2发生器的订单类- 小组

抽象的

为了使用其元素订单对有限组进行分类，定义了订单类。此分区确定每个订单的元素数。本文的目的是找到2发电机的订单类-Groups。这里获得的结果由组，算法和编程支持（差距）。

1.介绍

有限组的主要分区之一是订单类。组理论中的基本概念是元素的顺序记是最小的正整数，这样是的身份。关系“是与之相同的订单”是一个等价关系，其诱导分区为组，这被称为订单类。对称和Dihedral组的订单类完全配置在[1] 和 [2]， 分别。

显然，所有的共轭元素具有相同的顺序。共轭类是为了细化类的分区。因此，每个顺序类包含至少一种共轭类。杜和施[3.]证明如果是有限的群体有一个比其相同的订单数量更大的共轭类数量，那么是以下一组中的一个：那那那那那那那那， 或者。

要使用其订单类对有限组进行分类，所以通过订单类的大小获得了新问题。也就是说，一个有限的群体据说是一个完美的订单子集组（POS-GROUP）如果每个订单类的基数分裂。DAS [4.]研究了一些任意POS-群体的性质和构造一对夫妇非交换POS-组新家庭。他还证明了交替组那  ，不是POS组。后来，琼斯和toppin [5.]证明了任何非平凡有限POS-组具有偶数顺序。

所有的分类-Groups尚未完成。1993年有限2发生器的分类- 第2类的群体已经研究过[6.]。ahmad等。[7.]分类2发电机2类 - 基团和定义这些基团作为环的中心延伸-Groups，即，获得这些组的确切数量的共轭类。在这项研究中，我们将遵循相同的分类[7.]，调查2发电机的订单类-Groups of unpotence 2。

使用此处获得的结果差距。幸运的是，使用我们的主要定理，我们已经发展了一种实用差距算法寻找2型发电机的订单班2类 - 基团（奇素数）。

2.预先概述和定义

我们的符号是相当标准。经过我们表示有限组的顺序我们表示身份元素经过。元素的顺序，表示是最小的正整数这样。有限组的所有可能订单集将被表示为。类的所有元素它们具有相同的顺序的被称为订单类。同等地，所有元素的类订单是为了类并表示为。一组的顺序的类将被表示为，这包括所有可能的表单对对所有人。派生的子组和一个组的中心用来表示和， 分别。

让是一个组。换向器是（谁）给的。对于任何亚组和一组换向器子组是。注意，下部中央系列一组是 在哪里为了。

定义1。一群如果存在，则被称为尼利特这样和这样的最小是类幂零的。

所有阿比越亚群体都是班级的零售1.如果是素数，则在其中每个元素具有上述群阶数的功率被称为A.-团体。如果是一个有限的人-group，然后是订单是一种力量。这些群体是零霉素。一群是，如果2类的幂零组;等价。

在一个有限的地方-团体订单， 中心是一个亚组。使用拉格朗日的定理，暗示了这一点对于一些整数。

雷玛2（见[8.]）。让成为一组尼利期类2.让和;然后（1） 那（2） 那（3） 那（4） 。

引理3（见[6.]）。让是一组幂零类2和和和奇怪。然后（1） 那（2） 。

以下定理是用来描述一个2生成装置的结构幂零类2的发电机和关系方面-group。

定理4（见[7.]）。让是一个素质和一个正整数。每2发电机- 订单组和类2个对应于一个有序整数5元组，，这样（1） 那（2） 那（3） 和那在哪里对应于所提供的小组 而且（1）如果， 然后是同构的（一种） 什么时候;（b） 什么时候或者;（C） 什么时候;（2）如果， 或者和， 然后是同构的;（3）如果和， 然后是同构的（一种） 什么时候;（b） 什么时候;（C） 什么时候和。在1中列出的基团的（a）-3（c）是成对非同构。

如果是素质和是一个2发电机2级等，与那， 然后， 在哪里[7.]。让是一个2发电机-Group课堂2.然后那， 和是多环系列的。因此，和是的多环发电机。因此，如果， 然后可以独特地写作， 在哪里那， 和。

3.订购2-DENALOR的类-Groups of unilpotency 2

以前的分类2发电机- 基团将被用于获得这些组的顺序的类。让是所有2发电机的集合-Groups的尼利斯等级2是一个奇怪的素数和那那。找到一个组的订单类我们需要回答一些相关的重要问题，例如可用订单的描述;最大的顺序，实现了集;每个订单家族的元素的个数，以获得。下面的引理将证明这些问题和概念建立在以下方面的订单班。

