2。基本的繁殖数量

control-free模型(2)有一个独特的无病平衡点(DFE) 基本的繁殖数量的control-free模型(2)确定使用下一代矩阵法(29日]:

2.3。无病平衡点的稳定性分析

传染病动力学模型,对其无病平衡点稳定性(DFE)描述疾病的短期动态(30.]。因此确定水传疾病的短期动态考虑,有必要调查的稳定control-free模型(2对其价值)。定理2的van den Driessche和Watmough29日),以下结果。

定理1。的DFE control-free模型(2如果是局部渐近稳定 和不稳定 。

定理1意味着水传疾病可以从整个人口(当被消除 )如果受感染人群的初始大小的盆地DFE的吸引力(5)。另一方面,这种疾病将建立在人口如果 。

定理2。的DFE control-free模型(2)是全局渐近稳定提供 。

这个定理可以建立使用全局稳定性结果Castillo-Chavez et al。31日]。这个全球稳定确保疾病消除无关的初始大小感染者如果人口 。流行病学含义是,在这种情况下,水传疾病可以从整个社区根除无论初始社区中受感染的人数。

2.4。爆发增长速度

如果 ,然后DFE (5)变得不稳定和疾病暴发发生在人口。积极的(主要)雅可比矩阵的特征值在DFE通常被称为初始爆发增长速度(11]。雅可比矩阵的特征值的模型(2)在教育部评估(5) 很明显, 。因此,积极的(主要)特征值是由 从上面的结果,当 爆发增长速度就消失了。同样,如果 这三个特征值变得消极确认定理1。因此爆发增长率( )只有当存在 。从流行病学角度说,这个结果表明 爆发发生在社区和增长率,疫情是由 。特别是,这可能发生在没有控制措施。接下来需要获得可能爆发的大小,通常称为预期的最终爆发的大小(32]。

2.5。最终爆发的大小

我们的分析表明,当 水源性疾病疫情发生和生长速度 。最后爆发的大小爵士流行病学模型和其他类似模型给出的关系 在哪里表示人口的比例都在不同程度上受到感染疫情。这种关系适用于我们control-free模型(2)[11),所以如果没有干预和控制疫情发生, 最后爆发流行的大小可以由(9)。

2.6。地方病平衡点的稳定性分析

动力系统的长期动力学对其流行特点是稳定平衡(30.]。确定的长期动力学control-free模型(2)我们调查其稳定性地方病平衡点(EE)。用代数方法,它可以证明 ,一个独特的情感表达发生在模型(2)由 很明显,会消失 。这证实了这种疾病不能流行时 。情感表达的稳定性分析(10使用()总结如下11,33- - - - - -36]。

定理3。唯一的地方病平衡点(10)是局部和全局渐近稳定 。

定理的证明3可以使用这种方法建立在[11),意味着无论何时 任何人群中爆发将坚持人口(仍然流行)。所以,尽量减少疾病暴发的可能性的干预控制措施可以使用这样的基本繁殖数量保持低于统一(即, )。

3所示。多个控制模型和分析

在本节中,我们提出一个控制模型研究引入控制措施的影响疾病的传播。三种不同类型的控制措施是:疫苗接种,水净化,和治疗。这些控制措施的影响研究通过扩展原始control-free模型(2),包括这些控制措施。

3.1。制定多个控制模型

多个控制模型是制定如下。

疫苗接种是控制策略减少水源性疾病如霍乱的传播。例如,霍乱疫苗可以预防疾病提供大约60 - 90%。因此在控制模型假设易感人群接种疫苗率疫苗的功效 。有效的模型现在有新类的个体接种疫苗。

水源性疾病的有效治疗也是非常重要的减少疾病的传播。一些水源性疾病如霍乱可在数小时内杀死感染该疾病,如果没有适当的治疗。如果人们感染了霍乱是迅速和正确治疗,死亡率小于1%,但如果不及时治疗,死亡率上升到50 - 60% (37,38]。我们介绍治疗control-free模型(2)通过假设感染者治疗和治疗的个体由于治疗恢复率 。

