文摘

一些新奇的旅行波和特殊解决一维杆和梁的非线性动态方程幂律的材料是在封闭的形式。旅游解决方案代表了电波传播的高海拔而不改变形式。这些波像通常的扭结波,除了他们不具有有界海拔。特殊解决方案满足一定的边界和初始条件提出了演示材料的非线性行为。这个注意展示了明显的线弹性和非线性塑性波之间的区别。

1。介绍

自由振动棒和幂律束材料被认为是。分析行波解波动方程的幂律材料(见[1,2])了,它代表的扭结波单一的海拔,传播而不改变形式。结果表明,与线性材料的波方程不同,非线性波方程不允许任意行波在无限杆或梁形式。结果表明,旅游方面的海浪可能或磨平波速度增加根据幂律指数和体积弹性模量。为 波前锐化,而为 ,战线平波的速度增加。解决方案也证明了非线性波旅行的速度不仅取决于材料性能也在最初的能级。众所周知,波的速度线性弹性材料( 胡克定律)只取决于材料特性相反的波在非线性材料。据我们所知这些解决方案不可用在文学,尽管有大量的研究论文和书致力于发现和研究波在弹性和塑性固体(见[旅行3- - - - - -7]详情)。在棒和束有限长度的情况下,我们还存在一些特殊的解决方案满足一定的边界和初始条件。封闭公式解决方案表达的非欧几里得的正弦函数(cf。8]),不同于欧氏正弦函数对应于海浪在棒和束线弹性材料。

注意的是组织如下。节2介绍了幂律本构应力-应变方程。节3,潜在的能量和波方程的推导幂律材料了。在部分4和5封闭形式的解决方案。最后总结了结果部分6。

2。Hollomon方程

众所周知,在单轴状态,以下幂律用于某些弹塑性材料应力应变关系: 在哪里轴向应力,是轴向应变,和工程常数的值取决于特定的材料。令人满意的材料(1)有时也被称为Ludwick或Hollomon的材料在文学(cf。1,2])。许多金属热处理是众所周知的幂律的材料。对于一个给定的退火金属或合金,和取决于热处理由金属或合金接收。的值通常是在和这种金属。全面的实验值的列表和常见的退火工业金属,例如,(9]。对一些地质材料,如某些岩石或冰,然而,的值大于。在一些生物组织,实验也表明,幂律指数满足 等骨头胫骨和股骨, 颈总动脉、腹主动脉等软骨(见,例如,10,11])。对于一个给定的值 定义的应力-应变曲线(1)可以导致快速增加小压力的屈服应力或应变硬化。然而,它可以相反的值 ,大型菌株产生小的压力或软化。由于这些原因,被称为应变强化和应变软化指数。这些金属热处理的力学性能的研究是非常重要的行业(见,例如,12),对梁的应力分析列Ludwick材料)制成的。如果我们允许 ,然后(1)降低为线性弹性材料和胡克定律常数也称为体积弹性模量,等于相应的杨氏模量。幂律材料是一个更一般的类的一种特殊情况的材料称为亨奇塑料(13]。身体上,本构方程(1描述了材料的硬化或软化表现出弹塑性转变。在下面,粗体字母是用来表示向量或矩阵。一个向量是一行矩阵。一个矩阵的转置一个用,两个向量的内积u和v通过。时间导数用。让 表示位移向量, 应变分量,,,,,相应的应力分量。下列广义幂律可以来自亨奇总变形理论(13]: 在哪里 ,在那里,,材料常数;参见魏(14]。请注意,(3)的三维版本(1)。在接下来的两个部分,酒吧和光束的波方程的幂律导出弹塑性材料(3)和Euler-Bernoulli梁理论的假设。有类似的版本的广义幂律应变强化和应变软化材料的应力-应变关系的文学和类似的波动方程可以派生(见,例如,15- - - - - -20.])。

3所示。非线性波方程

幂律的势能弹塑性体占领一个三维的身体可以被定义为 在哪里 和 。拉格朗日能量函数等于动能-弹塑性势能加上工作通过外力来完成。它可以写成 在哪里是密度, 速度, 身体力量, 表面力。见,例如,(21),一个标准的定义。无限的单轴杆长度和横截面积受轴向力和零表面力, , , , , 。无限的欧拉梁长度,假定位移满足的组件 , , , , 。因此 , , 酒吧的潜在能量和光束 分别在哪里 是广义的第二梁的惯性矩。的设在了是酒吧和梁的轴向方向。杆和梁的有限长度,对应的拉格朗日函数代替和在(6)和(7)和,分别。注意,假设了在这一节中对梁的弹塑性酒吧和标准经常假设为弹性酒吧和梁(见,例如,22,23),以获得详细信息)。相应的弹性酒吧和梁对应的线性波动方程 已经被广泛的研究。