雷玛5。让是由此产生的小组和， 和那。然后， 在哪里。

证明。证明直接使用lemma3.， 自从

合理地，对于，整数的顺序5元组在定理中4.被配置为构造的组。但新订单对由发电机命令获得的是不同的对;很清楚对所有人。以便永远不会被用来代替虽然它们偶尔类似。

让。然后任何元件的顺序是否应分歧。因此，如果， 然后应该写成一个力量。因此，在哪里（如果， 然后是环状基团）。下面的引理建立了最大可能的顺序就发电机订单而言。

引理6。如果是集团由和，这样那，放手，那么的指数，表示， 是（谁）给的

证明。让和。定理4.给那个， 在哪里那， 和。所以 然后 注意。因此

使用lemma.6.，它遵循了所有可能的订单是， 在哪里。因此， 在哪里是订单的元素数量为了。

根据以前的分类，我们的主要结果将如下。

定理7。让是由此产生的小组和， 和那那， 和 对所有人。让。然后，已订单要素那， 在哪里 这样（1） （2） （3）如果。然后。（4）如果。然后为了。（5） 。

证明。身份元素是唯一的元素订单1;所以。没有普遍的损失，让。
（） 让;然后， 在哪里那， 和。
使用 （6.），它被暗示 自从， 因此;所以 然后 情况1。如果， 然后 因此，有对于选择;他们原本为同样地存在对于选择。因此有对于选择。注意为了和。然后 案例2.。如果， 然后 因此，有对于选择。标识元件被省略。因此 （）使用类似的论点作为案例， 然后 如果， 然后 因此，有对于选择和对于选择。因此，;别的，。然后 有对于选择和对于选择，暗示。
（）同样，如果， 然后 然后 因此，。
（） 如果， 对所有人，那么对于选择的数以比例减少对于每一个人。因此。
（） 什么时候， 然后 因此，。

推论8。让是由此产生的小组和， 和那。然后是不是一个POS-基。

证明。这足以证明存在这样。为了， 在哪里 假设，相反，这。然后存在和和。所以 然后 以便。如果， 然后，这意味着，一个矛盾。如果， 然后和没有解决方案作为一个矛盾的整数也是一个矛盾的。所以遵循没有整数这样。因此， 意思就是是不是一个POS-基。

4.差距

这项研究包括GAP的算法。算法1（见附录）来自定理7.并用来查找所有2型发电机的订单班-Groups of unpotence等级2（作为列表），通过确定值和。算法2（参见附录）正在使用普通的间隙公式和命令（已安装Gap的软件包）构建，以提供与算法相同的结果1。

例9。当两个算法1和2用于找到所有2个生成器的订单类- 第2级，在哪里和，所获得的结果如下：

算法1	算法2
G =（C43 x C43）：C43	G =（C43 x C43）：C43
| G |= 79507 P = 43 n = 3个的N.class 2	| G |= 79507 P = 43 n = 3个的N.class 2
无创的。= 2 O（A）= 43°（B）= 43 W = 1	无创的。= 2 O（A）= 43°（B）= 43 W = 1
WW = [[1,1]，[43,79506]]	yy = [[1，1]，[43，79506]
G=C1849 : C43	G=C1849 : C43
| G |= 79507 P = 43 n = 3个的N.class 2	| G |= 79507 P = 43 n = 3个的N.class 2
没有gen。= 2 o（a）= 1849 o（b）= 43 w = 2	没有gen。= 2 o（a）= 1849 o（b）= 43 w = 2
WW = [[1，1]，[43，1848]，	yy = [[1，1]，[43，1848]，
[1849年，77658]	[1849年，77658]
时间：14180	时间：38064

同样，对于和

算法1	算法2
G=(C2209 x C47) : C47
| G |= 4879681 P = 47 n = 4个的2 N.class
没有Gen。= 2 O（a）= 2209 o（b）= 47 w = 2
WW = [[1，1]，[47,103822]，
[2209,4775858]]
G = C2209：C2209
| G |= 4879681 P = 47 n = 4个的2 N.class
没有Gen。= 2 O（a）= 103823 o（b）= 47 w = 3	exceeded the permitted memory
WW = [[1，1]，[47,2208]，
[2209，101614]，[103823,4775858]]
g = C103823：C47
| G |= 4879681 P = 47 n = 4个的2 N.class
没有Gen。= 2 O（a）= 103823 o（b）= 47 w = 3
WW = [[1，1]，[47,2208]，
[2209，101614]，[103823,4775858]]
时间：100355

算法所需的时间2查找2-menerator的订单类- 第2级的群组，何时和，算法时为38064毫秒1需要14180毫秒才能找到相同的结果。接下来，为和， 算法2无法完成的过程中，对于超过允许的存储器大小的组的大小（4879681）。相反，算法1需要100355毫秒。明显，算法1比普通差距算法要好得多，可以改为。

结论

在本文中，2型发电机的分类-Groups的尼泊比类2已被用于确定此类组的订单类。这项工作包含一个可观的命令结果。我们使用这些结果来创建一个差距算法（算法1）找到2个生成器的订单类-Groups of unilpotence等级2，奇数。当算法1与算法进行比较2，已用于同一目的，我们发现算法1不使用所有组元素，并且只取决于两个元素（生成器）来对该组的顺序类进行分类，而算法2使用所有组元素来提供相同的结果。因此，它工作非常慢并中断大尺寸组，相反算法1。

附录

见算法1和2。

利益争夺

提交人声明他们没有竞争利益。

参考

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3. X. du和W. shi，“有限群体与共轭课程比相同的订单数量大，”代数中的通信，卷。34，没有。4，pp。1345-1359,2006。查看在：出版商网站|谷歌学术|Mathscinet.
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