据世界卫生组织(1),不安全的水、恶劣的卫生条件和恶劣的卫生条件是水传播疾病的主要原因。大量的病例可以通过提供洁净水供应减少,提供足够的卫生设施,和更好的卫生习惯。在这里,我们扩展模型(2)假设提供干净的水减少病原体的浓度的速度 。

基于这些假设,同时通过引入这些控制干预策略,我们获得了多个控制模型 在哪里接种疫苗的个体,对待个人, 接种疫苗的个体的比例, 对待个人的比例。

所有的解决方案模型(11)进入可行域 该地区是积极不变;因此,充分考虑模型的解决方案(11)。

3.2。基本繁殖数多个控制模型

多个控制干预策略模型(11)有一个源头 和一个基本的繁殖数量 在哪里 基本的繁殖数量可以被定义为预期的结果的继发感染数量从单一感染个体引入一个易感人群(29日]。因此,阈值数量衡量继发感染的数量的人口接种疫苗,治疗,和水净化。从(15)和(14),我们有 这意味着多个模型中的控制措施有减少继发感染的数量的影响。

3.3。教育部的稳定性分析多个控制措施

再次,确定短期动力学在多个控制措施的存在,我们调查多个稳定的源头控制模型。结果总结在下面的定理。

定理4。如果 ,DFE (13)的模型(11如果是全局渐近稳定和不稳定 。

这个结果是水源性疾病的流行病学含义可以从整个社区根除使用多个控制措施无论提供的感染者的初始大小 。

3.4。爆发增长率为多个控制措施

假设多种控制措施并不有效, 和教育部(13)变得不稳定,发生疾病暴发。爆发的增长率是由多个控制模型 比较多个控制模型的爆发增长速度与无法控制模型总结了下面的定理。

定理5。如果 , , ,和 ,然后 。此外, 当且仅当 。

这个定理的证明可以由简单的代数运算。这表明,引入多个控件可以减少疫情的增长率。

3.5。单引号和双控制措施

水源性疾病暴发往往与贫困和有限的资源来控制疾病(1]。通常这样的社区不能引入多个控制措施等三个考虑。因此,重要的是要研究引入一个单一的控制或影响的双重控制。通过比较单个控制的影响,双控制,和多个控件,我们确定控制(或控制)的组合,可以产生最好的结果。这些比较将在流行阶段以及流行暴发阶段。从理论上讲,对疫情的流行阶段基本繁殖数量,同时爆发流行阶段增长率。这些结果可以帮助建议社区资源有限。

3.5.1。基本的繁殖数量为一个控制措施

假设社区可以接种疫苗,那么基本繁殖数量 这个阈值量可以被理解为一种继发感染的疫苗接种的数量(11,39]。通过初等代数操作,方程 持有。从(19疫苗接种时)继发感染的数量少了 ,这意味着引进疫苗减少感染的传播。

社区仅能负担得起的治疗基本繁殖数量 显然,这些方程 持有。流行病学,感染者的治疗可以减少继发感染人群中提供的数量 。

最后,我们调查的影响,引入水净化作为唯一的控制措施。水净化诱导基本繁殖数量 在哪里 再持有以下方程: 和引进净水减少继发感染的数量在社区提供 。

有显示每个单一控制的影响,使用基本的繁殖数量,重要的是比较每一个单一的控制多个控制。因为,的产品是 , ,和和每一个小于1,然后使用每个繁殖数量的计算(19),(22),(26)和(16)可以在紧凑的形式写的 这些结果表明,尽管每个单一控制在减少继发感染的数量有一些影响,多个控制总是至少有最大的影响。同意上述结果直观的期望和鼓励解释为何多个控件时爆发发生在任何社区。

