文摘
十字路口的图最小数量的边缘交叉的画吗在一个平面上。在本文中,我们描述的方法找到看固定的约束线性交叉的数量。我们认为冲突图的。然后,而不是减少数量的交叉,我们表明,它相当于最大化减少的重量。我们制定最初的问题到MAXCUT问题。我们认为MAXCUT问题的半定松弛。情况的一个例子超立方体是显式地获得一个上界。数值结果证实了近似的有效性。
1。介绍
让是一个简单的连通图的顶点集和一个边集。十字路口的图,表示的最小数量成对边缘交叉的路口在飞机上画的图。很明显,当且仅当是平面的。众所周知,任何的确切数字交叉图很难计算。1973年,鄂尔多斯和人1)写道,“几乎所有的问题可以询问跨越数字仍未解决的。”事实上,Garey和约翰逊(2]证明计算穿越号码是np完备性。
看画的表示在飞机上,这样它的顶点是直接放置在一个水平线根据固定顶点顺序及其边缘画一个半圆之上或之下但从来没有交叉。
的- - - - - -多维数据集或- - - - - -维超立方体 递归定义的笛卡尔的产品。一维数据集仅仅是在哪里是一个完整的图顶点。为,是递归地定义为。的顺序是和它的大小是。自是平面的,所以对于每一次这样的。Eggleton和人3)表明,但是未知的。
它实际上是由Eggleton和人3超立方体的跨越数字)(non-2-page)是
然后,在1973年,鄂尔多斯和人1在()推测平等1)。1993年,一个下界由图片证明,传闻(Vrt4]:
2008年,法等。5)构造一个新的画在平面上导致推测过境点的数量 我们所知,固定线性交叉数还未确定。在本文中,我们讨论一个方法来得到一个近似固定线性交叉数超立方体图。
2。看图纸的超立方体图
在这篇文章中,我们考虑超立方体图的顺序。自是递归地定义为,因为,在那里是一个简单的图2顶点与单个边缘事件这两个顶点,有2份他们之间有边连接。给一个固定的顺序的顶点标记和第二个顶点标记。之间的两个顶点第二个是相邻当且仅当之和标签是什么。数据1和2当前的排序和在本文,我们考虑。请注意,我们的方法是独立的顶点顺序;因此,对于一个固定的,我们可以应用的方法次以获得看线性交叉数。
看画的可以表示为图的顶点在一个水平线根据一个固定的顶点顺序。每条边完全包含的两个尖端(页面)作为一个半圆,不要交叉。注意,没有边缘穿过本身,没有相邻的边缘相互交叉,没有两条边交叉不止一次,没有三个边缘交叉的观点。
对于一个给定的看画的与固定顶点顺序,一对边缘和是潜在的交叉和相互交叉当路由的同一侧。很明显,和潜在的交叉当且仅当吗或。
接下来,我们给冲突图的定义的图。
定义1。给定一个图。我们定义一个相关的冲突图的图。有相应的一对一和组之间的映射和。两个顶点的如果任何两条边是相邻是潜在的交叉。
例如,根据给定的固定顶点的顺序(见图3),是一个图节点,。和在相邻的因为和潜在的交叉在看画的。一个固定的顶点的顺序和其潜在的交叉图中可以看到4。
在本文中,我们只在固定的线性嵌入感兴趣。之间有交叉和当且仅当和潜在的交叉和嵌入在同一边的。我们可以看到边缘交叉的数量取决于顶点的顺序和两边的边缘被分配。
看线性交叉的数量,用的最小数量成对的边缘交叉路口由看画的。看固定的线性交叉的数量是成对的最小数量的边缘交叉路口由看画的与固定顶点的顺序。众所周知,为,为
3所示。减少MAXCUT问题
在本节中,我们表明,该问题可以减少最大减少问题。接下来,我们减少固定线性交叉问题的最大削减问题(MAXCUT)。MAXCUT问题如下。
最大割问题(MAXCUT)。给定一个无向图边缘图的非负权重。最大的问题是找到减少可能的重量,也就是分区的集合成不相交的集和这样所有边缘连接的总重量和(即。,with one incident node in另一个)尽可能大。
MAXCUT问题,我们可以假设权重定义为每一对指标:它就可以设置对双不相邻的节点。未加权的图,我们假设为。
让是一个固定的顶点排列图。给定一个顶点分区冲突的图,相关的嵌入是固定的线性嵌入在边缘对应和嵌入到一半顶点线上方和下方空间,分别。
引理2(见[6])。 在哪里是一些潜在的交叉的看画的的边的数量。maxcut的大小吗。
证明。鉴于看(圆)的,定义和弦中画圆。的边缘正是一个端点现在对应的边缘画不交叉。
定理3(见[7])。考虑一个分区的。然后相应的嵌入是一个固定的线性嵌入最小数量的口岸当且仅当是最大削减。
证明。让的边缘与一个端点和一个端点,即削减的。根据定义的,我们知道有你的每一个路口的嵌入与减少对应的边缘这样既属于其端点或者两者都属于,也就是优势。因此,过境点的数量。作为是一个固定的常数顶点排列,结果。
