文摘

光谱技术用于研究的几个网络属性:社区检测,分为两部分,集群、高度synchronizable网络的设计,等等。在本文中,我们调查哪种双环网络是由per-spectra。我们发现permanental光谱不能确定沙漏图。当我们限制考虑连接图或quadrangle-free图表,沙漏permanental谱图确定。此外,我们构建无数双per-cospectra双环网络。

1。介绍

承认在过去十年,光谱图有几个重要的在计算机科学中的应用。图光谱出现在互联网技术、模式识别、计算机视觉、数据挖掘、多处理器系统,统计数据库,和许多其他领域。例如,光谱滤波应用于网络结构的研究(1]。这种方法使用邻接和其他图的特征向量矩阵和数据集的一些集群由图表示。关于图的应用光谱的更多信息在计算机科学中看到2- - - - - -6),等等。

的永久的 矩阵 被定义为 和接管所有的排列在哪里 的 。勇敢的(7)表明,计算永久#穷举即使限制在(0,1)矩阵。

让 有一个图表 顶点,让 (0,1)-邻接矩阵的 。的permanental多项式的 ,用 ,被定义为 。的permanental频谱(简称per-spectrum)图 ,用 ,是所有根(连同他们的多样性) 。

两个图per-cospectral如果他们共享同一个per-spectrum。一个图表 据说是根据其per-spectrum(DPS)如果没有其他相同per-spectrum nonisomorphic图。

这图是由他们的邻接谱图的谱理论是一个古老的问题。van大坝和Haemers [8,9)给一个优秀的调查回答的问题的图是由多项式的光谱图。麦里斯et al。10这图是DPS)首先考虑问题。他们表明,五双邻接cospectral图(见[11DPS])。根据结果,他们制定per-spectrum似乎有点优于邻接谱时区分图表没有树木。事实上,描述什么样的图形是由per-spectra通常是一个非常困难的问题。到目前为止,只有少数类型的图表是DPS;参见[12- - - - - -17]。

一个双环网络是一个简单的连通图的边数=顶点的数量+ 1 (18]。的沙漏图是一个双环网络,用 每个吊坠,通过附加一个三角形顶点的路径 。陆et al。19]证明了沙漏邻接谱图确定。出于麦里斯的声明中et al .,一个自然的问题是是否由他们per-spectra沙漏图。在本文中,我们给出一个解决这个问题。

接下来,我们开始与一些定义和概念。让 是两个图形的结合 和 没有共同的顶点。对任何正整数 ,让 表示的结合 不相交的图的副本 。路径和周期 顶点用 和 ,分别。让 表示数量的 周期在 。

让 和 两个vertex-disjoint周期。假设 是一个顶点 和 是一个顶点 。加入 和 由一个路径 的长度 ,在那里 和 意味着识别 与 (见图,得到的图1),用 ,被称为 图。让 , , 有三个vertex-disjoint路径,在那里 ,最多就是其中之一 。识别的三个初始顶点和顶点终端,分别生成的图表(见图1),用 ,被称为 图。然后双环网络可以划分为两类:包含的类图 图作为诱导子图和类图,包含 图作为诱导子图。


图1
图和 图。

的子图 的 是一个萨克斯子图如果每个组成部分 是一个边缘或一个循环。麦里斯et al。10]作了修改(goldman Sachs)公式计算permanental多项式的系数图表。

引理1(见[10])。让 有一个图表 。然后 萨克斯和接管所有子图在哪里 的 在 顶点, 周期的数量吗 。

引理2(见[13])。让 有一个图表 顶点, 边,让 度的序列 。然后

引理3(见[17])。让 有一个图表 边,让 表示程度的三个顶点 th三角形 。然后

引理4(见[13])。以下可以推导出permanental多项式的图 :(我)顶点的数量(2)边的数量(3)三角形的数量(iv)的长度最短的奇怪的循环(v)最短的奇怪的循环次数(vi)是否 是由两部分构成的

2。沙漏图DPS

在本节中,我们将问题的解决方案,DPS是沙漏图?

检查图 图中所示2,直接计算产量 + 。这意味着permanental光谱不能确定沙漏图。检查图 同样,我们知道 没有关系,包含一个四边形。很自然的考虑问题,沙漏图DPS当我们限制考虑连接图或四边形免费的图,四边形-免费的图是不包含所有(即。,cycles of length 4). We will answer these questions one by one in the following.