出于完整性的考虑,波动方程的推导过程中给出的幂律材料(14这里概述了)。众所周知,哈密顿原理寻求一个平衡状态与时间有关的机械系统(见,例如,21])。

具体来说,哈密顿原理要求我们寻求一个位移因此,任何时间间隔, 和 所有位移的形式, ,在那里是任意的实数,第一个变化的能量功能满足 对所有令人满意的 和 结合 被称为一个容许位移的机械系统,因为它需要满足一些边界条件。它可以表明,如果位移满足(8)的哈密顿原理,那么它也必须满足一个微分波动方程在特定条件下。特别是,假设横截面积,用,是一个非零常数,然后杆, 和相应的欧拉梁 当 ,(9)降低到标准弹性杆波动方程 和(10)标准为欧拉梁弹性波动方程 的数量减少第二惯性矩, 减少到当 在弹性梁理论,材料常数变成了杨氏模量线性弹性材料。在推导波动方程(9)和(10),我们假设的解决方案和连续可微的,适当的低阶导数有界或消失 。由(8),我们得到 利用分部积分和交换积分的顺序的 ,并假设 有界不断独立的吗和 统一在,我们得到以下: 从(13)。自,,是任意的, ,然后我们得到(9)(14)。相应的梁方程(10在()可以推导出同样的报告14]。

4所示。波旅行棒和任意长度的梁

在下面我们将得到一些行波解(9)和(10) 和 。据我们所知,这些解决方案是在文学,尽管有大量的研究论文和书用于旅行的发现和研究波在弹性和塑性固体。旅游研究波在非线性梁方程基于胡克定律( )弹性材料,例如,(3- - - - - -5]。另外,看到6,7,24,25),结果旅行波在固体。假设 在(9)和(10),我们有 的酒吧, 梁的 和 ,分别。我们寻找的行波解的形式 为(15)和(16),代表一个常数和是一个函数待定。让 ,在那里在幂律指数(3)。的倒数是 自 首先,让 和替代 到(15),所以 整合后,我们得到 ,在那里是一个任意常数。假设 。自 和 ,我们有 。寻找简单的解决方案 和假设 ,我们得到 和 这使行波的解决方案如下: 酒吧的方程(15)。请注意,解决方案(18)包含一些身体有意义的解决方案。例如,让我们考虑一个半无限酒吧与初始位移 和初始速度 和边界条件 。满足这些条件是由一个特定的解决方案 获得(18)。初始条件的物理解释(19),一半的酒吧最初受到恒定应力和压力的另一半是免费的和固定的位置,和第二个初始条件(20.)意味着酒吧最初以一个恒定的速度移动,一半是瞬间停了下来。解决方案(21)解释说,如果一个轴向预应力半无限幂律杆受初始条件 和 和边界条件 为 和低阶导数有界或消失 ,然后间隔的位移 将零时间吗 和恢复变形钢筋的间隔 其未变形的配置具有移动边界这是扩大一个扭结波速度吗 。

在更一般的情况下,任何的价值方程 至少有一个解决方案,因为它是连续的, 和 。让 ,然后 满足 。我们有以下类似的解决方案: 满足初始和边界条件 为 和 。

对于线性弹性杆, , ,如果 方程 满足任何,也让 。这表明线性弹性杆方程允许任意行波形式在 然而,波只能在一个固定的速度旅行 。如果 ,那么方程 给了 和相应的解决方案(22),这是类似的解决方案 。

上述表明,非线性的解决方案之间的差异 和线性情况 旅行是所有非线性波具有相同的形状和旅行速度不仅取决于材料属性也在初始应力水平而线性波旅行可以采取任何形式同时保持一个固定的速度旅行这只取决于材料的性质。

同样的,用 成束方程(16),我们得到 集成两次后,我们得到的 ,这使 通过设置 。让 ;我们得到了 和 。从最后一个方程,我们得到的 这给了 ,在那里是积分常数。

我们假设 和 。所以,行波解相应的弹塑性欧拉梁隐式 导致下列公式中定义的广义三角函数(26]

在哪里 。请注意,对 我们获得著名的欧几里得正弦弹性欧拉梁方程行波解。我们观察到波的振幅是由初始条件确定的。弹塑性梁的旅行波可以应用于研究压电机器人;参见[27]。

5。特殊的电波棒和有限长度的梁

让我们考虑一些特殊的电波棒和有限长度的梁与固定的目的。方程(15)和(16)得到解决 和 与齐次狄利克雷边界条件 和特殊的初始条件。我们提出一些特殊的解决方案通过使用广义三角函数由Drabek和Manasevich [26]。利用分离变量 在(15),使用边界条件 ,我们有 从第一个方程和边界条件,我们得到的 由三卤甲烷在[26),一个序列的非线性特征值问题的解决方案(28)是由 ,在那里 和 。让我们考虑初始条件 和 。在这种情况下 我们可以解决第二个方程(27)。给出了初值问题的特解 时间演化的特殊解决方案 , , , 呈现在图1,分别。

同样,利用分离变量 在(16),我们有 从第一个方程和边界条件,我们得到的 一个解析解(31日)是不可用的,是一个开放的问题。这是一个非线性和非齐次特征值问题,属于一个活跃的研究领域超出了本文的范围,这里把它作为一个开放的问题。因为叠加原理不能应用于非线性问题,解决方案(15)和(16)与通用初始和边界条件需要进一步调查。

6。结论

两个非线性波方程推导:一是纵向振动的幂律酒吧,另一个是幂律欧拉梁的垂直振动。分析这两个方程的行波解存在自由振动的广义正弦函数的两个参数。我们找到了线性弹性波的特殊情况我们的解决方案。传统的方法确定结构的振动由未经处理的金属不适用于金属热处理硬化和软化的结构力学性能。结果可能是有用的在工程应用中幂律的材料,如金属热处理和聚酰亚胺塑料。进一步研究的波传播和振动结构的幂律非线性酒吧和光束似乎是必要的。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。