3.5.2。暴发增长率为单个控制措施

社区,只考虑治疗作为一项控制措施,我们的分析显示,如果感染者得不到妥善处置 ,然后爆发发生在社区。treatment-induced爆发增长率是由 确定此次暴发的力量,我们比较的爆发增长没有控制干预。比较的结果总结了下面的定理。

定理6。如果 ,然后 。此外, 当且仅当 。

定理6可以建立代数操作。因此,爆发增长的治疗总是低于没有控制。

同样,社区,可以只接种疫苗或水净化的爆发增长速率 和 分别。

自 和 然后 和 这表明疫苗接种或引入水净化降低爆发增长速度超过当没有控制。

从流行病学角度说,这些结果表明,即使控制不防止疾病入侵的人口,疫情将会减少相比,当没有控制被认为是。

我们已经表明,每个单一控制干预策略和多个控制爆发干预策略降低增长率。接下来,显示了多个控制干预策略来减少爆发增长速度超过每一个单一控制干预策略。细节给出了定理7,

定理7。假设 , , ,和 ,然后 此外,

这是很容易证明。

3.6。两个控制措施

假设一个社区只能承受两个控制干预策略,例如,可能是(我)疫苗+治疗,(ii)疫苗+治疗,和(3)治疗+水净化。定性分析这些案件可能是重要的社区,可以两个控制措施。类似于单一控制,基本繁殖数量和增长率是用来调查疫情的影响引入双控制措施。使用相同的方法,疫苗接种引起的基本再生数+治疗 ,接种疫苗+水净化 ,和治疗+水净化分别给出了吗 通过类似的推理,爆发增长率与疫苗接种有关+治疗 ,接种疫苗+水净化 ,和治疗+水净化分别给出了吗 再一次,我们比较这些结果和无法控制的情况下,单一控制,或多个控制措施。在每个比较,用更少的控制必须的一个子集的情况更多的控制。比较这些基本再生数和疫情增长率表明,考虑两个控制措施总是比没有控制或一个单一的控制减少疾病。另一方面,多个控制比两个控制措施。因此,如果爆发发生在任何社区,多个控件是强烈推荐。然而,如果一个社会有限的资源控制爆发,然后双或单控制方法可以推荐根据资源的可用性。

比较其他的组合控制(一个案例不一定其他的一个子集)我们认为数值模拟。给出了数值模拟的参数值表1。这项研究的结果发表在数字1(一)- - - - - -1 (d)。同样,正如预期的那样,在每一个比较多个控制最大的影响在减少感染而没有控制的影响也最小。多个控制可以防止接近25%多的人从疾病而无法控制。

在每种情况下引入一个单一的控制总是比引入无法控制(控制数据1(一)- - - - - -1 (d))。然而,根据实际parametrisation,其中一个单一措施将有最好的影响(例如水净化在图1 (d))。因此,对于一个社区,可以只有一个控制这些类型的结果可以通知他们的选择。这些参数也申请社区可以双重控制。结果接种疫苗+水净化有最大的影响在减少感染(数字1(一)和1 (c)),这是推荐的。因此,这些例子说明该模型可以指导社区中选择合适的控制措施。这些发现与使用不同的模型结果一致([4,5,39])。

4所示。最优控制问题

定性的分析我们的模型显示,多个控制干预策略在统一的情况下是最好的。不幸的是,负担能力的多个控制干预策略是一个主要问题是许多社区资源有限。因此,进一步的分析调查可能使用多个控制干预策略与最低成本。这些分析的结果可以帮助建议社区资源有限。最优控制理论已成功地应用于分析此类问题[4,8,39,41- - - - - -45),用在这里。

最小化的成本实现多个控制我们做出以下假设。首先,我们假设有控制参数 , ,和可测函数的时间,制定一个适当的最优控制功能,减少实施成本模型(11)。为简单起见,我们假设 , ,和 。