定理3减少了固定线性交叉问题最大数量削减问题(MAXCUT)。在下一节中,我们描述的放松MAXCUT导致半定规划问题。
3.1。制定MAXCUT半定松弛
在本节中,我们表明,看穿越的超立方体图的问题可以通过计算获得MAXCUT半定松弛。
首先,我们介绍的邻接矩阵表示我们知道这是一个矩阵的性质
从我们构建的冲突图表示。最后,我们执行MAXCUT图。我们用半定松弛MAXCUT近似最优值解的问题。显然,近似大于实际MAXCUT最优值。放松是严格的可行性比原来的大。
根据(2),可以制定MAXCUT问题如下: 我们所说的最优值(6)”选择。“那么,放松(6)可以写成 在哪里是一个邻接矩阵的和半定松弛是一个可行的解决方案。问题(7)等价于 在哪里是一个给定的邻接矩阵的和半定松弛是一个可行的解决方案。我们所说的最优值(8)“SDP。”
正如我们所看到的关系(4),我们让是看图纸的许多潜在的交叉与我们的固定顶点顺序(即,的边的数量吗)。
我们可以确定通过考虑上邻接矩阵的主对角线的一半。
定义4。让是邻接矩阵的。的元素在哪里被称为小邻接矩阵的对角线和元素在哪里被称为半短对角线的邻接矩阵的,用。
为简单起见,大小的是一个数字的元素。让图的邻接矩阵。因此是对称矩阵。很明显,的大小是。
让和是图的邻接矩阵和分别;我们说之间的潜在交叉的数量和,用之间的潜在的交叉,只是看画的图和。邻接矩阵的大小的关于我们的订购是呈现在图5。
引理5。对于任何一个整数, 在哪里。
引理6。对于每一个邻接矩阵,,在那里,存在邻接矩阵,,这是一个的子矩阵嵌入。子矩阵的数量嵌入在是。
引理7。对于任何一个整数, 在哪里。
引理8。对于任何一个整数, 在哪里。
引理9。为块的数量嵌入在=,。
引理10。对于任何一个整数,
证明。潜在的数量之间的交叉和是潜在的交叉数的结果之间的所有元素在和。也就是说,
定理11。对于任何一个整数, 在哪里是潜在的交叉的数量看画的与我们的固定顶点顺序。
证明。我们证明这个引理通过考虑潜在的交叉看图纸的与我们的固定顶点顺序。自有的副本他们之间有边连接,潜在的交叉的数量是两次的结果的潜在交叉的数量吗在一起和。
因此,它足以表明,潜在的数量之间的交叉看画的和等于,在那里
请注意是所有子矩阵之间潜在交叉的数量和之间,也和。的前题6和9,
我们用数学归纳法在之前。为,它可以很容易地看到通过计算。假设(15)是正确的,现在我们考虑之间的许多潜在的穿越所有的子矩阵和之间,也和。的前题5,6,7,9,8,10,
下一个定理表明有效的放松。
定理(见[128])。让选择MAXCUT问题的最优值和SDP是半定松弛的最优值。然后
定理12保证MAXCUT接近最优值的最优值的半定松弛。从(4),我们有 在哪里是一些潜在的交叉的看画的。是看固定的近似线性交叉的数量和是一个近似的。
推论13。让是一个近似的。然后我们有 在哪里是一个可计算的数量取决于什么。
证明。从(4),(18)和(19),我们有
让可计算的数量取决于。
然后,
必然的结果13显示的上界是,在那里是可计算的数量取决于什么。
3.2。实验结果
在本节中,我们考虑超立方体图为。然后,我们举些例子的近似半定松弛的问题形式(8)。我们接近这个问题通过MATLAB程序与一个叫做“SeDuMi的优化工具箱。“SeDuMi一揽子解决优化问题与线性,二次,和半定约束。
在表1第二列显示,数值结果的近似MAXCUT相关的冲突图利用半定松弛。众所周知,这个问题可以在多项式时间内解决。第三列显示的数量的潜在交叉看画的指的是我们的固定顶点顺序评估(14)。注意,这种潜在的交叉看图纸的是精确值。从(19),我们计算看固定的近似线性交叉的数量为。结果显示在最后一列。
在表2,我们的下界,的上限,。第二列显示的值为。我们看到,随着获得更大的价值倾向于不断下降。有趣的是研究的行为作为。它并不意外发现我们近似是严格大于的上界(14),因为后者没有限制,所有的顶点都必须放在一条直线。然而,令人惊讶的是,这些数字不是很不同。
4所示。结束语
本文给出图,我们将展示如何将冲突图构造。我们重新描述这个问题找到穿越的图MAXCUT问题。我们近似MAXCUT问题的半定松弛可以解决很容易通过一个标准的优化方案;在本例中,我们使用SeDuMi 1.02。数值结果表明合理的结果。显然,可以探索另一个放松的方法。此外,它很有趣的行为作为变大。可以进一步研究如何评估对于一个大。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者要感谢泰国RTA5780007和清迈大学研究基金项目,清迈,泰国,为金融支持。