文摘
有限元解不稳定的磁流体动力学(磁流体动力)导电流,过去不可压缩粘性流体通过多孔介质在两平行板之间提出了横向磁场和霍尔效应的存在。有些测试用例的结果然后比较与先前发表的工作使用有限差分法(FDM)。数值例子表明,有限元方法(FEM)给出了更精确的结果相比,有限差分法(FDM)。
1。介绍
磁流体动力学的理论研究(磁流体动力)流问题是经常遇到在核反应堆冷却系统,磁流体动力发电机,血流量测量,泵和加速器。
由于耦合电动力学和流体力学方程的精确解是可能只有一些简单的情况。通过使用几个数值技术,如有限元方法(FEM),有限体积法(有限体积法),和边界元法(BEM),磁流体动力流问题的近似解。
Gapta和辛格1)获得了非定常流在一些特殊情况下的精确解。Ram和Mishra [2)调查了非定常流通过磁流体动力多孔介质。辛格和拉尔3]研究了时变磁流体动力流方程组的有限元解。Ram和耆那教(4)讨论磁流体动力自由对流流在旋转流体通过多孔介质。Reddy和Bathaiah5]分析了大厅对磁流体动力流经连续多孔通道的影响。李和Dulikravich [6]提出了FDM方案三维磁流体动力不稳定流动和温度场。张文雄,林7)提出了一个convection-diffusion-reaction模型求解不稳定的磁流体动力流使用FDM方案。稳定的有限元三维时变磁流体动力流方程组的解是由本•萨拉赫和et al。8]。Chauhan和Rastogi9]研究了大厅对磁流体动力滑流和传热的影响通过一个多孔介质在加速板旋转系统。萨哈和Chakrabarti10)研究磁场强度的影响在磁性流体流经一个通道。Moniem和Hassanin11)已经开发出一种解决磁流体动力流过去的垂直多孔板振动吸下通过多孔介质。Sa 'adAldin和Qatanani12)研究了磁流体动力不稳定流过两个平行多孔平坦的盘子。Sivaiah和Srinivasa-Raju13]讨论了有限元解的传热传质磁流体动力流过去的粘性流体振荡吸入速度下竖直板。Yuksel和英格拉姆14)研究了有限元的数值分析方法,Crank-Nicolson离散化对磁流体动力流小磁雷诺数。求等。15)已经开发出一种有限元模拟和网络电子旋转的磁流体流动非线性多孔介质与斜磁场和电流。Sa和谐Aldin和Qatanani16]研究分析和有限差分方法求解不稳定的磁流体动力流过多孔介质的两个平行平面板之间。
在这部作品中,有限元解不稳定的磁流体动力学(磁流体动力)导电流,过去不可压缩粘性流体通过多孔介质在两平行板之间的横向磁场和霍尔效应被认为是。之间的比较研究进行了有限差分和有限元的解决方案。案例研究分析与有限元法(FEM)和有限差分法(FDM),即提出的隐格式(16]。发现有限元法(FEM)更准确的解决这些类型的问题。
2。配方的问题
我们考虑一个导电的非定常流,过去不可压缩粘性流体通过多孔介质与霍尔效应两个平行板之间。让设在沿着板块设在板是正常的。液体受到恒定横向磁场的强度在与流动方向,正在考虑方向,如图1。不稳定的控制方程,导电流体的粘性不可压缩流达西Brinkman-extended模型如下(2]:
连续性方程是
运动方程是
广义欧姆定律
高斯定律的磁性 在哪里是速度矢量,是流体密度,的压力,是电流密度,是磁矢量,粘度系数,导电性,是介质的渗透性,频率是电子,电子碰撞时间,电荷,是电子数密度,电子压力,是电场。
我们假设可以忽略不计,磁雷诺数很小所以磁感应效应被忽略。此外,在没有压力梯度的情况下,离子滑移效应和电子压力梯度,我们有
盘子是无限的,没有依赖。因此,(2)和(3)采取以下形式: 在哪里是轴向速度,是运动粘度, 是大厅参数。初始和边界条件
在引入无量纲量, 在哪里哈特曼数量,是达西参数,是流体的平均速度。然后,偏微分方程(10)的初始和边界条件(11)成为 的初始和边界条件:
由于(14),压力无关;然后它是一个函数只有。在这种情况下,我们可以以压力梯度为常数数量;也就是说, 在哪里 ;因此,(13)成为 的初始和边界条件: 在哪里 。
3所示。有限元方法
3.1。和伽辽金变分公式近似
无因次偏微分方程(17)受初始和边界条件(18)是通过加权残伽辽金有限元法解决。推导一个加勒金计划的标准方法是两边的17通过一个测试函数) 域和集成 在哪里
分部积分,我们获得 在哪里表示内部产品和 为 。
我们将近似的解决方案(21)假设和躺在有限维子空间为每一个。让 为 和假设集 是线性无关的。此外,让一个分区的时间间隔进小区间 。现在我们定义了有限维空间跨越的 作为 为此,近似解是 插入(23)(21)并选择试验功能的基函数常微分方程,我们得到一个系统: 在哪里 和 。在这里刚度矩阵和吗Mas矩阵定义,分别吗 与 在通常的有限元基础对应分区。因此,要计算刚度矩阵的条目接下来,我们需要确定。
在这里 然后 在哪里 。
3.2。时间步进
在本节中,我们考虑的讨论时间。我们第一次离散化的时间间隔 为一个统一的网格尺寸 。近似导数(24)在时间层面由Crank-Nicolson方案 ,我们有 然后,我们重写Crank-Nicolson方法
因此,我们有完整的离散化,就是空间和时间离散化的组合:
4所示。数值结果与讨论
显示在前面部分所描述的有限元法的效率和画一个比较FDM,我们给出一些例子。这些测试是选择存在解析解为他们给一个显而易见的方法提出了工作的概述。
算例1。应用有限元方法和有限差分法,我们考虑下面的测试用例的值
,
,
,
,
固定的,
。接下来,计算矩阵
,在(28),(29日)和(30.),分别用于(32)获得速度
。
表1比较准确的速度值
与有限元法和FDM值(更多细节的精确和FDM解决方案,参见[16])。进一步比较准确,有限元,FDM值速度可以观察到图2。的情节绝对误差导致有限元图中可以看到3。图4从有限元法获得比较绝对的错误和FDM的解决方案。
算例2。至于另一个测试用例,我们需要 , , , , 固定的, 。图5比较准确的,有限元,FDM速度值。图6提出了一个阴谋绝对误差导致的有限元法。比较从有限元法获得绝对的错误和FDM方案图中可以看到7。
5。结论
磁流体动力流问题,在物理和工程有非常重要的地位,通常是很难解决分析。因此,它需要使用计算方法得到近似解。在这部作品中,问题的不稳定的磁流体动力流经多孔介质在磁场的存在两个平行平面板之间已经调查,使用有限元法解决。
比较FFM和FDM进行了。确切的结果,使用有限元法计算结果表明在封闭的协议。这显然可以看到数据2,3,5,6。算例的结果表明,FFM比FDM(参见数据更准确4和7)。这一断言的能力和可靠性的有限元解决这些类型的问题。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。