图2
图 。

首先,我们给出一些引理将发挥重要作用的主要定理的证明。

引理5。让 有一个图表 顶点。然后 。

证明。由引理3证明是微不足道的。

引理6。让 有一个图表 顶点。然后 th系数 是

证明。假设 是奇数。然后(goldman Sachs)的子图 在 只是 。由引理1,我们有 。否则,如果 是偶数,那么(goldman Sachs)子图的顺序 在 是 和 。由引理1,我们有 。

引理7。让 quadrangle-free图 顶点。如果 ,然后的度序列 是 ,在那里 意味着 。

证明。假设度序列 是 ,在那里 , 都是整数。自 和 具有相同数量的边缘呢 由引理2,我们有 自 ,我们有 。通过一个简单的计算,我们得到 检查(8),很容易看到,如果 或 ,然后 ,一个矛盾。因此, 此外,如果 除了 ,然后 ,一个矛盾。因此 解联立方程(6)- (10),我们有 因此,学位的序列 是可能的 , ,或 。不难检查 满足知名握手定理。因此,序列的程度 是 。

定理8。限制考虑在四边形免费的per-spectra图表,沙漏图确定。

证明。让 是一个四合院,免费的图与 顶点per-cospectral与 。由引理7,我们知道的度序列 是 。然后 是同构的 或 ,在那里 表示的结合 不相交的周期 的长度 。以上,这意味着 。不难看到,如果 ,然后 是同构的 。所以,假设 并考虑以下两种情况。
案例1。假设 是同构的 。我们进一步讨论以下三个子用例。
子用例1.1。确切的一个两个三角形属于二环的组件。然后 为 , 。由引理3,我们获得 。由引理5,我们有 。这与假设 和 per-cospectral。
子用例1.2。两个三角形属于二环的组件。然后 。如果 ,然后 是同构的 。接下来,我们假设 。的结构 和引理1,我们可以获得 当 甚至, 当 是奇数。由引理6,这是一个矛盾。
子用例1.3。这两个三角形属于二环组件。然后 为 。由引理3,我们有 。所以, 。这与假设 和 per-cospectral。
案例2。假设 是同构的 。我们进一步考虑以下三个子用例。
子用例2.1。确切的一个两个三角形属于二环的组件。然后 为 和 。的结构 和引理1,我们可以获得,如果 是偶数,那么 ;如果 是奇数,那么 。由引理6,这是一个矛盾。
子用例2.2。两个三角形属于二环的组件。然后 ,这是一个矛盾 作为一个quadrual -免费的图。
子用例2.3。这两个三角形属于二环组件。然后 为 , 或 , 。由引理3,我们有 。由引理6,我们有一个矛盾,这个定理。

定理9。限制考虑连接图,per-spectra沙漏图确定。

证明。让 是一个连通图, 和 ,让 per-cospectral有 。由引理4, 是一个双环图有两个三角形,必须包含一个沙漏图的图同构 作为诱导子图 (同构 图的时候 和 )作为诱导子图。
假设 同构的图包含一个沙漏图吗 作为诱导子图。然后 不含所有。由引理7, 必须同构沙漏图吗 。
在下面,我们将证明 同构图形包含吗 作为诱导子图。
假设 是偶数。由引理6,我们知道 。这意味着,通过引理1,这 必须有奇怪的完美的匹配。检查的结构 ,我们看到, 最多有两个完美的匹配。所以, 只有唯一一个完美匹配。这意味着所有三角形或4-cycle 不是一个组件(goldman Sachs)子图的顺序 。因此,完美的匹配 萨克斯是一个独特的子图的顺序 。由引理1, ,这与这一事实相矛盾 。
假设 是奇数。由引理1和检查的结构 ,我们知道(goldman Sachs)的子图 在 只有一个三角形和一个完美匹配的联盟吗 删除所有边的三角形。然后 。这与 。
这就完成了证明。

对于任何双环网络,很难讨论是由其per-spectrum。我们可以建造无数双per-cospectral双环网络。让 是一个任意的图像与一个固定的顶点 ,让 表示的聚结 和 关于 和 ,从获得的图 通过识别 和 。同样,我们定义 。Borowiecki [20.)表明,如果两个 和 那么,per-cospectral吗 和 也per-cospectral。作为一个例子,让 双环网络图中描述3。作为 和 同构,per-cospectral。由上述结果Borowiecki [20.),为任何图 ,两个 和 per-cospectral。


图3
双环网络 。

3所示。总结

Per-spectra光谱图的一个重要组成部分。在本文中,我们讨论permanental光谱双环网络的性质。我们没有一些限制表明,双环网络不是DPS。特别是,我们发现一双per-cospectral图表。结合陆等人的结果。19),我们的结果(定理8和9)超出麦里斯等人的想象力。最后,我们提出了以下猜想。

猜想10。沙漏图的完美匹配的DPS。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

作者感谢顺义刘博士提供图2。作者支持青海NSF (2016 zj - 947 q)和高层次人才科研项目QHMU (2016 xjg07)。