相应的最优控制成本的功能 系数, , , , ,和 ,平衡成本因素,将积分转换成钱花费在一个有限的时间吗 。目的是减少个人和病原体感染的数量在水源以及申请多个控制成本。考虑到预期的非线性成本可能来自多个控件,我们认为二次函数测量的控制成本4,26,39,41- - - - - -47]。

最优控制的存在( )这代价最小化的功能 遵循从[48,49]。Pontryagin的极大值原理50]介绍了伴随函数,使我们能够减少哈密顿 ,关于控件( )而不是原目标函数最小化。与目标相关联的哈密顿函数是由 在哪里 ,和相关伴随美国吗 ,和 ,分别。

给出最优控制 连同相应的状态 ,减少 ,存在伴随变量 ,和令人满意的 和横截性条件: 在哪里 。

微分方程(40)通过差异化的哈密顿函数(39)对对应的状态如下: 最优条件 解在这些最优条件(43),后来考虑到边界,我们获得 使用类似的方法,我们获得剩下的最优控制: 上述结果表明最优控制的存在 可以减少水源性疾病的传播使用多个以最低的成本控制措施。可能的大小和每一个轨迹最优控制以及最优解决方案使用数值模拟进一步调查。

数值模拟,我们考虑表中给出的参数值1成本因素连同下列值: , , , ,和 (4]。数值解的最优系统使用中描述的forward-backward算法(4,8]。最优控制函数的数值结果 , ,和成本最小化功能并给出了状态方程在图2(一个)。从结果,有效的多种控制措施可以以最低的成本实现通过应用控制疫情的爆发。考虑最优控制不控制的影响是通过比较两种情况(图调查2 (b))。结果表明,考虑最优控制可以防止总人口的大约15%的疾病以最低的成本。

5。案例研究:海地霍乱疫情

一个现实的案例研究中,海地的霍乱爆发,被认为是验证控制模型(11)。特别是,这个例子是用来说明该模型可用于研究,以及使未来的预测,霍乱暴发霍乱流行的社区。据海地公共卫生与人口部(MSPP),海地霍乱疫情确认10月21日,201051,52]。截至2013年8月4日,约669396例和8217例死亡报道爆发以来开始(53]。在这项研究中,海地的霍乱病例住院报道的数量从10月30日,2010年12月24日,2012年,被认为是。海地分为10个部门(管理区域)和首都太子港。使用MSPP数据,报告霍乱的累积数量为每个部门住院,2010年10月30日至12月24日,2012年,在图3(52)(注意,这些地区人口的大小下令报道2009年爆发之前开始(54])。从图3霍乱病例主要跟踪人口规模与北方有最大数量的报告病例其次是阿蒂博尼特太子港虽然美国Nippes最小数量的住院病例报道。

明显宽松的人口规模之间的相关性和更大数量的情况下,预计人口将有更多的病例。然而,由于该模型认为这里(模型(11)是总人口比例图中的数据3也扩展了人口,在图吗4。这个比例信息是现在有些部门更大的人口少,人均霍乱病例相比,尤其是首都太子港(图4)。另外,一些部门较小的人群有更高的人均数量的情况下,特别是Nord-Est(图4)。全球研究表明,霍乱是与贫困和人均获得干净的水和因此推测这些差异是由于不同条件下获得干净的水和治疗的不同位置。例如,这些条件一般会相对更好的在这个国家的首都,太子港,因为更好的基础设施和经济条件。因此,有人可能认为最低人均霍乱感染为太子港图发现4。

在数据拟合模型参数 (值表1)是固定的,因为他们代表了增长和死亡过程将全国统一。其他参数与各种控制措施被用作拟合参数。这些模型配件进行了使用内置的MATLAB (Mathworks、版本R2012b [55])的最小二乘拟合常规fmincon优化工具箱。适合使用此策略是对部门的一半。其他5,模型高估了最初感染的水平。这些部门四人均感染率最低图4和Sud也相对较低。由于这个原因,包括作为拟合参数,它代表了疾病传播率从感染者到水。大概这个速度降低管理良好的地区提供处理过的水和变量按地区也是如此。这个新的配件导致更适合所有部门(图5)。一个穷人适合再次的首都太子港模型高估了最初的感染,上面给出大概出于类似的原因。然而,这里的最后几个月仍然关闭。

