注意在卡普托的导数算子解释经济

文摘

我们提出经济想法的部分衍生品,包括修改卡普托的分数导数算子。建议经济解释是基于一个泛化的平均计数和边际价值的经济指标。我们使用的概念 分析了经济性能与存在的记忆。经济主体由于复发的反应相同的变更是最小化通过修改卡普托导数算子的秩序而非整数阶导数 。双方卡普托的导数是表达的一个简短的时间线上。衰减的程度进一步沮丧涉及修改卡普托的运营商。

1。介绍

分数微积分是数学领域的研究源于传统的微积分定义积分和导数运算符一样的分数指数是整数值的指数的一个结果。分数阶微积分诞生发生在g·f·a·德洛必达的来信g . W莱布尼兹在1695年提出一个可能的问题“如果导数的顺序这样 ”,他的回答他写道“这将导致一个悖论,从这一天有用后果将”;更多细节,请参考一本书的m·森(1,1页)和马查多一篇文章(2]。引用对话的两个著名数学家唤起兴趣的理论研究者和noninteger订单进一步开发,推广,和由著名数学家如黎曼,刘维尔,L欧拉,Letnikov,格伦沃尔德,Marchuad,韦尔,黎兹,卡普托,亚伯,和其他人;见,例如,(3- - - - - -6]。部分衍生品和分数积分有广阔应用领域的物理、力学、工程和生物学(7,8]。最近的进展,部分衍生品和分数积分应用于叙述金融过程(9- - - - - -11)和经济进程与内存(12]。部分衍生品和部分集成在许多方面已经解释,比如几何解释(13- - - - - -16),单位信息化解释(17),和经济解释(18]。一些现代的分数导数的定义和分数积分是应征加入下一节。

2。现代的分数阶微积分的定义

定义1。黎曼的分数积分定义的顺序 作为

定义2。Riemann-Liouville的分数阶导数定义的顺序 作为

定义3(见[20.])。阿贝尔积分方程的秩序是由

备注4。值得注意的是,亚伯是第一个使用分数微积分 和解决了著名的等时曲线问题20.,21]。更多细节问题的解决方案和摆线动画曲线(19)见图1。秋天的总时间 是 这是实际上的应用部分的积分 ,摆线方程在哪里吗

3所示。经济意义的衍生品

在阐述经济部分衍生品的意义之前,我们把经济标准的一阶导数的概念。的经济迅速的一阶衍生品展示变更的经济指标对研究因素假设其他因素保持不变。指标定义的函数的一阶导数的边际价值指标。边际价值是通过相应的增量价值指标单位增加的决定因素。在经济研究中,校长的边际价值指标是边际产量,边际效用,边际利润,边际成本、边际收益、边际消费倾向于储蓄和、边际税率、边际需求,和一些其他人。 经济过程是由边际和平均值计算的指标视为一个函数的因素。根据标准的平均值和边际价值指标的定义,应该是一个单值函数 在哪里依赖经济指标的一个因素 。平均值的指标是由 经济的边际价值的定义由一阶导数给出的指标(6),应该是一个单值函数。 在哪里依赖经济指标的一个因素 。

数学,如果依赖 成正比 然后边际,平均值是相同的,这样 。

备注5。图形的分析给出了一个示例图如图2选择从[22)显示了边际成本和平均成本之间的关系;也看到[23]。(1)当平均曲线上升 所以产品应该减少。(2)最低,平均曲线时 ,显示的平均峰值的产品。(3)当平均曲线下降 所以产品应该增加。

在[18),Tarasova和Tarasov规定条件的适用性(8),它定义了指标下的边际价值假设一个指标必须表示为一个单值函数。一般来说这种假设是无效的(18]。下面是两个的例子(18多值依赖的一个指标在一个因素 ,而涉及第三变量的时间()和指标和因子的功能 。 和第二个例子 适当注意上面的表达式是最简单的多项式近似相关的“真正的改变美元−卢布汇率”(24]。

注6。图在图3清楚地显示的值对应的多个值在许多情况下,这违反了函数的唯一性。

所以,公式加入了(7)和(8)并不适用于确定的平均和边际价值指标,依赖的因素不是一比一。因此,对于这种类型的经济分析需要考虑的指标和因素作为时间的单值函数。因此指标 在一个因素 ,然后申请(7)和(8),我们得到 让时间的平均价值和边际价值 ,我们有 提供 和 。

表达式(8)和(16)是等价的,服从链式法则的依赖在价值可以表示为一个可微函数 。可能只有在函数 是可逆的,因此(7)和(15)必须是等价的。

在微分学的研究,16)可以被认为是一种广义的参数指标的导数 的一个因素 在时间 ,如果 。重要的是要注意,16)的标准定义参数的一阶如果函数的导数 有一个逆在附近吗 和一阶导数存在的功能 , 。因此,表达式(7)和(15)不能被用于这些依赖项;然而,(15)和(16)可用于参数依赖关系由(9),(10)和/或(11),(12)。所以,我们可以说,(16)与边际指标相关承认的一阶导数作为增长指标单位增加的因素在给定的时间点 。