这些结果表明,我们的模型可以用来研究和预测霍乱疫情在海地和其他社区霍乱流行,符合其他研究的海地霍乱疫情51,56- - - - - -59]。

6。讨论

动力学和控制水源性疾病的干预策略均匀混合的人口一直在探索。我们的分析表明,有用的信息有关的动力学和控制水源性疾病可以通过分析获得适当的流行病学模型。

没有任何控制干预策略,无病平衡点全局稳定的显示有可能水传疾病的根除感染社区无论初始大小的人口提供基本的繁殖数量 。这可能发生,如果个人在社区开始实践健康生活远离被污染的水,开水喝之前,适当的污水处理,等。相反,如果基本的繁殖数量大于团结疫情趋势可能会持续到整个人口。确定这种爆发疫情的可能规模增长速度和最终爆发规模也进行了计算分析。在这种情况下,任何疫情将很难管理没有有效的控制措施。

接下来,扩展模型通过引入多个控制干预策略:接种疫苗,治疗,和水净化。分析多个控制模型表明,引入多个控制措施可以减少疾病的传播产生重大影响的流行和暴发的流行阶段。单引号和双控制策略的分析表明,考虑任何控制比没有好。然而,多个控制措施产生最大的影响在减少感染。

鉴于水源性疾病与贫穷,我们使用我们的模型来讨论两种方法减少对社区水源性疾病的传播,可能不能多个控制措施。第一种方法找到最有效的控制涉及一个或两个控制措施。通过比较这些不同层次的控制,可以开发一个有用的指南来帮助社区选择一个负担得起的选择。例如,在上面的例子中,一个水净化的控制可以减少感染的数量超过接种疫苗和治疗的结合。同时,接种疫苗+水净化的双重控制措施几乎相同的影响使用多个控件。

另一种方法来帮助社区决定最有效的控制方法是使用最优控制分析研究如何减少疾病的传播与最低成本。这些分析的结果表明,这是最佳的引入有效控制疫情爆发的措施。这个结果同意现实的期望,因为采取有效控制措施在疫情的爆发会减少最初受感染人群的数量,从而降低整体支出控制疫情。

最后,我们使用海地霍乱疫情模型验证。我们的模型拟合的报告病例在海地霍乱在所有的部门。因此,我们的模型可以用来研究,以及使未来的预测,水源性疾病的动力学在海地和其他社区有水性疾病暴发。

尽管这项研究提供了新的见解的动力学和控制水源性疾病的干预策略均匀的人口,它有一定的局限性。首先,人口总数是假定为常数。这并不总是真的在现实生活中尤其是爆发,持续很长一段时间。在疾病传播也认为同质性,但也不总是如此以来异质性是一个重要的组成部分,影响疾病流行病学和已被证明动力学(19,20.]。在现实中,个人在任何社会属于不同社会经济类和可以从一个地方迁移到另一个,从而影响疾病的传播。然而,作为第一步这里给出的模型使整体的角度来看,可以指导疾病管理。这些模型还指出前进的道路的重要性的方法。改进通过更复杂的模型,消除限制假设可以遵循从自己未来的工作和其他科学家。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者要求博士j .天山俄亥俄州立大学。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是基于研究支持部分由南非国家研究基金会(授予号。98892年和85494年)。这在一定程度上构建之前的工作未发表的博士论文(60的作者之一。教授Keshlan s Govinder感谢他输入的博导Obiora柯林斯和工作在他的论文。作者感谢博士j .天山,俄亥俄州立大学,和他的研究小组,提供他们与海地的数据来验证模型。

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