值得一提的是,违反指标函数的单值属性是由于过去(经济过程中存在的内存12,18,25]。经济主体的记忆影响边际指标 并且可以依赖的变化和在有限的时间间隔 。指标的平均值和边际值(16)只取决于给定的时间 和它的小社区。由于明显的重复类似的变更的指标和因素经济主体可以在这些相同的变化做出反应。它是可以避免的,可应用于只有当经济主体处于压抑状态,因此这种方法不能总是在实践中进行经济分析。这种方法在数学上是由于应用整数阶导数进行经济分析。动机是涉及到一个更小的程度上获得修改指标函数的边际价值把过去的记忆的镇压;参见[18比较建模。

4所示。修改卡普托衍生品运营商参与经济

卡普托的分数导数是一种最常用的分数阶导数的定义以及其他分数微积分等 , (26]和Caputo-type修改Erdely-Kober部分衍生品。这里有必要提到Caputo-type修改Erdely-Kober Luchko和特鲁希略在2007年提出的部分衍生品;参见[27,28定义如下。

定义7(见[27])。让 和 。运营商和,分别称为左手和右手站Caputo-type Erdely-Kober部分衍生品的修改订单吗和 ,分别为: 在哪里和的订单和 ,分别称为左手和右手站Erdely-Kober分数积分定义在[27]。

卡普托方法经常出现而建模应用问题的积分微分的方程。因此后续前面讨论的,经济主体经济分析可以对相同的反应变化,这是由于使用整数阶导数。在延续,noninteger导数概念的顺序(3,6,29日自然科学中用于描述过程与记忆。最近,分数阶衍生品被用来概述财务流程(12,18,25]。然而在本文中,我们调查的参与修改卡普托部分运营商(30.,31日我们的结果)。我们想强调双方卡普托time-fractional导数的一个短暂的时间线(见图4)。我们使用左边卡普托的导数的概念对我们的结果,从概念(1,p . 5)。

定义8(见[32])。“左边卡普托分数导数的秩序“定义如下:

卡普托的导数 的功能:

定义(见[931日])。让 分析和归一化函数。然后修改卡普托的导数算子被定义为 在哪里 和

备注10。请注意, 和 。

定义(见[1131日])。“特殊情况修改卡普托的导数算子”定义如下:让 在定义2;我们获得

卡普托的分数导数算子表示的修改常数项和省略 ,从(21)通过使用(22)的关系功能和函数(33),我们获得的幂函数修改卡普托分数导数算子的秩序 (一样(20.));在下列表格,见下面的细节的操作符(30.]。 在哪里 。

评论12。注意,上面的权力形式的修改卡普托分数导数对应于幂函数研究了鲁宾&文策尔(1996);参见[34),“这是记忆任务时间准确性是由 ”。

为 ,(24)成为

考虑内存的影响在经济过程中边际的广义概念和指标的平均值卡普托左边的导数 是由 在哪里 经济指标, 是决定因素。上述方程显示了经济指标在时间 与记忆,范围经济过程,是左边的导数点菜了吗 给出了定义8。的参数 划定了记忆的抑郁程度指标和因素的变化区间 。

经济研究研究表明,记忆效应会导致异常的经济增长。记忆效应的下降 导致经济增长放缓的输出与标准模型没有记忆;另一方面,降序排列的 可以给产出快速增长,经济增长模式的更多细节,请参见[35]。

例如指望变化边际值的结果,我们引入的修改卡普托的分数阶导数秩序 : 在哪里给出的定义9或(24)。

的话13。请注意, 表达式(27)的分数阶边际价值相一致(26)和 它伴随着边际价值的整数阶(16)。

也可用来取代 经济指标。所以,使用(27)上面的表达式 在哪里 记忆的特征的抑郁程度的指标和因素的变化区间 。

为了数值分析边际值我们应用整数阶导数,卡普托的分数阶导数,和修改卡普托的分数阶导数,分别显示在即将到来的方程和制表。操纵(9),(10)和(16通过整数),我们获得的边际价值秩序: 使用(9),(10)和(20.通过卡普托),我们得到的边际价值的分数阶: 利用(9),(10)和(27通过修改卡普托),我们得到的边际价值秩序的运营商 : 在哪里 现在的不同的选择 边际值通过使用修改后的表达式(卡普托的运营商31日)表1。

备注14。的锐化行为可以从分数值(表1), (之前的无穷小附近1)导致最大的边际价值,另一方面 (无穷小附近在最低边际价值)结果。注意,两个整数的值 在哪里(间隔)显示异常的性格。

的一些关键笔记如下:(1)方程(15)指标的值的平均值乘以0,指标和因素 。(2)方程(16)的边际值指标只有值的指标和因素 。(3)提出的经济指标(27)允许我们描述的依赖经济过程从所有国家的变化在一个有限的时间间隔 。(4)附加参数 降低的速度过去记忆指标和因素的变化区间 。

5。结论

我们使用一个修改卡普托对整改的部分运营商的指标函数通过包括更小的程度 遗忘的记忆。影响经济主体的控制比较卡普托的分数导数的秩序 。

数据可用性

所有生成的数据或分析在研究过程中都包含在这篇文章。

信息披露

提出了本文研究的早期版本的“第一创新会议”2017年12月21日,阿曼苏丹国'Sharqiyah大学伊布。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。所有作者同意手稿的内容。

确认

这里的工作是由UKM格兰特gup - 2017 - 064。

引用

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